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1、第2课时1.1.计算下列各组算式：计算下列各组算式：2.2.把以上各组算式中的规律用字母表示出来为：把以上各组算式中的规律用字母表示出来为：_，这一规律符合，这一规律符合_公式公式. .【归纳【归纳】利用平方差公式可以对一些猜想进行验证利用平方差公式可以对一些猜想进行验证. .151516163 5_4 4_，；242425254 6_5 5_，；14314314414411 13_12 12_.，(a+1)(a-1)=a(a+1)(a-1)=a2 2-1-1平方差平方差3.3.与平方差公式有关的混合运算的一般步骤：与平方差公式有关的混合运算的一般步骤：(1)(1)确定运算顺序确定运算顺序.
2、.(2)(2)明确平方差公式中明确平方差公式中a a与与b.b.(3)(3)按运算顺序依次运算按运算顺序依次运算. .(4)(4)合并结果中的同类项合并结果中的同类项. .【预习思考【预习思考】什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数的和与这两数的什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数的和与这两数的差的积？差的积？提示：提示：当二项式表示某两个数平方差的时候，可逆用平方差公当二项式表示某两个数平方差的时候，可逆用平方差公式写成两数的和与这两数的差的积式写成两数的和与这两数的差的积. . 平方差公式的应用平方差公式的应用【例】【例】(6(6分分) )先化简，再求值：先化简，再求值：(b-a)(
3、a+b)-b(b-1)(b-a)(a+b)-b(b-1)，其中，其中a=-1,b=1.a=-1,b=1.【规范解答【规范解答】原式原式=b=b2 2-a-a2 2- -b b2 2+ +b b 2 2分分=-a=-a2 2+ +b b. .4 4分分当当a=-1a=-1，b=1b=1时，时，原式原式=-(-1)=-(-1)2 2+ +1 1= =0 0. .6 6分分特别提醒：特别提醒：对于后面单项对于后面单项式乘多项式的运算不要弄式乘多项式的运算不要弄错了符号错了符号. .【互动探究【互动探究】在化简求值时，要特别注意哪些问题？在化简求值时，要特别注意哪些问题？提示：提示：(1)(1)去括号
4、时去括号时, ,若括号前为负号若括号前为负号, ,要变号要变号. .(2)(2)合并同类项时，一定要弄清各项的系数合并同类项时，一定要弄清各项的系数. .(3)(3)应用平方差公式时应用平方差公式时, ,要紧抓公式的结构特征要紧抓公式的结构特征. .【规律总结【规律总结】平方差公式的应用及注意事项平方差公式的应用及注意事项两个应用：两个应用：1.1.利用平方差公式简化一些数字计算利用平方差公式简化一些数字计算. .2.2.逆用平方差公式进行化简、计算逆用平方差公式进行化简、计算. .四点注意：四点注意：1.1.必须符合平方差公式的结构特征必须符合平方差公式的结构特征. .2.2.有些式子虽然不
5、能直接应用公式，但经过适当变形或变换符有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算号后可以运用公式进行化简、计算. .3.3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化. .4.4.在运算过程中，有时可以反复应用公式在运算过程中，有时可以反复应用公式. .【跟踪训练【跟踪训练】1.1.计算计算a a2 2-(a+1)(a-1)-(a+1)(a-1)的结果是的结果是( )( )(A)1 (B)-1 (C)2a(A)1 (B)-1 (C)2a2 2+1 (D)2a+1 (D)2a2 2-1-1【解析【解析】选选A.aA.a
6、2 2-(a+1)(a-1)=a-(a+1)(a-1)=a2 2-(a-(a2 2-1)=a-1)=a2 2-a-a2 2+1=1.+1=1.2.2.如图，在边长为如图，在边长为a a的正方形中裁掉一个边长为的正方形中裁掉一个边长为b b的小正方形的小正方形( (如如图图1)1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接，将剩余部分沿虚线剪开后拼接( (如图如图2)2)，通过计算，用拼，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式( )( )(A)a(A)a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b) )(B)(a+b)(B)(a+b)
7、2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(C)(a+2b)(a-b)=a(C)(a+2b)(a-b)=a2 2+ab-2b+ab-2b2 2(D)(a-b)(D)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2【解析【解析】选选A.A.图图1 1中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为即为a a2 2-b-b2 2；图；图2 2中阴影部分为矩形，其长为中阴影部分为矩形，其长为a+ba+b，宽为，宽为a-ba-b，则其，则其面积为面积为(a+b)(a-b(a+b)(a-b) )，因为前后两个图形中阴影部分的面积相等，因为前后两
