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1、数学试卷 第 1 页（共 16 页） 数学试卷 第 2 页（共 16 页） 绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷 III 数学(文科)本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷(选择题 共 60 分)一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则 ( )|10Ax x 0,1,2B AB A.B.C.D. 01 1,20,1,22. ( )(1)(2)iiA.B.C.D.3i 3i 3i3i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构
2、件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )ABCD4.若,则 ( )1sin3cos2A.B.C.D.8 97 97 98 95.若某群体中的成员只用现金支付的概率为,既用现金支付也用非现金支付的概率0.45 为,则不用现金支付的概率为 ( )0.15A.B.C.D.0.30.40.60.76.函数的最小正周期为 ( )2tan( )1tanxf xxA.B.C.D. 4 227.下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是 ( )lnyx1x A.B.C.D.ln(1)yxln(2)yxln(1)yxln(2)yx
3、8.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则20xyxyABP22(2)2xy面积的取值范围是 ( )ABPA.B.C.D.2,64,82,3 22 2,3 29.函数的图象大致为 ( )422yxx ABCD10.已知双曲线()的离心率为,则点到的渐近线22221xyCab：00ab，2(4,0)C的距离为 ( )A.B.C.D.223 2 22 211.的内角,的对边分别为,.若的面积为,则ABCABCabcABC2224abc( )C A.B.C.D. 2 3 4 6毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 16 页） 数学试卷
4、 第 4 页（共 16 页）12.设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点,为等边三角形且其面ABC积为9 3,则三棱锥DABC体积的最大值为 ( )A.B.C.D.12 318 324 354 3第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知向量,.若,则 .(1,2)a (2, 2)b (1, )c(2)cab14.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .15.若变量,满足约束条件则的最
5、大值 .xy230 240 20.xy xy x ， ， 1 3zxy16.已知函数,则 .2( )ln( 1)1f xxx( )4f a ()fa三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题.考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.(12 分)等比数列中,. na11a 534aa(1)求的通项公式； na(2)记为的前项和.若,求.nS nan63mS m18.(12 分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取
6、 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超 m过和不超过的工人数填入下面的列联表；mm超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？，2 2() ()()()()n adbcKab cd ac bd附：2()P Kk0.0500.0100.001k3.8416.
7、63510.82819.(12 分)如图,矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直,是上异于,ABCDACDMACDC的点.D(1)证明：平面平面;AMDBMC(2)在线段上是否存在点,使得平面？说明理由.AMPMCPBD20.(12 分)已知斜率为的直线 与椭圆交于,两点.线段的中点kl22 143xyC：ABAB-在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 5 页（共 16 页） 数学试卷 第 6 页（共 16 页） 为.(1,)(0)Mm m(1)证明：;1 2k(2)设为的右焦点,为上一点,且.FCPC0FPFAFB 证明：.2 FPFAFB 21.(12 分)已知函数.21( )exa
8、xxf x(1)求由线在点处的切线方程；( )yf x0,1(2)证明：当时,.1a( )e0f x (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数),过点xOyOcos , sinx y 且倾斜角为的直线 与交于,两点.(0,2)lOAB(1)求的取值范围；(2)求中点的轨迹的参数方程.ABP23.选修 45：不等式选讲(10 分)设函数.( )121f xxx(1)画出的图像;( )yf x(2)当时,求的最小值.0,)x( )f xaxbab201
