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1、数列复习归纳数列复习归纳典型题型讲解典型题型讲解 等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 定义定义通项通项公式公式中项中项公式公式 前前n n项项和公和公式式 an+1-an=d(常数常数) , nN* an+1/an=q(常数常数), nN* an= a1+(n-1)d an=a1qn-1(a1,q0) 若若a，A，b成等差成等差数列，则数列，则 A=(a+b)/2. 等差、等比数列的有关概念和公式等差、等比数列的有关概念和公式 若若a a，G G，b b成等比数列，成等比数列，则则G G2 2=ab=ab（a,b0a,b0）11()2(1)2nnn aaSn nnad 111 (1
2、)(1)(1)11nnnnaqSa aqaqqqq 判断（或证明）数列为等差判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：等比）的方法：方法方法1（定义法）（定义法）( a n + 1 a n = d 或或 a n a n 1 = d ( n 2 ) 方法方法2(等差中项法等差中项法) a n + 1 +a n 1 = 2a n ( n 2 ) 方法方法3：通项公式法：通项公式法方法方法4：前：前n项和公式法项和公式法等差数列通项公式，形如等差数列通项公式，形如anknb，等比数列通项公式，形如等比数列通项公式，形如anaqn1，bnanSnn2项和公式，形如等差数列前) 10A，（项和公式，形如等
3、比数列前qAqSnnn解答题的方法：非解答题的方法：（1）nmaanm d（2）若若2mnpqk则则2mnpqkaaaaanmaadnmdkd2（4）若数列）若数列 是等差数列，则是等差数列，则 也是等差数列也是等差数列 na（3）an是是等差数列等差数列，若从中取下标项数成等差数列的项，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等差数列则相应的项构成等差数列等差数列的重要性质1(, 1225nnSSaSSnndSSnn偶奇偶奇奇偶中间项），则若项数为，则数为）在等差数列中，若项（,34232kkkkkkkSSSSSSS（2）2 ,mnpqk若mnpqaaaa则（1）n mnmaaqmn
4、mnaaq q求求（4） 是等比数列且是等比数列且 ，则，则 也是等比数列也是等比数列 nakqq （3）an是等比数列，若从中取下标项数成等差数列的项，是等比数列，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等比数列则相应的项构成等比数列等比数列的重要性质2SnqS偶奇5)在 等 比 数 列 中 ， 若 项 数 为， 则1q,34232kkkkkkkSSSSSSS题型一:利用定义与公式计算未知量 在等差数列在等差数列aan n 中中，a a2 2=-2,=-2,a a5 5=16=16，求求a a8=_.8=_. 在等差数列在等差数列aan n 中中，若若a a3 3+a+a4 4+a+
5、a5 5+a+a6 6+a+a7 7=450=450，则则a a2 2+a+a8 8的值为的值为_._. 在等差数列在等差数列aan n 中中， a a1515 =10, =10, a a4545=90,=90,则则 a a6060 =_.=_. 在等差数列在等差数列aan n 中中，a a1 1+a+a2 2 =30=30, , a a3 3+a+a4 4 =120,=120, 则则a a5 5+a+a6 6=_=_ . . 34180130210kk题型二题型二. .利用等差数列与等比数列性质常见例利用等差数列与等比数列性质常见例题题 例1.等差数列共有2n+1项，其中奇数项之和为10，偶
6、数项之和为9，则n=（ ） A.3 B.5 C.7 D.9 解析：S奇：S偶=n+1:n 10:9= n+1:n 9n+9=10n n=9 在有2n+1项或奇数项的等差数列中，S奇:S偶=n+1:n 变式：设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值为（ ），项数为（ ）。例2.已知两个等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，A.B.C.D.解析：类题通法:在两个等差数列an与bn中，变式：若等差数列an与bn的前n项和分别为Sn和Tn，且23()ba,27417nn则nnTnSn473471783411114811111121121211212
7、12111,2) 1(2) 1(bababbaaTSbbnaanTnSnbbnnaannTnSnbmammTmS1212 157202a,3522bbannBnAn则例3.设等差数列an中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项之和为100，则项数n为（ B ） A.9 B.10 C.11 D.12解析：a1+a2+a3+a4=20 an+an-1+an-2+an-3=60 +得 4（a1+an）=80 a1+an=20Sn=类题通法：S前m项+S后m项=m(a1+am)2)1(anan10100220nn例4.设等比数列an的前n项和记为Sn,若S10:S5=1:2,则S15:S5=(
