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1、高一数学集合知识点汇总高一数学集合学问点汇总 一.学问归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 留意：集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性(a,b与b,a表示同一个集合)。 集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必需符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用
2、数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ，且 ) 3)交集：A∩B=x| x∈A且x∈B 4)并集：A∪B=x| x∈A或x∈B 5)补集：CUA=x| x A但x∈U 留意：? A，若A≠?，则? A ; 若 ， ，则 ; 若 且 ，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，驾驭有关的术语和符号，特殊要留意以下的符号：(1) 与
3、 、?的区分;(2) 与 的区分;(3) 与 的区分。 4.有关子集的几个等价关系 A∩B=A A B;A∪B=B A B;A B C uA C uB; A∩CuB = 空集 CuA B;CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个
4、非空子集，2n-2个非空真子集。 二.例题讲解： 已知集合M=x|x=m+ ,m∈Z,N=x|x= ,n∈Z,P=x|x= ,p∈Z，则M,N,P满意关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从推断元素的共性与区分入手。 解答一：对于集合M：x|x= ,m∈Z;对于集合N：x|x= ,n∈Z 对于集合P：x|x= ,p∈Z，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。 分析二：简洁列举集合中的元素。 解答二：M=， ，N=， ,
5、, ，P=， , ，这时不要急于推断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。 = ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N， = P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。 点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。 变式：设集合 ， ，则( B ) A.M=N B.M N C.N M D. 解： 当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B 定义集合A*B=x|x∈A且x B，若A=1,3,5,7,B=2,3,5，则A*B的子
6、集个数为 A)1 B)2 C)3 D)4 分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A=a1，a2，an有子集2n个来求解。 解答：A*B=x|x∈A且x B， ∴A*B=1,7，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。 变式1：已知非空集合M 1,2,3,4,5，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为 A)5个 B)6个 C)7个 D)8个 变式2：已知a,b A a,b,c,d,e,求集合A. 解：由已知，集合中必需含有元素a,b. 集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,
7、a,b,c,e,a,b,d,e. 评析 本题集合A的个数实为集合c,d,e的真子集的个数，所以共有 个 . 已知集合A=x|x2+px+q=0,B=x|x2?4x+r=0,且A∩B=1,A∪B=?2,1,3,求实数p,q,r的值。 解答：A∩B=1 ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3. ∴B=x|x2?4x+r=0=1,3, A∪B=?2,1,3,?2 B, ∴?2∈A A∩B=1 ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为
8、-2和1， ∴ ∴ 变式：已知集合A=x|x2+bx+c=0,B=x|x2+mx+6=0,且A∩B=2,A∪B=B，求实数b,c,m的值. 解：A∩B=2 ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5 ∴B=x|x2-5x+6=0=2,3 A∪B=B ∴ 又 A∩B=2 ∴A=2 ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4 ∴b=-4,c=4,m=-5 已知集合A=x|(x-1)(x+1)(x+2)>0,集合
9、B满意：A∪B=x|x>-2，且A∩B=x|1 分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。 解答：A=x|-21。由A∩B=x|1-2可知-1,1 B，而(-∞,-2)∩B=。 综合以上各式有B=x|-1≤x≤5 变式1：若A=x|x3+2x2-8x>0，B=x|x2+ax+b≤0,已知A∪B=x|x>-4，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0) 点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应留意用数形结合的方法，作出数轴来解
10、之。 变式2：设M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0，若M∩N=N，求全部满意条件的a的集合。 解答：M=-1,3 , M∩N=N, ∴N M 当 时，ax-1=0无解，∴a=0 综得：所求集合为-1，0， 已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。 分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分别求解。 解答：(1)若 ， 在 内有有解 令 当 时， 所以a>-4,所以a的取值范围是 变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取
11、值范围。 解答： 点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类探讨，但并不是全部的问题都要探讨，怎样可以避开探讨是我们思索此类问题的关键。 三.随堂演练 选择题 1. 下列八个关系式0= =0 0 0 0 其中正确的个数 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 2.集合1，2，3的真子集共有 (A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个 3.集合A=x B= C= 又 则有 (A)(a+b) A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个 4.设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是 (A)CUA CUB (B)CUA CUB=U (C)
12、A CUB= (D)CUA B= 5.已知集合A= ， B= 则A = (A)R (B) (C) (D) 6.下列语句：(1)0与0表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为 1，2，3或3，2，1; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的全部解的集合可表示为 1，1，2; (4)集合 是有限集，正确的是 (A)只有(1)和(4) (B)只有(2)和(3) (C)只有(2) (D)以上语句都不对 7.设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X= (A)X (B)T (C)Φ (D)S 8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判
13、别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为 (A)R (B) (C) (D) 填空题 9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为 10.若A=1,4,x,B=1,x2且A B=B，则x= 11.若A=x B=x ,全集U=R，则A = 12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是 13设集合A= ,B=x ,且A B，则实数k的取值范围是。 14.设全集U=x 为小于20的非负奇数，若A (CUB)=3，7，15，(CUA) B=13，17，19，又(CUA) (CUB)= ，则A B= 解答题 15(8分)已知集合A=a2,a+1,-3,B=a-3,2a-1,a2+1, 若A B=-3，求实数a。 16(12分)设A= ， B= ， 其中x R,假如A B=B，求实数a的取值范围。 四.习题答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C B C D D 填空题 9.(x,y) 10.0, 11.x ,或x 3 12. 13. 14.1,5,9,11 解答题 15.a=-1 16.提示：A=0，-4，又A B=B，所以B A ()B= 时， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1 ()B=0或B=-4时， 0 得a=-1 ()B=0，-4， 解得a=1 综上所述实数a=1 或a -1