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1、数学试卷第 1 页（共 16 页）数学试卷第 2 页（共 16 页）绝密启用前浙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.参考公式：若事件，互斥，则.AB()( )( )P ABP AP B若事件，相互独立，则.AB()( ) ( )P ABP A P B若事件在一次试验中发生的概率是，则 次独立重复试验中事件恰好发生ApnA次的概率.k( )C(1)(0,1,2, )kkn k nnP kppkn台体的体积公式：，其中，分别表示台体的上、下底11221()3VSS SS h1S2S面积，表示台
2、体的高.h柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.VShSh锥体的体积公式：，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.1 3VShSh球的表面积公式：，其中表示球的半径.24SR R球的体积公式：，其中表示球的半径.343VRR选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则（ 1,2,3,54,U 31,A=UA）A.B.1,3C.D.2,4,51,2,3,4,52.双曲线的焦点坐标是（ 2 21 3=xy）A.，(2,0)( 2,0)B.，( 2,0)(2,0)C.，(0
3、,2)(0, 2)D.，(0, 2)(0,2)3.某几何体的三视图如图所示（单位：） ，则该几何体的体积（单位：）是cm3cm（ ）侧 侧 侧侧 侧 侧侧 侧 侧2211A.2B.4C.6D.84.复数( 为虚数单位)的共轭复数是（ 2 1 ii）A.B.C.D.1i1i1i 1i 5.函数的图象可能是（ | |sin22xxy ）AB毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 3 页（共 16 页）数学试卷第 4 页（共 16 页）CD6.已知平面，直线，满足，则“”是“”的mnmnamnm（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D
4、.既不充分也不必要条件7.设，随机变量的分布列是01p012P1 2p1 22p则当在）内增大时，（ p(0,1)）A.减小B.增大D（）D（）C.先减小后增大D.先增大后减小D（）D（）8.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含SABCDEAB端点） ，设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角SEBC1SEABCD2的平面角为，则SABC3（ ）A.B.123321C.D.1322319.已知，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量abeeae3满足，则的最小值是（ b2430be bA|ab）A.B.3131C.2D.2310.已知，成等比数列，且.若，1a
5、2a3a4a1234123ln()aaaaaaa11a 则（ ）A.，13aa24aaB.，13aa24aaC.，13aa24aaD.，13aa24aa非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11.我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则当时， xyz100,153100,3xyzxyz81z x ， .y 12.若，满足约束条件则的最小值是 ，最大值是 xy0,26,2,xyxyxy 3z
6、xy13.在中，角，所对的边分别为，若，ABCABCabc7a 2b ，则 . .60AsinB c 14.二项式的展开式的常数项是 .8 31 2xx15.已知，函数，当时，不等式的解集是 .若R24,),(43xxxxxxf 2( )0f x 函数恰有 2 个零点，则的取值范围是 ( )f x16.从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)17.已知点，椭圆上两点，满足，则当()0,1P22 (1)4ym mxAB2APPB 时，点横坐标的绝对值最大.m B三、解答题：本大题共 5 小题，共 74
7、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分 14 分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点OxP数学试卷第 5 页（共 16 页）数学试卷第 6 页（共 16 页）.34,55（）求的值；sin()（）若角满足，求的值.1in(5 3s)cos19 （本小题满分 15 分）如图，已知多面体，均垂直于平面，111ABCABC1A A1B B1C CABC，.120ABC 14A A11C C 12ABBCB B（）证明：平面；1AB111ABC（）求直线与平面所成的角的正弦值.1AC1ABB20.（本小题满分 15 分）已知等比数列的公比，且，是，的等
8、差中 na1q 34528aaa42a 3a5a项数列满足，数列的前项和为. nb11b (1)nnnbb a n22nn（）求的值；q（）求数列的通项公式. nb21.（本小题满分 15 分）如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线上存在不同的两点Pyy2:4C yx，满足，的中点均在上ABPAPBC（）设中点为，证明：垂直于轴；ABMPMy（）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围.P2 2 41(0)yxxPABPMBAOyx22.（本小题满分 15 分）已知函数.l(n)xf xx（）若在，处导数相等，证明：；( )f x1xx212()xxx12()()88ln2f xf x（）若，
9、证明：对于任意，直线与曲线有唯34ln2a 0k ykxa( )yf x一公共点.-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_姓名_ 考生号_ _ _数学试卷第 7 页（共 16 页）数学试卷第 8 页（共 16 页）浙江省 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案解析一、选择题1.【答案】C【解析】由补集概念知，把全集 U 中去掉元素 1，3 得，.2, ,=4 5UA【考点】集合的补集运算2.【答案】B【解析】从双曲线的标准方程知，焦点在 x 轴上，且，则 c2 213xy223,61a ，进而焦点坐标为.2223 14ab ( 2,0)【考点】双曲线的标准方程和几何性质3.