9、8 年普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷 III毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 16 页） 数学试卷 第 8 页（共 16 页）文科数学答案解析第卷一、选择题1.【答案】C【解析】，故选 C. |10 =|1Ax xx x 0,1,2B 1,2AB 【考点】集合的运算2.【答案】D【解析】，故选 D.2(1)(2)=223iiiiii 【考点】复数的运算3.【答案】A【解析】两木构件咬合成长方体时，榫头完全进入卯眼，易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为 A，故选 A.【考点】空间几何体的三视图4.【答案】B【解析】因为，所以.1sin32cos212sin 21
10、27cos212( )1399 故选 B.【考点】三角恒等变换5.【答案】B【解析】设事件为“不用现金支付” ，事件为“既用现金支付也用非现金支付” ，AB事件为“只用现金支付” ，则.故选 B.C( )1( )( )10.150.450.4P AP BP C 【考点】互斥事件，对立事件的概率6.【答案】C【解析】解法 1：定义域为，( )f x|+,Z2x xkk，的最小正周期. 2sin 1cos( )sin cossin2sin21()cosx xf xxxxx x A( )f x22T 解法二：，是的周期，22tan()tan()( )1tan ()1tanxxf xf xxx( )f
11、 x，而， 2tan()2()21tan ()2x f x x sin()cos12tan()2sintancos( +)2xxxxxx ，2tan( +)( )21tanxf xf xx 不是的周期，也不是的周期，故选 C. 2( )f x 4( )f x【考点】三角函数的周期7.【答案】B【解析】解法一：图象上的点关于直线的对称点是它本身，则点lnyx(1,0)P1x 在关于直线对称的图像上，结合选项可知，正确.故选 B.Plnyx1x B解法二：设是所求函数图象上任一点，则关于直线的对称点，( , )Q x y1x (2, )Px y在函数图象上，.故选 B.lnyxln(2)yx【考点
12、】函数图象的对称性8.【答案】A【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为，设(2,0)20xy|2+2|=2 222点到直线的距离为，Pd则，min2 222dmax2 223 2d又易知，( 2,0)A B(0, 2)| 2 2AB ，minmin11() | 2 22222ABPSABdAA.maxmax11() | 2 23 2622ABPSABdAA面积的取值范围是.故选 A.ABP2,69.【答案】D数学试卷 第 9 页（共 16 页） 数学试卷 第 10 页（共 16 页） 【解析】令，则，42( )2yf xxx 3( )42fxxx 当或时，递增；2 2x -202x( )0fx
13、( )f x当或时，递减.由此可得的图像大致为202x-2 2x( )0fx( )f x( )f x中的图像.故选 D.D【考点】函数图象的识辨10.【答案】D【解析】，且，21( )2cbeaa0a 0b 1b a的渐近线方程为，Cyx 点到的渐近线的距离为.(4,0)C|4|=2 22【考点】双曲线的几何性质及点到直线的距离公式11.【答案】C【解析】因为，且，2222cosabcabC2224ABCabcS所以，2cos1sin42ABCabCSabC所以，又，tan1C (0,)C所以.故选 C. 4C 12.【答案】B【解析】设等边的边长为，则有，解得ABCa1sin60 =9 32
14、ABCSaaAA.设外接圆的半径为，则，解得，则球心到平面6a ABCr62sin60r 2 3r 的距离为，所以点到平面的最大距离为，ABC224(2 3)2DABC246所以三棱锥体积最大值为，故选 B.DABC19 3618 33【考点】空间几何体的体积及与球有关的切接问题 第卷二、填空题13.【答案】1 2【解析】由题意得，因为，所以，2(4,2)ab(1, )c(2)cab420解得.1 214.【答案】分层抽样【解析】因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以根据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样.【考点】抽样方法15.【答案】3【解析】解法一：根据约束条件作出
15、可行域，如图所示.可化为.1 3zxy33yxz 求的最大值可转化为求直线纵截距的最大值，显然当直线z33yxz 过时，纵截距最大，故.33yxz (2,3)Amax12333z解法二：画出可行域(如上图)，由图可知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为，将三点坐标代入，可知.(2,3)(2, 7)( 2,1)max12333z【考点】简单的线性规划16.【答案】2【解析】易知的定义域为，令，( )f xR22( )ln( 1)g xxx数学试卷 第 11 页（共 16 页） 数学试卷 第 12 页（共 16 页）则，为奇函数，( )()0g xgx( )g x，又，.( )()2f afa
16、( )4f a ()2fa 【考点】函数的奇偶性三、解答题17.【答案】(1)或1( 2)nna 12nna(2)6m 【解析】(1)设的公比为，由题设得.naq1n naq由已知得，解得(舍去)或或.424qq0q 2q 2q 故或.1( 2)nna 12nna(2)若，则.1( 2)nna 1( 2) 3nnS 由得，此方程没有正整数解.63mS ( 2)188m 若，则.由得，解得.12nna21n nS 63mS 264m6m 综上，.6m 【考点】等比数列的通项公式、前项和公式n18.【答案】(1) 第二种生产方式的效率更高. 理由如下：(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，
