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1、课时跟踪检测1数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn.an1SnSn1解：(1)Sn2ana1，当 n2 时，Sn12an1a1，得，an2an2an1，即 an2an1.由 a1，a21，a3成等差数列，得 2(a21)a1a3，2(2a11)a14a1，解得 a12.数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列an2n.(2)an2n，Sn2ana12n12，Sn12n22.bn.an1SnSn12n12n122n221212n112n11数列bn的前 n 项和Tn12(1
2、211221) (12211231)(12n112n11)12.(112n11)2n12n112(2019绍兴适应性考试)已知数列an是公差为 2 的等差数列，且a1，a51，a231 成等比数列数列bn满足：b1b2bn2n12，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列cn的前 n 项和为 Tn，且 cnError!若对 nN*，T2nT2k恒成立，求正整数 k 的值解：(1)由已知得(a51)2a1(a231)，即(a19)2a1(a145)，所以 a13，所以 an2n1.当 n1 时，b12，当 n2 时，bn(b1b2bn)(b1b2bn1)2n12n2n，所以 bn2
3、n.(2)因为 T2n13 717 1114n1 4n3(122124122n) ，14(1314n3)13(114n)1411214n134n3所以 T2n2T2n112(14n34n714n134n3)112124n34n734n.14n34n714n34n74n1设 dn，4n34n74n1则 dn1dnd2d3d4，由于 d11，d21，d31，d40，所以T2n中 T8最小，所以 k 的值为 4.3已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 an3Sn4，bnlog2an1.(1)求数列an的通项公式与数列bn的通项公式；(2)令 cn，其中 nN*，若数列cn的前 n 项和为 Tn，求
4、bn2n11nn1Tn.解：(1)由 a13a14，得 a11，由 an3Sn4，知 an13Sn14，两式相减并化简得 an1 an，14ann1，bnlog2an1log2n2n.(14)(14)(2)由题意知，cn.n2n1nn1令 Hn ，12222323n2n则 Hn，12122223n12nn2n1得， Hn 1.121212212312nn2n1n22n1Hn2.n22n又TnHn1 111 212 31nn11212131n1n11n1，nn1TnHn(TnHn)2.n22nnn14(2019诸暨期末)数列an的各项为正数，a12，前 n 项和 Sn，满足Sn1Sn；等比数列b
5、n的公比等于 2，其首项满足是与 n 无n2nn1log3b12n1log3b1关的常数(1) 求 an；(2)求|a1b1|a2b2|a3b3|anbn|.解：(1)法一：，Sn1Snn2n .S2S1S3S2SnSn1314253n1n1，Snn(n1)，Sn2nn12anSnSn12n(n2)又 a12 也符合上式，an2n.法二：由 S12，S2623，S31234，猜想 Snn(n1)用数学归纳法证明：易知当 n1 时猜想成立；假设当 nk 时，猜想成立，即 Skk(k1)，则当 nk1 时，Sk1Sk(k1)(k2)，k2k即当 nk1 时，猜想也成立，所以 Snn(n1)则 an
6、SnSn12n(n2)又 a12 也符合上式，an2n.(2)由题意令 n1,2，得，2log3b13log3b13log3b15log3b1解得 log3b11，b1 ，13此时 为常数，n1log3b12n1log3b112bn2n1.(13)记 f(n)anbn2n，2n13则 f(n1)f(n)2，2n13当 n4 时，f(n)单调递减又 f(1)，f(2)，f(6)0，f(7)bn；当 n7 时，bnan.记数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn.2n13当 n6 时，|a1b1|a2b2|anbn|(a1a2an)(b1b2bn)n(n1)；2n13当 n7 时，|a1b1|a2
7、b2|anbn|(a1a2a6)(b1b2b6)(b7bn)(a7an)TnSn2S62T6n(n1)42.2n13综上，|a1b1|a2b2|anbn|Error!5已知各项均不相等的等差数列an的前 4 项和为 14，且 a1，a3，a7恰为等比数列bn的前 3 项(1)分别求数列an，bn的前 n 项和 Sn，Tn；(2)设 Kn为数列anbn的前 n 项和，若不等式 SnTnKnn 对一切 nN*恒成立，求实数 的最小值解：(1)设数列an的公差为 d，则Error!解得 d1 或 d0(舍去)，a12，所以 ann1，Sn.nn32bn2n，Tn2n12.(2)由题意得 Kn221322(n1)2n，则 2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，Knn2n1.要使 SnTnKnn 对一切 nN*恒成立，即 恒成立，KnnSnTn2n11n32n1设 g(n)，2n11n32n1因为，当 n3 时，n.由 an11，2n122n1112n1112n1得Snnn2n2，(11211) (11221)(112n1)112n112(112n)故 nSnn2.