10、【答案】C【解析】由三视图知，该几何体为直四棱柱，且侧棱长为 2，上下底面为上边为 1，下边为 2，高为 2 的直角梯形.故(12)2262V【考点】空间几何体的三视图4.【答案】B【解析】所以的共轭复数为.22(1i)1i1i(1i)(1i) 2 1i1 i【考点】复数的基本概念5.【答案】D【解析】设，因为，所以| |( )2 sin2xf xx|()2sin2()2sin2( )xxfxxxf x 函数为奇函数，选项 A，B 不符，当时，则选项 C 不符合，( )f x2 3x ( )0f x 故选 D.【考点】函数的图象和性质6.【答案】A【解析】如图，作 SO 垂直于平面 ABCD，
11、垂足为 O，取 AB 的中点 M，连接 SM，则，而，且,故，23,SEOSMO23tan,tanSOSO OEOMEOMO32根据线面所成角定义可推得，线面所成角是鞋面与平面内直线所成角中最小的角，所以选 D.9.【答案】A【解析】由可得，即，即，如2430be bA22441be beA-2(2 )1be|2 | 1be图，由几何意义得，b 的终点 B 在以 F 为圆心，半径为 1 的圆上运动，a 的终点 A在射线 OP 上，当点 B 为点 F 到 OP 的垂线与圆 F 的交点时，最小，即|abmin|2sin1313|ab 【考点】平面向量的运算及几何意义数学试卷第 9 页（共 16 页
12、）数学试卷第 10 页（共 16 页）10.【答案】B【解析】由结构，想到常用对数放缩公式，1234123ln()aaaaaaaln1xx 所以，即.若，1234123123ln()()1aaaaaaaaaa41a1q则即而2 12341(1)(1)0aaaaaqq123ln()0aaa，故，即与2 12311(1)1aaaaqqa123ln()0aaa矛盾，所以，所以选 B123ln()0aaa10q 【考点】等比数列中的基本量以及对数的有关性质二、填空题11.【答案】811【解析】当时，得，解得.81z 195373xyxy 811xy 【考点】数学文化与方程组的解法12.【答案】28【解
13、析】由得，欲求的最值，即求的最值，3zxy1 33zyx 3zxy3zxy即求直线在可行域内纵截距的最值，由图知，在点 A（4，-2） ，1 33zyx B（2，2）处分别取得最小值和最大值，即.minmax43( 2)22328zz ，【考点】二元一次不等式表示平面区域以及线性规划等知识13.【答案】21 73【解析】由正弦定理得，即，由余弦定理得72 sin60sinB21sin7B ，解得（舍）.227222 cos60cc3,1cc 【考点】解三角形中的正弦定理与余弦定理14.【答案】7【解析】设，令，得，此时8 4 833 18811()22rrr rrr rTCxCxx A8403
14、r2r .37T 【考点】二项式定理的通项公式15.【答案】(1,4)(1,3(4,)【解析】当，由得或，即或2( )0f x 40 2x x2430 2xx x24x ，故不等式的解集为（1,4）令，得或或12x( )0f x ( )0f x 4x 1x ，欲使得函数恰好有 2 个零点，则使或.3x ( )f x413 【考点】一元一次不等式、一元二次不等式的解法、函数零点的求法16.【答案】1260【解析】分两类讨论，第一类不取 0，则有，第二类，取 0，则有224 534720C C A ，一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数.2114 5334540C C C A 2114
15、5334540C C C A 【考点】计数原理中排列组合等知识17.【答案】5【解析】设点，当直线 AB 的斜率不存在时，此时；当直线1122,),(,)A x yB xy9m AB 的斜率存在时，设直线 AB 为，代入方程可得1ykx2 2(1)4xym m，由得，由书达定理得22(14)8440kxkxm0 2410mkm ，由得，联立解得121222844,1414kmxxx xkk 2APPB 122xx 数学试卷第 11 页（共 16 页）数学试卷第 12 页（共 16 页），所以（当且仅当1222168,1414kkxxkk 228|8|21144|kxkkk时取等号） ，此时，而
16、动，1|2k 122216881414kkx xkk A122442214mx xmk解得，经检验，符合题意。5m 5m 【考点】直线与椭圆的位置关系以及平面向量等知识三、解答题18.【答案】（）由角的终边过点得，34,55P4sin5 所以.4sin()sin5 （）由角的终边过点得，34,55P3cos5 由得.5sin()1312cos()13 由得，()coscos()cossin()sin所以或.56cos65 16cos65 【考点】三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力19.【答案】（）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半