8、 ) A.3:4 B.2:3 C.1:2 D.1:3解析：S5：S10-S5：S15-S10 2 -1 S15=S15:S5=类题通法：在等比数列中，Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,.也成等比数列。 在等差数列中，Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,.也成等比数列。变式：设等差数列an的前n项和记为Sn，S3=4,S6=15,则S12= 212343223例5.在数列an中，an+1=解析：由题意得，a1=1,a2= 数列an为周期为3的周期数列 20173=672.1 672（ ）+1=-1007变式：数列an满足an+1= A.-1 B. C.2 D.0 S2017nann,11项和，
9、则的前为数列记为San23,21a,.26,215, 14aaa2211 2016,21,11aaan则21题型三：求数列的通项公式 例例1.公式法：对于等差、等比数列可直接利用通项公式法：对于等差、等比数列可直接利用通项公式公式等差数列：an=a1+(n-1)d等比数列：an=a1qn-1注：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 例2.已知log2 an是以2为公差的等差数列,且a1=1,求an22) 120log01loglog2log22122nnaaann（为公差的数列，且是以解： 222nna练习(1)已知在an中, an =an
10、-1+3,且a2=4,求an (2)已知在an中, an =2an-1,且a2=4,求an(3)已知an是等差数列,且a2=3,a4+a6=18, 求an (4)已知an是等比数列,且a3 =4, a4a5=128, 求an 利用公式求解等差等比数列的通项公式.解：（1） an =1+3（n-1）=3n-2 （2） an =2*2n-1=2n2118)5()3(331111dadadada解得：）（12) 1( 21nnan21128)()(441413121qaqaqaqa解得：）（1 -n2na例2：作差法S1， n=1Sn-Sn-1，n2an=注意：要先分n=1和n2两种情况分别进行运算
11、，然后验证能否统一。题型一：已知Sn与n的关系求an; 1321111San时，）当解：（54541nanaann符合经检验11111111222222) 12() 12(2; 31212nnnnnnnnnnSSanSan时，当时，）当（2n 21n 3231 -n11nnnaaa不符合经检验54) 1(3) 1(2)32(2221nnnnnSSannnn时，当 2123221nn; ( )nnnnanSaSnnS例例已已知知数数列列的的前前 项项和和为为，求求的的通通项项5 5公公式式（）. .（2）Sn=2n +1注意：去括号注意：去括号时要注意每项时要注意每项的符号的符号题型二：已知Sn
12、与an的关系求an ., 124,. 4*n12nnnnnaaNnSaSSna的通项公式求数列，已知项和为的前设数列例练习： 的通项公式则求出，已知项和为的前设数列nnaSnaN*).2(n-2a=Snnn四、 构造法例5.已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1.（1）求证：数列an+1是等比数列；（2）求数列an的通项公式.证明等差或等比尤为重要.23113112211211111为公差的等差数列为首项、是以数列，）解：（nnnnnnnnaaaaaaaaa .21) 1 (.12, 3,11nnnnnnaaaaaaa）求是等差数列；（证明数列已知数列例6.5633561)n23112
13、nanann（）（五、累加法(拓展）推推导导等等差差数数列列通通项项公公式式的的方方法法；例7.已知数列 满足 求数列 的通项公式na解： 212aa 323aa545aa 1nnaan 12 3 4naan 112()nan n 434aa以上方程两边相加得：，11nnaanna题型四：数列求和题型四：数列求和（1 1）等差数列前）等差数列前n n项和公式：项和公式：11()(1)22nnn aan nSnad（2 2）等比数列前）等比数列前n n项和公式：项和公式：1111;(1)111nnnnqSnaaa qaqqSqq当时，当时， 3571.7,26,.nnnaaaaanS例 已知等差
14、数列满足：求数列的通项公式及前 项和 1,naad解：设等差数列的首项为公差为112721026adad由题意知：132ad解得：32(1)21nann2(1)3222nn nSnnn 2132.,6,630,nnnnanSaaaaS例 设等比数列的前 项和为已知求和 1,naaq解：设等比数列的首项为公比为12116630a qaa q由题意得：113223aaqq解得：或11113,23 23(1 2 )3(21)1 2nnnnnnaqaa qS 当时11112,32 32(1 3 )311 3nnnnnnaqaa qS当时常见的数列的前常见的数列的前n n项和公式项和公式(1)(1)12
