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1、-直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系修远中学修远中学 梁成阳梁成阳关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形方程范围对称性顶点)0( 1babyax2 22 22 22 2A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay， 或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax， 或或xaby如何记忆双曲线的渐进线方程？如何记忆双曲线的渐进线
2、方程？一、直线与椭圆的位置关系一、直线与椭圆的位置关系：（2 2）弦长问题）弦长问题（3 3）弦中点问题）弦中点问题（1 1）直线与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系韦达定理或设点作差法0_弦长公式弦长公式二、直线与双曲线位置关系种类：二、直线与双曲线位置关系种类：XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(两个交点两个交点,一个交点一个交点)判断下列直线与双曲线之间的位置关系：判断下列直线与双曲线之间的位置关系：122:3 , :1916xyl yc相相 交交222:2 , :1916xyl xc相相 离离2211xyykxk例1、已知双曲线及直线，1.判断直线与双曲线的位置关系。2.若直线
3、与双曲线有交点，求 的范围；y.F2F1O.x11122yxkxy）联立解：（022)1 (22kxxk时，当1k直线与双曲线有交点时，当1k2248(1)kk 判断下列直线与双曲线之间的位置关系：判断下列直线与双曲线之间的位置关系：31169:,134:22yxcxyl相相 交交试一下试一下:判别式情况如何判别式情况如何?思考：双曲线渐近线思考：双曲线渐近线 与与 直线直线 L L有什么关系？有什么关系？一般情况的研究2222:0) , :1bxyl yx m mcaab（显然显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是相交也就是相交.把直线方程代入双曲线方
4、程把直线方程代入双曲线方程,看看看判别式如何看判别式如何?根本就没有判别式根本就没有判别式 !但它跟双曲线有一个交点但它跟双曲线有一个交点若若m=0m=0会是怎么的一种情况会是怎么的一种情况判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00,原点原点O（0，0）在以）在以AB为直径的圆上，为直径的圆上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即
5、x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.例例4、直线、直线y=ax+1和曲线和曲线3x2-y2=1相交，相交，交点为交点为A、B，当，当a为何值时，以为何值时，以AB为直径为直径的圆经过坐标原点。的圆经过坐标原点。1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 12422yx已知双曲线方程：例5、说明理由。的方程，若不存在，请求出直线，若存在，被双曲线所截弦的中点为，使）是否存在直线（的方程；求直线的中点，为弦两点，若、）的直线交双曲线于，（）过（llNlABABMBAM211
6、2111解：，则，设)()(2211yxByxA1242121yx1242222yx相减2121212121yyxxxxyyMMAByxk2121，即21ABk的方程为：直线 AB) 1(211xy.012 yx即)(21xx xyo2222.NM解法二：) 1(1:xkylAB设，21 k的方程为：直线 AB) 1(211xy.012 yx即xyo2222.NM42122yxkkxy联立04)1 (2)1 (4)21 (222kxkkxk121)1 (22221kkkxx221133131( ,),1213( 26 6),0 512yxA x yBC xyFyyAC在双曲线的一支上有不同的三
7、点，（ ， ）且与点 （ ，） 的距离成等差数列。（）求；（ ）求证的垂直平分线必过定点。解：得由双曲线1131222xy.)50(是此双曲线的一焦点，点F三点在双曲线上支上，、）由题意（CBA1由双曲线第二定义得：edAFAedAFA|edCFedBFCB，同理成等差数列、CFBFAF.1231yy例6、成等差数列CBAddd,)()()(2222caycaycayCAB即y.F2F1OxCBAy.F2F1OxCBA)6 ,(20 xAC的中点坐标为）设（11312113122222xyxy313131311312yyxxxxyy:相减1320 xkAC)(213600 xxxyAC的中垂线方程为：02252130 yxx即.2250），（此直线过定点