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1、 义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书九年级九年级 下册下册1.2二次函数的图像与性质（二次函数的图像与性质（1）y=ax函数y=axy=ax+bx+c+bx+c (a,b,c(a,b,c是常数是常数,a 0),a 0) 叫做x的二次函数. .1. .什么叫二次函数什么叫二次函数? ?知识回顾知识回顾我们学过用什么方法画函数的图象?主要有哪些步骤?回顾知识回顾知识: :一、正比例函数一、正比例函数y=kx（k 0）其图象是什么。）其图象是什么。二、一次函数二、一次函数y=kx+b（k 0）其图象又是什么。）其图象又是什么。正比例函数正比例函数y=kx（k 0）其图象是一条经过）
2、其图象是一条经过原点原点的直线。的直线。一次函数一次函数y=kx+b（k 0）其图象也是一条直线。）其图象也是一条直线。三、反比例函数三、反比例函数 （k 0）其图象又是什么。）其图象又是什么。xky反比例函数反比例函数 （k 0）其图象是双曲线。）其图象是双曲线。xky二次函数二次函数y=ax+ bx+c（a 0）其图象又是什么呢？。其图象又是什么呢？。二次函数二次函数y=ax2的图像与性质的图像与性质例：例： 在同一直角坐标系中画出在同一直角坐标系中画出y=x2和和y=-x2的图像的图像观察并比较它们有什么共同点和不同点观察并比较它们有什么共同点和不同点想一想想一想w观察观察y=y=x x
3、2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算相应的并计算相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：用描点法画二次函数用描点法画二次函数y=y=x x2 2的图象的图象x xy=xy=x2 20123-1-2-30149149xy1xy2xy=x2y= - x2.0-2 -1.5-1-0.511.50.52 函数图象画法函数图象画法列表列表描点描点连线连线00.2512.2540.2512.254 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4注意：列表时自变量注意：列表时自变量取值要均匀和对称
4、。取值要均匀和对称。2xy2xy画出下列函数的图象。画出下列函数的图象。222x32y)3(x2y)2(x21y)1( xy0 0-4-3-2-11234108642-21描点描点, ,连线连线y= =x2 2?xy=2x2.0-2 -1.5-1-0.511.50.5200.524.580.524.58列表参考00.524.580.524.58x.0-3-1.5 -11.51-223232xy0321.538-6321.538-6221xy22xy232xyx.0-4 -3-2-123 14221xy 二次函数二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做
5、抛物线。所经过的路线，我们把它叫做抛物线。22xy232xy221xy2xy2xy这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。抛物线抛物线y=x2y=-x2顶点坐标
6、顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向极值极值2xy2xy 1、观察右图，、观察右图，并完成填空。并完成填空。（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）在在x轴的下方（除顶点外）轴的下方（除顶点外）向上向上向下向下当当x=0时，最小值为时，最小值为0。当当x=0时，最大值为时，最大值为0。二次函数二次函数y=ax2的性质的性质、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴、位置与开口方向、位置与开口方向、增减性与极值、增减性与极值2 2、练习、练习2 2 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有
7、什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 答：抛物线抛物线答：抛物线抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2 既关于既关于x轴对称，轴对称，又关于原点对称。只要画出又关于原点对称。只要画出y=ax2与与y= -ax2中的一条抛物线，中的一条抛物线，另一条可利
8、用关于另一条可利用关于x轴对称或关于原点对称来画。轴对称或关于原点对称来画。增减性增减性在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 填空填空:(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是_;对称轴是对称轴是_;在在_ 侧侧,y随着随着x的增大而的增大而增大增大;在在_侧侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小;当当x= 时时,函数函数y的值最小的值最
9、小,最小值是最小值是 ;抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).（0，0）y轴轴对称轴的左对称轴的左0对称轴的右对称轴的右0上上驶向胜利的彼岸练习一、已知抛物线练习一、已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得 -8=a(-2)2,解出解出a= -2, 所求函数解析式为所求函数解析式为
10、 y= -2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。）不在此抛物线上。2) 1(24（3）由）由-6=-2x2 ,得得x2=3, 所以纵坐标为所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是的点有两个，它们分别是 3x) 6, 3() 6, 3( 与 例例1、已知二次函数、已知二次函数y=ax2(a0)的图像的图像经过点经过点(-2,-3).(1)求求a的值，并写出这个二次函数的解析式的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置开口方向和图像的位置.22xy232xy221xy2xy
11、2xyw函数函数y=ay=ax x2 2(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质: :xy0yx0.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值2xy2xy 1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴对称轴是是y轴轴.2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它的开口向上它的开口向上,并且向并且向上无限伸展上无限伸展；在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在对称轴右侧的增大而减小；在对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.
12、 当当a0时时,抛物线抛物线y=ax2在在x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外),它的开口向下它的开口向下,并且向下并且向下无限伸展无限伸展.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的右侧的增大而增大；在对称轴的右侧,y随随着着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数y=ax2的性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ax2y= ax2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外) 在在x轴的下方轴的下方( 除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时
13、,最小值为最小值为0.当当x=0时时,最大值为最大值为0.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的的增大而增大而减小减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的的增大而增大增大而增大. 在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的的增大而增大而增大增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的的增大而减小增大而减小. 1 1、抛物线、抛物线 图象在图象在x x轴的轴的 方方( (除顶点外除顶点外), ), 当当x_x_时时,y,y随着随着x x的的增大而增大增大而增大；当当x_x_时时,y,y随着随着x x的的, ,增大而减小，增大而减小，当当x=0 x=0时时, ,函数
14、函数y y的值最大的值最大, ,最大值是最大值是_,_,当当x x 0 0时时,y0.,y0.232xy下下0022xy232xy1 1、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2.3x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点
15、外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上,顶点是抛顶点是抛物线上的最低点物线上的最低点;当当a0时时,抛物线抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）,它的开口向它的开口向上上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大的增大而减小；而减小；在对称轴右侧在对称轴右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而的增大而增大；增大；在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.小结 拓展w1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是原点,对称轴是对称轴是y轴轴.2xy2xy 画出下列函数的图象。画出下列函数的图象。22(1)22(2)3yxyx