17、有的工人完成生产任务所需75%时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务75%所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为分85.573.5钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
18、8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.(2) 由茎叶图知.7981802m列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于，所以有的把握认为两种生产方2 240(15 155 5)106.63520202020K 99%式的效率有差异.【解析】(1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎，作出判
19、断；(2)通过茎叶图确定数据的中位数，按要求完成列联表；2 2(3)根据（2）中列联表，将有关数据代入公式计算得的值，借助临界值表2 22K作出统计推断.【考点】统计图表的含义及应用，独立性检验的基本思想及其应用19.【答案】(1)由题设知，平面平面，交线为.CMD ABCDCD因为，平面，所以平面，故BCCDBC ABCDBC CMD.BCDM因为为上异于，的点，且为直径，所以.MACDCDDCDMCM又，所以平面.BCCMCDM BMC而平面，故平面平面.DM AMDAMD BMC(2)当为的中点时，平面.PAMMCPBD证明如下：连结交于.因为为矩形，所以为中点.ACBDOABCDOAC
20、数学试卷 第 13 页（共 16 页） 数学试卷 第 14 页（共 16 页） 连结，因为为中点，所以.OPPAMMCOP平面，平面，所以平面.MC PBDOPPBDMCPBD【解析】（1）通过观察确定点或直线的位置（如中点、中线），再进行证明.（2）把要得的平行当作已知条件，用平行的性质去求点、线.【考点】本题考查平面与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定与性质.20.【答案】(1)设，则，.11()A xy，22()B xy，22 11143xy22 22143xy两式相减，并由得1212=yykxx .1212043xxyyk由题设知，于是.1212xx12 2yym3 4km 由
21、题设得，故.302m1 2k (2)由题意得.设，则.()1,0F33()P xy，331122(1,)(1,)(1,)(0,0)xyxyxy由(1)及题设得，.3123()1xxx312()20yyym 又点在上，所以，PC3 4m 从而，.3(1,)2P3|=2FP 于是.2 22211 111(1)(1)3(1)242xxFAxyx 同理.2=22xFB 所以.故.1214()32FAFBxx 2=+FPFAFB 【解析】本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.21.【答案】(1)，.2(21)2( )exaxaxfx(0)2f 因此曲线在点处的切线方程是.( )yf x(0, 1
22、)210xy (2)当时，.1a 21( )e(1e)exxf xxx 令，则.21( )1exg xxx 1( )21exg xx 当时，单调递减；1x ( )0g x( )g x当时，单调递增；1x ( )0g x( )g x所以.因此.( )g x( 1)=0g( )e0f x 【解析】构造函数证明不等式的策略：（1）转化为（为常数）型，证明或临界值大于或等于. f xCC minf xC（2）转化为型，利用导数判断，的单调性，是而求出函 f xg x f x g x数，的最值或临界值，用原不等式成立的充分条件证明. f x g x（3）转化为型，构造函数，利 f ag af bg b
23、h xf xg x用单调性及的大小证明. h x, a b【考点】导数的几何意义，导数的综合应用22.【答案】(1)的直角坐标方程为.OA221xy当时， 与交于两点.2lOA当时，记，则 的方程为.2tankl2ykx与交于两点当且仅当，解得 或，即或lOA22| 1 1k 1k 1k (,)4 2 .(,)24 综上，的取值范围是.(,)44 (2) 的参数方程为为参数，.lcos ,(2sinxttyt 44)设，对应的参数分别为，则，且，满足ABPAtBtPt2AB Pttt AtBt.22 2 sin10tt 于是，.2 2sinABtt2sinPt又点的坐标满足P( , )x yc
24、os ,2sin,PPxtyt 所以点的轨迹的参数方程是为参数，.P2sin2 ,2 22cos222xy ()44数学试卷 第 15 页（共 16 页） 数学试卷 第 16 页（共 16 页）【解析】以角为参数的参数方程，一般利用三角函数的平方关系化为普通方程；而弦的中点问题常用根与系数的关系或“点差22sincos1法”进行整体运算求解.【考点】参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系23.【答案】(1)的图象如图所示.13 ,2 1( )2,1,2 3 ,1.x xf xxxx x ( )yf x(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的( )yf xy2最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此33a 2b ( )f xaxb0,)的最小值为.ab5【解析】(1)的图象如图所示.13 ,2 1( )2,1,2 3 ,1.x xf xxxx x ( )yf x(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的( )yf xy2最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此33a 2b ( )f xaxb0,)的最小值为.ab5【考点】含绝对值不等式的解法，函数图象