15、32n nn2(2)135(21)nn(3)2462(1)nn n2222(1)(21)(4)1236n nnn223333(1)(5)1234nnn二二. .倒序相加法倒序相加法 na适用于：适用于：如果一个数列如果一个数列 中与首中与首末两项末两项“等距离等距离”的两项之和等于首的两项之和等于首末两项的和。末两项的和。方法：方法：把数列分别正着写和倒着写再把数列分别正着写和倒着写再 相加。相加。 （即等差数列求和公式的推导方法）（即等差数列求和公式的推导方法）22111.( ),(1)(2)(3)(4)( )( )( )()123479.3.4.22xf xfffffffxABCD例1已知
16、函数则C222221( )11( )( )1111 ( )xxf xfxxxx解：1( )( )1f xfx111(4)(3)(2)(1)( )( )( )234Mfffffff设111( )( )( )(1)(2)(3)(4)432Mfffffff17(4)( )74Mff两式相加得：272M412310.( ),()()()()_4211111111xxf xffff例2设则1144( )(1)4242xxxxf xfx解：( )(1)1f xfx1144444(1)44 244224444 2444244( )(1)42 4 242(42) 2(42)24412(42)xxxxxxxxx
17、xxxxxxxfxf xfx提示：110()()5 151111ff 原式=551.( ),( 5)( 4)(5)(6)_22xf xffff例3设则111( )(1)2222xxf xfx解：11112(1)222222222222xxxxxxfx提示：12( )(1)2222212222( 22 )222(22)2( 22 )22222(22)xxxxxxxxxxxf xfx1.( ),( 5)( 4)(5)(6)_22xf xffff例4 设则111( )(1)2222xxf xfx解：2( )(1)2f xfx26( 5)(6)63 22ff原式 ( 5)(6)( 4)(5)( 3)(
18、4)( 2)(3)( 1)(2)(0)(1)ffffffffffff原式3 2应用倒序相加法的常见形式应用倒序相加法的常见形式221(1)( )11(2)( )( )()11(3)( )1f xxxf xf xfxxxf xx224(1) ( )42(2) ( )2(3)sinsin ()12xxxxf xbf xbxx( )(1)1f xfx三三. .错位相减法错位相减法 nnnnaba bn是等差数列，是等比数列，求的前 项和适用于：适用于：方法：乘公比方法：乘公比，错一位错一位写，两式相减相减 （即等比数列求和公式的推导方法） .2 ,nnnnnaananS 例1数列的通项公式为求数列的
19、前 项和12112121 22 2(1) 22(1)nnnnnnnanSaaaann 解：21121 2(2) 2(1) 22(2)nnnnSnnn (1)(2)得：12112(222 )2nnnnSnn-1项项12(1 2 )21 2nnnSn 12(21)2nnn 1112222(1)2nnnnn 12(1)2nnSn1121.,1,(1)(2)nnnnnnnnanSaaSnSnSnT练 习设 数 列的 前项 和 为证 明 ： 数 列是 等 比 数 列 ；求 数 列的 前项 和1112(1)nnnnnnaSaSSn证明：且12nnnnSSSn12(1)nnnSSn12(1)nnnSnS12
20、1nnSSnn12nSn是以 为首项，为公比的等比数列11111Sa12nnSn(2)解：由（1）知，12nnSn 0111 22 22(1)nnTn 1121 2(1) 22(2)nnnTnn 121(1)(2)1 (222)2nnnTn 得：-12(1 2)121 2nnn 112(21)2nnn 1222nnn 2 (1) 1nn2 (1) 1nnTn 1.,1,3(1);(2)2nnnnnanSaqananT练习2已知等比数列的前 项和为求求数列的前 项和1111133nnnaqaa q解：(1)11(2)3223nnnnanan0112 34 323(1)nnTn 1132 32(1
21、) 323(2)nnnTnn121(1)(2)22(333)23nnnn得：-2T13(1 3)22231 3nnn -123(31)23233233 (1 2 ) 1nnnnnnnn 3 (21)122nnnT 224.,560(1)(2)2nnnnaa axxaan练习3已知是递增的等差数列，是方程的两根求的通项公式；求数列的前 项和。 1(1),naad解： 设等差数列的首项为公差为 2242424,560506naa axxaada a是递增的等差数列且是方程的两根由韦达定理得：2423aa421213222aadaad312(1)222nnan 224.,560(2)2nnnaa a
22、xxan练习3已知是递增的等差数列，是方程的两根求数列的前 项和。(2)2nnnanS设的前 项和为11(2)2nn1222nnnan23111134(2)(1)222nnSn 31211113(1)(2)(2)2222nnnSnn3412131111(1)(2)()(2)242222nnnSn得：12111 ( )3182(2)14212nnn12111 ( )3182(2)14212nnn1231111 ( )(2)4422nnn123111(2)4422nnn11212141(1)1()2222412nnnnnn 1422nnnS四四. .裂项相消法裂项相消法适用于：适用于：通项公式可拆
