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1、 浅析两道二次函数背景下的浅析两道二次函数背景下的 江西中考题江西中考题 临川二中临川二中 熊晓泉熊晓泉 2013.3.27 一、二次函数内容在江西中考试题中的呈现方式：一、二次函数内容在江西中考试题中的呈现方式： 近几年，江西中考数学卷都是将二次函数背景的试近几年，江西中考数学卷都是将二次函数背景的试题作为压轴题之一（一般是倒数第二题），且通常将二题作为压轴题之一（一般是倒数第二题），且通常将二次函数与几何图形综合，同时带有一定的探索开放性，次函数与几何图形综合，同时带有一定的探索开放性，所占分值在所占分值在910910分，难度较大，梯度较高，是体现试分，难度较大，梯度较高，是体现试卷选拔功
2、能的常用题型卷选拔功能的常用题型. .3用配方法可将 化为 ，由此可得到对称轴直线 ,顶点坐标 .二、二、 二次函数基本知识点梳理二次函数基本知识点梳理（一）二次函数的概念一）二次函数的概念 一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数，其中 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.（二）二次函数的表达式二）二次函数的表达式1三种表达式:2212(0)()(0)()()0yaxbxc aya xhk aya xxxxa一般式：顶点式：交点式（两点式）：（）2选择适当表达式的依据： 2bxa 24(,)24bacbaa2yaxbxc, ,a b c0a, ,a b c想一想？想一想？2yax
3、bxc22424bacbya xaab的值与抛物线对称轴位置的关系：当时的值与抛物线对称轴位置的关系：当时b=0，对称轴是直线，对称轴是直线x=0（即（即y轴）；当轴）；当 同号时，对称轴平行于同号时，对称轴平行于y轴，且在轴，且在y轴的左则；当轴的左则；当 异号时，对称轴在异号时，对称轴在y轴的右侧轴的右侧. 的符号确定抛物线的开口方向，的符号确定抛物线的开口方向， 的大小决定抛物线的开口程度（大小）的大小决定抛物线的开口程度（大小）.（三）二次函数的图象及其性质三）二次函数的图象及其性质二、二次函数基本知识点梳理二、二次函数基本知识点梳理 1 1二次函数的图象是一条抛物线二次函数的图象是一
4、条抛物线. .画二次函数的草图，通常画二次函数的草图，通常可采用可采用“五点法五点法”（顶点，与（顶点，与x x轴的两个交点，与轴的两个交点，与y y轴的交点及其轴的交点及其对称点）对称点）. 2 2若二次函数的顶点式为若二次函数的顶点式为 ，（，（ 是常是常数数, , ），则其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增），则其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的增减性和最值与减性和最值与 的值有关的值有关 . . 3 3二次函数二次函数 中系数中系数 的意义的意义: :c c的值确定抛物线与的值确定抛物线与y y轴交点的位置，它是抛物线与轴交点的位置，它是抛物线与y y轴交点的纵坐标轴交
5、点的纵坐标. .2()ya xhk, ,a h k0aa b c、aaa b、a b、, ,a h k20(0)axbx ca （四）二次函数图象的平移（四）二次函数图象的平移 二次函数基本知识点梳理二次函数基本知识点梳理 1 1二次函数二次函数 的图象与抛物的图象与抛物线线 的形状相同，只是位置不同，它们之间可通的形状相同，只是位置不同，它们之间可通过平移变换由于个得到另一个过平移变换由于个得到另一个. . 2 2平移规律（易错点）：平移规律（易错点）：“左加右减，上加下减左加右减，上加下减”（指平移前后解析式的变化）（指平移前后解析式的变化）. .2()(0)ya xhk a2yax二次函
