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1、一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理二项定理:一、新课引入一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二下面我们来研究二项式系数有些什么性质？二项式系数有什么特点？项式系数有什么特点？展开式中的二项式系数，如下表所示：展开式中的二项式系数，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba
2、()nab 0111CC012222C C C01233333C C C C0123444444CC CC C012345555555CC CCCC0121.rnnnnnnnnC C CCCC( a + b )1 1 1( a + b )2 1 2 1( a + b )3 1 3 3 1( a + b )4 1 4 6 4 1( a + b )5 1 5 10 10 5 1( a + b )6 1 6 15 20 15 6 1 rnrnrnCCC 11mnnmnCC 递推法递推法十十五五一一一一一一一一一一一一一一二二十十六六六六十十五五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十
3、十十十五五本本积积商商除除平方平方立立方方三三乘乘四四乘乘五五乘乘左左积积右右积积之之除除而而实实命命方方商商乘乘廉廉以以廉廉皆皆者者藏藏中中算算隅隅乃乃裘裘右右数数积积乃乃裘裘左左13.1图图 这个表称为这个表称为杨辉三角杨辉三角。在在详解九章算法详解九章算法一书一书里，还说明了表里里，还说明了表里“一一”以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元贾宪（约公元11世纪）已世纪）已经用过它。经用过它。 在欧洲，这个表被认在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡
4、为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年年1662年）首先发现的，他年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三们把这个表叫做帕斯卡三角。角。 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n2二项式系数的性质二项式系数的性质 （1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个
5、二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴图象的对称轴：2nr （2）增减性与最大值）增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Cknkkn1（2）增减性与最大值）增减性与最大值 由由：2111nkkkn 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。得最大值。 21nk 可知，当可知，当 时，时，（2）增减性与最大值）增
6、减性与最大值 当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合
7、总数公式 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）当）当 时，时， （4 4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 当当 时，时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210初步训练、选择填空初步训练、选择填空：1.( 1x ) 13 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 （ ）(A)第六项第六项 (B)第七项第七项 （C）第八项）第八项 (D)第九项第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡，
8、只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为亮的可能性的种数为 （ ）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1CD mCC.mnn同同时时有有最最大大值值，则则与与若若1934或或5课堂练习：课堂练习：1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展开式中，二项式系数的最大值的展开式中，二项式系数的最大值是是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则项的二项式系数最大，则n= ；591515,Ca Cb1016C9()ab()nab 例例1 证
9、明在证明在 的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和nba)( 0112220123,1,1,1 11,nnnnnnnnnnnnnnnnnnabC aC abC abC babCCCCC 证明在展开式中 令则得 ,CCCC03n1n2n0n 即 3n1n2n0nCCCC所以nxx)2(34项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系项的二项式系数的数的7倍，求展开式中倍，求展开式中x的一次项的一次项例例2 已知已知 的展开式中，第的展开式中，第 例例3： 的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系
10、项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。大的项。(12 )nx变式引申：变式引申：1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）A.第第4项项 B.第第4、5项项 C.第第5项项 D.第第3、4项项2、若、若 展开式中的第展开式中的第6项的系数最大，则不项的系数最大，则不含含x的项等于的项等于( )A.210 B.120 C.461 D.4167()xy321()nxx例例4、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的
11、项； （2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项； （3）展开式中系数最大的项。）展开式中系数最大的项。42 xn1( x+)1、已知、已知 的展开式中的展开式中x3的系数的系数 为为 ，则常数，则常数a的值是的值是_ 92xxa942、在、在(1-x3)(1+x)10的展开式中的展开式中x5的系数是（）的系数是（） A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的项的系数是的项的系数是_课堂练习课堂练习4.4.已知已知(1+)n展开式中含展开式中含x-2x-2的项的系数为的项的系数为1212，求，求n.n.5.5.已知（已知（10+x
12、10+xlgxlgx）5 5的展开式中第的展开式中第4 4项为项为10106 6，求，求x x的值的值. .x2作业作业本作业作业本1.3.2（1）（1） 二项式系数的三个性质。二项式系数的三个性质。 （2） 数学思想：函数思想。数学思想：函数思想。 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值。最值。（3） 数学方法数学方法 ： 赋值法赋值法 、递推法、递推法研究题：研究题：求二项式求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的展开式中系数最大的项，试归纳出求形如项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大展开式中系数最大项的方法或步骤。项的方法或步骤。 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性 二项展开式中的二项式系数都是一些特二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意好，同时要注意“系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法，它是解决法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。有关二项展开式系数的问题的重要手段。