8、个图形中阴影部分的面积相等，所以所以a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b).).【变式备选【变式备选】如图，在边长为如图，在边长为a a的正方形中剪去一个边长为的正方形中剪去一个边长为b b的的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证下面的一个等式是阴影部分的面积，可以验证下面的一个等式是( )( )(A)(a+b)(A)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(B)(a-b)(B)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2(C)a(C
9、)a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b) )【解析【解析】选选C.C.第一个图形的阴影部分的面积为第一个图形的阴影部分的面积为a a2 2-b-b2 2，第二个图，第二个图形是梯形，则面积是形是梯形，则面积是 所以可得所以可得a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b).). 22221D ababab21(2a2b) ababab2，3.3.计算计算2 0122 0122 2-2 011-2 0112 013=_.2 013=_.【解析【解析】2 0122 0122 2-2 011-2 0112 0132 013=2 012=2 0122 2
10、-(2 012-1)-(2 012-1)(2 012+1)(2 012+1)=2 012=2 0122 2-(2 012-(2 0122 2-1)=1.-1)=1.答案：答案：1 14.4.若若m m2 2-n-n2 2=6=6，且，且m-nm-n=3=3，则，则m+nm+n=_.=_.【解析【解析】因为因为m m2 2-n-n2 2=(m+n)(m-n=(m+n)(m-n)=3(m+n)=6)=3(m+n)=6，所以，所以m+nm+n=2.=2.答案：答案：2 25.5.对于任意一个正整数对于任意一个正整数n n，整式，整式A=(4n+1)(4n-1)-(n+1)(n-1)A=(4n+1)(
11、4n-1)-(n+1)(n-1)能被能被1515整除吗？请说明理由整除吗？请说明理由. .【解析【解析】能能. .理由如下：理由如下：A=(4n)A=(4n)2 2-1-(n-1-(n2 2-1)=16n-1)=16n2 2-1-n-1-n2 2+1=15n+1=15n2 2. .因为因为n n是正整数，所以是正整数，所以15n15n2 2一定能被一定能被1515整除整除. .1.1.如图所示，在边长为如图所示，在边长为a a的正方形中挖去一个边长为的正方形中挖去一个边长为b b的小正方的小正方形形(a(ab)b)，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过
12、计算图形( (阴阴影部分的面积影部分的面积) )，验证了一个等式是，验证了一个等式是( )( )(A)a(A)a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b) )(B)(a+b)(B)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(C)(a-b)(C)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab+b-2ab+b2 2(D)(a+2b)(a-b)=a(D)(a+2b)(a-b)=a2 2+ab-2b+ab-2b2 2【解析【解析】选选A.A.由题意得：由题意得：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b=(a+b)(a-b).).2.2.若若a a，b b，c c为一
13、个三角形的三边，则代数式为一个三角形的三边，则代数式(a-c)(a-c)2 2-b-b2 2的值的值( )( )(A)(A)一定为正数一定为正数(B)(B)一定为负数一定为负数(C)(C)可能为正数，也可能为负数可能为正数，也可能为负数(D)(D)可能为零可能为零【解析【解析】选选B.B.因为因为(a-c)+b(a-c)+b(a-c)-b(a-c)-b=(a-c)=(a-c)2 2-b-b2 2, ,所以所以(a-c)(a-c)2 2-b-b2 2=(a-c+b)(a-c-b=(a-c+b)(a-c-b).).因为在三角形中，两边之和大于第三边，因为在三角形中，两边之和大于第三边，所以所以a-
14、c+ba-c+b0,a-c-b0,a-c-b0,所以所以(a-c+b)(a-c-b(a-c+b)(a-c-b)0.)0.3.3.若若a-b=3a-b=3，abab=2=2，则，则a a2 2-b-b2 2-6b=_.-6b=_.【解析【解析】因为因为a-b=3a-b=3，所以，所以a a2 2-b-b2 2-6b=(a+b)(a-b)-6b=-6b=(a+b)(a-b)-6b=3(a+b)-6b=3a-3b=3(a-b)=9.3(a+b)-6b=3a-3b=3(a-b)=9.答案：答案：9 94.(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(_)4.(a+2b+3c)(a-2b-3c)=(_)2 2-(_)-(_)2 2. .【解析【解析】(a+2b+3c)(a-2b-3c)(a+2b+3c)(a-2b-3c)= =a+(2b+3c)a+(2b+3c)a-(2b+3c)a-(2b+3c)=a=a2 2-(2b+3c)-(2b+3c)2 2. .答案：答案：a 2b+3ca 2b+3c5.(20125.(2012无锡中考无锡中考)3(x)3(x2 2+2)-3(x+1)(x-1).+2)-3(x+1)(x-1).【解析【解析】原式原式=3x=3x2 2+6-3(x+6-3(x2 2-1)-1)=3x=3x2 2+6-3x+6-3x2 2+3+3=9.=9.