6、数基本知识点梳理二次函数基本知识点梳理（五）二次函数与对称变换（五）二次函数与对称变换 1抛物线是一个轴对称图形，抛物线上的每一个点（顶点除外），都可在其对称轴另一侧的图象上找到一个对称点. 2抛物线 关于x轴、y轴及原点对称变换后的解析式： 关于x轴对称后：2yaxbxc 关于y轴对称后：2yaxbxc关于原点对称后： 2yaxbxc 2(0)yaxbxc a 二次函数基本知识点梳理二次函数基本知识点梳理（六）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联（六）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系（数形结合及转化思想的体现）系（数形结合及转化思想的体现）. 1一元二次方程式 是二次函数
7、当函数值y=0时的特殊情况. 2二次函数 与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 的根，抛物线 与x轴交点的个数取决于 值的情况.2(0)yaxbx c a20axbx c 2yaxbxc24bac 3不等式 （或 ）的解集，可转化为求抛物线 当纵坐标 （或 ）时横坐标的取值范围.20axbx c 20axbxc0y 0y 2(0)yaxbxc a20(0)axbxca2(0)yaxbxc a真题浅析真题浅析例例1 1、（江西、（江西20122012年中考题）年中考题）如图如图, ,已知二次函数已知二次函数 与与x x轴交于轴交于A A、B B两点（点两点（点A A在点在点B B的左边），的左边）
8、，与与y y轴交于点轴交于点C C. . (1) (1)写出写出A A、B B两点的坐标两点的坐标; ; (2) (2)二次函数二次函数 (k0),(k0),顶点为顶点为P.P. 直接写出二次函数直接写出二次函数 与二次函数与二次函数 有关图象的两条相同的性有关图象的两条相同的性质质; ; 是否存在实数是否存在实数K,K,使使ABPABP为等边三角形为等边三角形? ?如存在如存在, ,请求出请求出K K的值的值; ;如不存在如不存在, ,请说明理由请说明理由; ; 若直线若直线 与抛物线与抛物线 交于交于E E、F F两点，问线段两点，问线段EFEF的长度的长度是否发生变化？如果不会，请求出是
9、否发生变化？如果不会，请求出EFEF的长度；如果会，请说明理由的长度；如果会，请说明理由. .34:21xxyLkkxkxyL34:222L1Lky82L解题过程及评分标准：解题过程及评分标准： 解：（1）依照题意，求抛物线与x轴的交点坐标，可解对应的一元二次方程或转化成其交点式，得点A,B的坐标分别为（1，0）、（3,0）. 2分（2）二次函数有关图像的两条相同性质： （）对称轴都为直线 或顶点的横坐标都为2；3分 （）都经过A（1，0）,B（3,0）两点. 4分2x存在实数 ，使ABP为等边三角形. 5分要使ABP为等边三角形，必满足 6分 （漏掉一答案，扣1分） 7分 k2243(2)y
10、kxkxkk xk），（顶点kP-2(1 0),(3 0)AB，2 AB3 k3 k解题过程及评分标准：解题过程及评分标准： 线段EF的长度不会发生变化。 8分直线两点、交于与抛物线FELky28kkkxkx8342 9分0k8342 xx5, 121xx612xxEF线段EF的长度不会发生变化. 10分本题涵盖的主要知识点及数学思想方法本题涵盖的主要知识点及数学思想方法： 1通过解一元二次方程确定抛物线与x轴的交点坐标（二次函二次函数与一元二次方程的关系数与一元二次方程的关系）. . 2抛物线相关性质（开口方向、大小、对称轴、顶点坐标开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、与与x x轴、轴、y y
11、轴交点情况，对称变换等轴交点情况，对称变换等）的探究. 3等边三角形的性质及有关运算.4点到坐标轴的距离与点横（纵）坐标间的关系. 5同一坐标轴上（或平行于坐标轴的同一条直线上）两点间距离的计算. 6函数图象交点坐标的确定. 7从所需探究的结论所需探究的结论（或已知条件）入手，通过分析、运算等手段，得出是否存在满足结论的条件是否存在满足结论的条件（或所提问题的结论）.体现了由“果”索“因”和由“因”探“果”的思维方式. 8.分类讨论的思想.江西江西20122012年中考题的拓展与延伸年中考题的拓展与延伸如图如图, ,已知二次函数已知二次函数 与与x x轴交于轴交于A A、B B 两点（点两点（
