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1、小结与复习,第二十八章 锐角三角函数,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,新课标人教版九年级数学下册,(2)A的余弦：cosA；(3)A的正切：tanA.,要点梳理,1. 锐角三角函数,如图所示，在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B，C的对边,sin30，sin45，sin60；cos30，cos45，cos60；tan30，tan45，tan60.,2. 特殊角的三角函数,1,(1) 在RtABC中，C90，a，b，c分别是A， B，C的对边,三边关系：_；三角关系：_ ；边角关系：sinAcosB_ ，cosAsinB _，tanA_，tanB_.,a2b2c2,A90B,3
2、. 解直角三角形,(2) 直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素,解法：一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边； 知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股 定理求斜边；知两边：先用勾股定理求另一边， 再用边角关系求锐角；斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题,(3) 互余两角的三角函数间的关系,sin = ，cos = _，sin2 + cos2 = .tan tan(90) =_.,cos(90),sin(90),1,1,对于sin与tan，角度越大，
3、函数值越 ；对于cos，角度越大，函数值越_.,大,小,(4) 锐角三角函数的增减性,(1) 利用计算器求三角函数值,第二步：输入角度值，,屏幕显示结果.,(不同计算器操作可能不同),4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角,(2) 利用计算器求锐角的度数,还可以利用 键，进一步得到角的度数.,第二步：输入函数值,屏幕显示答案 (按实际需要进行精确),方法：,2nd F,方法：,第二步：输入锐角函数值,屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值).,(1) 仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
4、,5. 三角函数的应用,以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图所示：,(2) 方位角,坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作，有 i = tan . 坡度通常写成1m的形式，如i=16.显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.,如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .,(3) 坡度，坡角,(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； 得到数学问题的答案； 得到实际问题
5、的答案,A,C,M,N,在测点A安置测倾器，测得M的仰角MCE=；,E,量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；,量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l tan+a.,(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：,6. 利用三角函数测高,(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？,在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE=；,A,C,B,D,M,N,E,在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角 MDE=；,量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.,考点讲练,例1 在ABC中，C90，sinA ，
6、则tanB的值为 ( )A. B. C. D.,解析：根据sinA ，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB,B,方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值,1. 在ABC中， A、 B都是锐角，且sinA=cosB， 那么ABC一定是_三角形,直角,2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C都在格点上，则ABC的正切值
7、是_.,例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tanAFE,分析：根据题意，结合折叠的性质，易得AFE=BCF，进而在RtBFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tanBCF的值，借助AFE=BCF，可得tanAFE的值,10,8,解：由折叠的性质可得，CF=CD，EFC=EDC=90.AFE+EFC+BFC=180，AFE+BFC=90.BCF+BFC=90，AFE=BCF.在RtBFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.,tanBCF = .,tanAFE=t
8、anBCF= .,10,8,解：在直角ABD中，tanBAD = BD = ADtanBAD=12 =9，CD=BCBD=149=5，sinC =,如图，ABC中，ADBC，垂足是D，若BC14，AD12，tanBAD ，求sinC的值,例3 计算：,解：原式,(1) tan30cos45tan60；,(2) tan30 tan60 cos230.,计算：,解：原式,解：原式,例4 如图，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC = ，求：(1) DC的长；,分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtACD和RtABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD
9、，由此可列方程求出CD,又 BCCDBD，,解得x =6，CD=6.,解：设CDx，在RtACD中，cosADC = ，,(2) sinB的值,解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，,在RtACD中，,在RtABC中，,方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.,如图所示，在RtABC中，C90，AC . 点D为BC边上一点，且BD2AD，ADC60.求ABC的周长 (结果保留根号).,解：在RtADC中，,BD2AD4.,BCBDDC5.,在RtABC中，,ABC的周长为ABBCAC,解：连接OC.BC
10、是O的切线，OCB90，OCABCA90.OAOC，OCAOAC，OACBCA90，BOA90，OACAPO90，APOBPC，BPCBCA，BCBP.,例5 已知：如图，RtAOB中，O90，以OA为半径作O，BC切O于点C，连接AC交OB于点P.(1) 求证：BPBC；,解：延长AO交O于点E，连接CE，在RtAOP中，sinPAO ，设OPx，AP3x，AO x.AOOE，OE x，AE x.sinPAO ，在RtACE中 ， ，解得x3，AO x ，即O的半径为 .,(2) 若sinPAO ，且PC7，求O的半径,E,如图，AB为O的直径，且弦CDAB于E，过点 B的切线与AD的延长线
11、交于点F若cosC = ，DF=3，求O的半径,解：连接BD,在O中，C=A，,BF是O的切线，ABF=90,设AB=4x，则AF=5x，,由勾股定理得，BF=3x,AB是O的直径，BDAD，,cosA=cosC=,ABFBDF，,O的半径为,例6 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中ADBC，=60，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角=45若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE(结果保留根号),解：过点A作AFBC于点F，在RtABF中，ABF =60，则AF=ABsin60= (m)，在RtAEF中，E=45，则 (m).故改造后的坡长 AE 为 m.,F,如图，某防洪
12、指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45，高10米经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比i =1: 求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号),G,H,解：作DGAB于G，EHAB于G，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.,(米)，,(米).,又AG=DG=10米，, (米).故加固后坝底增加的宽度AF为 米.,例7 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的
13、仰角是48，若坡角FAE=30，求大树的高度（结果保留整数，参考数据:(sin480.74，cos480.67，tan481.11， 1.73）,解：如图，过点 D 作DGBC于G，DHCE于H，则四边形DHCG为矩形故DG=CH，CG=DH，DGHC，DAH=FAE=30，在RtAHD中，DAH=30，AD=6，DH=3，AH= ，CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中，,G,H,在RtBDG中， BG=DG tan30，解得：x 13，大树的高度为：13米.,G,H,如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30，在A、C之间选择一点B（A、B、
14、C三点在同一直线上）用测角仪测得塔顶D的仰角为75，且AB间的距离为40m (1) 求点B到AD的距离；,答案：点B到AD的距离为20m.,E,(2) 求塔高CD（结果用根号表示）,解：在RtABE中，A=30，ABE=60，DBC=75，EBD=1806075=45，DE=EB=20m，则AD=AE+EB= (m)，在RtADC中，A=30，答：塔高CD为 m., (m).,例8 如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得CAO=45，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B
15、处，轮船乙行驶至D处，测得DBO=58，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）,解：设B处距离码头O x km，在RtCAO中，CAO=45， CO=AO tanCAO=（450.1+x） tan45=4.5+x，在RtDBO中，DBO=58， DO=BO tanDBO=x tan58，DC=DOCO，360.1=x tan58（4.5+x），因此，B处距离码头O大约13.5km.,tanCAO= ,tanDBO= ,某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发
16、出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海，径直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去若CD40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由 (参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43).,分析： 在RtCDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可,解：由题意得BCD55，BDC90.BDCD tanBCD40tan5557.2(米)BC 70.2(米)t甲57.2221038.6(秒)，t乙70.22235.1(秒)t甲t乙答：乙先到达B处,锐角三角函数,特殊角的三角函数,解直角三角形,简单实际问题,课堂小结,正弦,锐角三角函数,余弦,正切,三边关系,三角关系,边角关系,仰俯角问题,方位角问题,坡度问题,见章末练习,课后作业,