23、成两项之差通项公式可拆成两项之差方法：方法：把数列的通项公式拆成两项之把数列的通项公式拆成两项之 差，正负相消，剩下首尾若差，正负相消，剩下首尾若干项干项 331.,3,=61nnnnanSaSna a例1已知等差数列的前 项和为且求数列的前 项和 111,nnnnaadnTa a解：设等差数列的首项为公差为 ，的前 项和为1123336adad111adnan111(1)nna an n111nn1111111122311nTnnnn 1111nnn 111n常见数列的裂项方法常见数列的裂项方法111 11(1)()()()()kn nkn nkk nnk为非零常数22111111(2)()
24、4141(21)(21)2 2121nnnnnn111(3)()+nknknknnkn11(4) log (1)log (1)log (1)logaaaannnn 1.,19,_nnnnaaSnnnSn 例2数列的通项公式为为其前 项和，若则111nannnn 解：2 13211nSnnnn 1 1n 1 1 91 101 10099nSnnnn 99526.7,12(1);1(2),(1)(1)nnnnnnnaaaaabbnSaa例 3 在 等 差 数 列中 ，求的 通 项 公 式设求的 前项 和 1,naad解：(1)设等差数列的首项为公差为11472612adad由题意得：131ad解得
25、：2nan11(2)(1)(1)(1)(3)nnnbaann111()213nn1 111111111111()2 24354657213nSnnnn1 1111()2 2323nSnn525122(2)(3)nnn小规律：小规律：裂项相消时，裂项相消时，前面剩几项前面剩几项，对应对应后面就剩几项后面就剩几项；前面剩前面剩第几项第几项，对应，对应后面就剩倒数后面就剩倒数第几项；第几项；前后至少各写出两前后至少各写出两组数。组数。31251.0,9,(1)11(2)2nnnnnnnanSSa aaaTnTa a练习1已知公差不为 的等差数列的前 项和为若且成等比数列求的通项公式；设为数列的前 项
26、和，求证： nad解：(1)设等差数列的公差为12111339()(4 )adada ad由题意得：112ad解得：21nan111(2)(21)(21)nna ann111()2 2121nn11111111(1)233523212121nTnnnn11111(1)22122(21)2nTnn五五. .分组转化法分组转化法适用于：适用于：数列的通项公式是由几个数列的通项公式是由几个等差等差数列数列或或等比数列等比数列或或可求和数列可求和数列组成。组成。方法：方法：分组，分别求和后再相加减。分组，分别求和后再相加减。 1231.21,2,4(1)(2)2nnnnnaaaaaanS例 在公差为
27、的等差数列中，成等比数列求数列的通项公式；求数列的前 项和211311(1)22244248daadaaada解：123222131111,2,4(2)(1)(4)(4)(1)(8)aaaaaaaaa成等比数列即18a82(1)26nann(2)2nnnanS求数列的前 项和(2)2(26) 2nnnan解：128 210 2(26) 2nnSn 128 10(26)(222 )nn(8 26)2(1 2 )21 2nnn(7) 2(21)nn n21722nnn 472.,24,63(1)(2)2,nnnnannnnanSSSababnT例 已知等差数列的前 项和为且满足求数列的通项公式；若
28、求数列的前 项和 111(1),4 342427 67632naadadad解：设等差数列的首项为公差为11231239adad即132ad32(1)21nann (2)2,nannnnbabnT若求数列的前 项和21(2)212(21)nnnanbn解：24(21)nnbn122(444 )35(21)nnTn4(14 )(321)2142nnn12(44)(2)3nn n28(41)23nnn1.1(1)(2)41,nnnnnnnnnanSSaacacnT练 习已 知 数 列的 前项 和满 足求的 通 项 公 式 ；设求 数 列的 前项 和11111(1)112nSaaa 解：当时，111
29、1121122nnnnnnnnnnnnaSSaaaaaaaa 当时， 11221( )2nnnaa数列是以 为首项，以 为公比的等比数列(2)41,nnnncacnT设求 数 列的 前项 和(2)4114( )12nnnncac解：12124()nnnTcccaaan111( )224112nn141( )2nn214( )2nn六六. .并项求和法并项求和法方法：方法：将两项合并求解将两项合并求解适用于：适用于：一个数列的前一个数列的前n n项和中，可两项和中，可两两结合求解，形如两结合求解，形如 类型。类型。( 1)( )nnaf n 22222210099989721(100 99)(100 99) (98 97)(98 97)(2 1)(2 1)100 99 98 972 15050nS 例如： 1171.,1 2 3 4( 1)_nnnnanSSnS 例 数列的前 项和为已知则1171 2 3 4( 1)(1 2) (3 4)(15 16) 17nnSnS 解：( 1) 8 179 9课堂总结课堂总结一一. .公式法公式法二二. .倒序相加法倒序相加法三三. .错位相减法错位相减法四四. .裂项相消法裂项相消法五五. .分组转化法分组转化法六六. .并项求和法并项求和法