12、点A A在点在点B B 的左边），的左边），与与y y轴交于点轴交于点C C. .34:21xxyL(1)(1)写出写出A A、B B 两点的坐标两点的坐标. . A(1,0),B(3,0)（2 2）点）点C C的坐标是的坐标是 ，点，点C关于关于 对称轴对称的点对称轴对称的点 的坐的坐标是标是 . .1L1C (4,3)(0,3)（3 3）不等式）不等式 的解集为的解集为 . .243 0 xx X3（4 4） 沿沿y y轴翻折后的抛物线的解析式为轴翻折后的抛物线的解析式为 . .1L243yxx(5)(5)将将 绕坐标原点旋转绕坐标原点旋转 后，以旋转前后两抛物线的顶点及后，以旋转前后两抛
13、物线的顶点及与与y y轴的交点为顶点的四边形的形状是轴的交点为顶点的四边形的形状是 . .1L180。平行四边形平行四边形(6)(6)二次函数二次函数 (k0)(k0)与与y y轴交于点轴交于点D D，点，点D D在在 上上的对称点记为点的对称点记为点 , ,试判断以试判断以 为顶点的四边形的形状为顶点的四边形的形状. .kkxkxyL34:221D11C C D D、 、 、2L矩形矩形例例2 2：（：（20112011年江西中考题）年江西中考题）将抛物线 沿x轴翻折，得拋物线c2 ，如图所示（1）请直接写出拋物线c2的表达式（2）现将拋物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶
14、点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由 21:33cyx 真题尝试真题尝试解答过程及评分标准：解答过程及评分标准：解：（1）332xy 2分（2）令1, 1, 033212xxx得则抛物线C1 与x轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0） A(-1-m,0),B(1-m,0) 同理可得：D(-1+m,0),E(1+m,0) 当AD= 时（
15、-1+m）-(-1-m)= (1+m)-(-1-m)12m 4分当AB= 时，（1-m）-(-1-m)= (1+m)-(-1-m)当 ，B、D是线段AE的三等分点.6分1A E32m时或221m13AE1313解答过程及评分标准：解答过程及评分标准：OM=ON理由：连接AN、NE、EM、MA，依题意可得：M(-m,),N(m,) 即M、N关于原点O对称存在 7分A(-1-m,0),E(1+m,0)A、E关于原点O对称OA=OE四边形ANEM为平行四边形 8分要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA,即222)1() 3(mm 当1m时，以点A、N、E、M为顶点的四边形为矩形.10分本题
16、涵盖的主要知识点及数学思想方法：本题涵盖的主要知识点及数学思想方法： 1 1关于关于x x轴、原点对称变换后对称点坐标间的关系轴、原点对称变换后对称点坐标间的关系. . 2 2抛物线与抛物线与x x轴、轴、y y轴交点坐标的确定（涉及二次函数与一元轴交点坐标的确定（涉及二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，系数二次方程的关系，解一元二次方程，系数 的意义等）的意义等）. ., ,a b c3 3坐标平面内，点平移前后坐标的变化规律坐标平面内，点平移前后坐标的变化规律. .4 4同一坐标轴上两点间距离的求解同一坐标轴上两点间距离的求解. . 5 5平行四边形（矩形）的判定平行四边形（矩形）的判定. . 6 6利用勾股定理进行数学建模（列方程）利用勾股定理进行数学建模（列方程）. .7 7分类讨论的思想分类讨论的思想. . 8 8从所需探究的结论出发，通过推理论证及运算，判从所需探究的结论出发，通过推理论证及运算，判断是否存在满足结论的条件（由断是否存在满足结论的条件（由“果果”索索“因因”）. . 友情提示：友情提示： 若将近几年的江西中考卷作一个剖析，一定会有收获若将近几年的江西中考卷作一个剖析，一定会有收获的！的！谢谢指导！