17、轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：111(0,3,0), (1,0,0),(0,3,4),(1,0,2),(0, 3,1),ABABC因此11111(1, 3,2),(1, 3, 2),(0,2 3, 3),ABABACuuu ruuuu ruuuu r由得.11 10AB AB uuu r uuuu r g111ABA B由得.1110AB AC uuu r uuuu r g111ABAC所以平面.1AB111A BC（）设直线与平面所成的角为 .1AC1ABB由（）可知11(0,2 3,1),(1, 3,0),(0,0,2),ACABBBuuuruu u ruuu r
18、设平面的法向量.1ABB( , , )x y zn由即可取.10,0,ABBBuu u ruuu rnn30, 20,xy z(3,1,0) n所以.1 1 1|39sin|cos,|13| |ACAC AC uuuruuur uuurn|n n|因此，直线与平面所成的角的正弦值是.1AC1ABB39 13【考点】空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识20.【答案】 （）由是的等差中项得，42a 35,a a35424aaa所以，34543428aaaa解得.48a 由得，3520aa18()20qq因为，所以.1q 2q （）设，数列前 n 项和为.1()nnnncbb anc
19、nS由解得.11,1,2.n nnS ncSSn41ncn由（）可知，12nna所以，1 11(41) ( )2n nnbbn 故，2 11(45) ( ),22n nnbbnn 11123221()()()()nnnnnbbbbbbbbbb.23111(45) ( )(49) ( )73222nnnnA设，221113711 ( )(45) ( ),2222n nTnnA数学试卷第 13 页（共 16 页）数学试卷第 14 页（共 16 页）2211111137 ( )(49) ( )(45) ( )22222nn nTnn AA所以，22111111344 ( )4 ( )(45) ( )
20、22222nn nTnAA因此，2114(43) ( ),22n nTnnA又，所以.11b 2115(43) ( )2n nbn【考点】等差数列、等比数列、数列求和等基础知识21.【答案】 （）设，00(,)P xy2 111(,)4Ayy2 221(,)4Byy因为，的中点在抛物线上，PAPB所以，为方程即的两个不同的实1y2y2 0201 4()422yxyy A22 000280yy yxy数根所以1202yyy因此，垂直于 轴PMy（）由（）可知1202 12002,8,yyyy yxy所以，222 1200013|()384PMyyxyx2 1200| 2 2(4)yyyx因此，的
21、面积PAB3 22 120013 2| |(4)24PABSPMyyyxA因为，所以2 20 001(0)4yxx22 000044444,5yxxx 因此，面积的取值范围是PAB15 106 2,4 【考点】椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识22.【答案】 （）函数的导函数，( )f x11( )2fxxx由得，12()()fxfx1212111122xxxx因为，所以12xx12111 2xx由基本不等式得4121212122x xxxx x因为，所以12xx12256x x 由题意得12112212121()()lnlnln()2f xf xxxxxx xx x设，
22、1( )ln2g xxx则，1( )(4)4g xxx所以x（0，16）16（16，+）( )g x0+( )g x24ln2所以在上单调递增，( )g x256,)故，12()(256)88ln2g x xg即12()()88ln2f xf x（）令，则()eakm211ank ，( )0f mkmaakka，1(0)f nknaanknn所以，存在）使，0(, )xm n00()f xkxa所以，对于任意的 aR 及 k（0，+） ，直线与曲线有公共点ykxa( )yf x由得( )f xkxalnxxakx设，ln( )xxah xx则，22ln1( )12( )xxag xah xxx 其中( )ln2xg xx由（）可知，又，( )(16)g xg34ln2a故，11613420g xagalna （）（）-数学试卷第 15 页（共 16 页）数学试卷第 16 页（共 16 页）所以，即函数在（0，+）上单调递减，因此方程至多( )0h x( )h x( )0f xkxa1 个实根综上，当时，对于任意，直线与曲线有唯一公34ln2a0k ykxa( )yf x共点.【考点】函数的单调性，导数的运算及其应用