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1、方格中正方形的计数问题方格中正方形的计数问题 如图，图中有多少个正方形？如图，图中有多少个正方形？ 我我 的的 选选 题题选选 题题 分分 析析1 1、条件分析、条件分析2 2、能力发展、能力发展3 3、情感目标、情感目标4 4、数学思想、数学思想5 5、解题策略、解题策略5 55 5方格图方格图 有序观察有序观察 探寻规律探寻规律 分类分类 建模建模 化多为少化多为少 以退为进以退为进探究的快乐探究的快乐 几何的魅力几何的魅力解 题 思 路u化多为少，从数量少的开始研究，先研究化多为少，从数量少的开始研究，先研究边长为边长为3个长度单位的正方形。个长度单位的正方形。u分类枚举，化难为易，寻找
2、解题的突破口。分类枚举，化难为易，寻找解题的突破口。解 题 过 程 第一层次：第一层次：3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为1 1的正方形有：的正方形有：3 33=93=9（个）（个）第一层次：第一层次：3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为2 2的正方形有：的正方形有：2 22=42=4（个）（个）第一层次：第一层次：3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为3 3的正方形有：的正方形有：1 11=11=1（个）（个） 第一层次：第一层次：3 33 3方格图中的正方形方格图中的正方形 u正方形的总个数为：正方形的总个数为：9+4
3、+1=39+4+1=32 2+2+22 2+1+12 2=14=14（个）（个） u 边长为边长为1 1的正方形有：的正方形有：4 44=164=16（个）（个）第二层次：第二层次：4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为2 2的正方形有：的正方形有：3 33=93=9（个）（个）第二层次：第二层次：4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为3 3的正方形有：的正方形有：2 22=42=4（个）（个）第二层次：第二层次：4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为4 4的正方形有：的正方形有：1 11=11=1（个）（个）第二层次：第二层次
4、：4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u正方形的总个数为：正方形的总个数为：16+9+4+1=416+9+4+1=42 2+3+32 2+2+22 2+1+12 2=30=30（个）（个）第二层次：第二层次：4 44 4方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为1 1个的正方形有：个的正方形有：5 55=255=25（个）（个）第三层次：第三层次：5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为2 2的正方形有：的正方形有：4 44=164=16（个）（个）第三层次：第三层次：5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为3 3的正方形有：的正方形有：
5、3 33=93=9（个）（个）第三层次：第三层次：5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为4 4的正方形有：的正方形有：2 22=42=4（个）（个）第三层次：第三层次：5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u边长为边长为5 5的正方形有：的正方形有：1 11=11=1（个）（个）第三层次：第三层次：5 55 5方格图中的正方形方格图中的正方形 u正方形的总个数为：正方形的总个数为： 25+16+9+4+1=525+16+9+4+1=52 2+4+42 2+3+32 2+2+22 2+1+12 2=55=55（个）（个）第三层次：第三层次：5 55 5方格图中的正方
6、形方格图中的正方形 探索规律探索规律方格方格类型类型334455 nn正方正方 形形 个数个数32+22+12=1442+32+22+12=3052+42+32+22+12=55 n2+(n-1)2+32+22+12 拓拓 展展 探探 究究 1、数一数下面、数一数下面65方格方格中有多少个正方形？中有多少个正方形？边长为边长为1 1的正方形：的正方形：6 65=305=30（个）（个）边长为边长为2 2的正方形：的正方形：5 54=204=20（个）（个）边长为边长为3 3的正方形：的正方形：4 43=123=12（个）（个）边长为边长为4 4的正方形：的正方形：3 32=62=6（个）（个）
7、边长为边长为5 5的正方形：的正方形：2 21=21=2（个）（个）30+20+12+6+2=7030+20+12+6+2=70（个）（个） 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点，每个点上都有钉子，形成一个点，每个点上都有钉子，形成一 44的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？ 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点，每个点上都有钉子，形成一个点，每个点上都有钉子，形成一 44的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？套出的正向正方形：套出的正向正方形：32+22+12=14（个）（个） 拓拓 展展 探探 究究
8、2、平面上有、平面上有16个点，每个点上都有钉子，形成一个点，每个点上都有钉子，形成一 44的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？套出的斜向正方形：套出的斜向正方形： 4 个个 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点，每个点上都有钉子，形成一个点，每个点上都有钉子，形成一 44的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？套出的斜向正方形：套出的斜向正方形： 2 个个 拓拓 展展 探探 究究 2、平面上有、平面上有16个点，每个点上都有钉子，形成一个点，每个点上都有钉子，形成一 44的钉阵，用皮筋能套出几个正方形？的钉阵，用皮筋能套出
9、几个正方形？套出的正方形：套出的正方形：14+4+2=20（个）（个）3、数一数魔方中有多少个正方体？、数一数魔方中有多少个正方体？。棱长为棱长为1的正方体：的正方体：64个个棱长为棱长为2的正方体：的正方体：27个个棱长为棱长为3的正方体：的正方体：8个个棱长为棱长为4的正方体：的正方体：1个个64+27+8+1=43+33+23+13+=100（个）（个）在棱长为在棱长为n n的正方体中，数正方体个数的规律是：的正方体中，数正方体个数的规律是：1 13 3+2+23 3+3+33 3+ +n3一维一维 数数 线线 段段：1 11+2+21+3+31+n+n1二维二维 数正方形数正方形：1 12 2+2+22 2+3+32 2+n+n2 2三维三维 数正方体：数正方体：1 13 3+2+23 3+3+33 3+n+n3 3解解 题题 反反 思思u 善于退，足够地退，退到最原始而又不失善于退，足够地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个重要去重要性的地方，是学好数学的一个重要的诀窍。的诀窍。u通过化多为少，化难为易，让学生经历特通过化多为少，化难为易，让学生经历特殊到一般的归纳过程，从中品出浓浓的数殊到一般的归纳过程，从中品出浓浓的数学味儿。学味儿。