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1、数学试卷第 1 页（共 21 页）数学试卷第 2 页（共 21 页）数学试卷第 3 页（共 21 页）绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 2）理科数学使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 24 题,共 150 分,共 6 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请
2、按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第卷一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是(3)(1)izmmm( )A.( 3,1)B.( 1,3)C.(1,)D.(, 3) -2.已知集合,则,则( )1,2,3A |(1)(2)0,BxxxxZAB A.1B.1,2C.0,1,2,3D. 1,
3、0,1,2,33.已知向量 a,b,且（a+b）b,则( )(1,)m(3, 2)=m A.8B.6C.6D.84.圆的圆心到直线的距离为 1,则( )2228130xyxy10axy a A.4 3B.3 4C.3D.25.如图,小明从街道的处出发,先到处与小红会合,再一起到位于处的老年公寓参EFG加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.96.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A.20B.24C.28D.327.若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为2sin2yx12( )A.()26kxk
4、ZB.()26kxkZC.()212kxkZD.()212kxkZ8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,依次输入的 为 2,2,5,则输出的( )2x 2n asA.7B.12C.17D.349.若,则( )3cos()45sin2A.7 25B.1 5C.1 5D.7 2510.从区间随机抽取个数,构成 个数对, 0,12n1x2xnx1y2ynyn11(,)xy,其中两数的平方和小于 1 的数对共有个,则用随机模拟的方法22(,)xy(,)nnxym得到的圆周率的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4m nD.2m n11.已知,是
5、双曲线:的左、右焦点,点在上,与 轴垂直,1F2FE22221xy abME1MFx,则的离心率为( )211sin3MF FEA.2B.3 2C.3D.212.已知函数满足,若函数与图象的交点( )()f x xR()2( )fxf x1xyx( )yf x为则( )1122(,),(,),(,),mmx yxyxy1()mii ixyA.0B.mC.2mD.4m姓名_ 准考证号_-在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 4 页（共 21 页）数学试卷第 5 页（共 21 页）数学试卷第 6 页（共 21 页）第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都
6、必须作答. 第 2224 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.13.的内角,的对边分别为 , , ,若,则ABCA BCabc4cos5A5cos13C 1a .b 14.,是两个平面,是两条直线,有下列四个命题:,m n如果,那么;mnmn如果,那么;mnmn 如果,那么;mm如果,那么与所成的角和 与所成的角相等.mnmn 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号）. 15.有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3,甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙 的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与
7、丙的 卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的 数字是 . 16.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则 .ykxbln2yxln(1)yxb 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分）为等差数列的前 项和,且,.记,其中表示不超过nS nan1=1a728S = lgnnba x的最大整数,如.x 0.9 =0 lg99 =1，（）求,;1b11b101b（）求数列的前 1 000 项和. nb18.（本小题满分 12 分） 某险种的基本保费为 （单位:元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本a 年度
8、的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数012345 保 险0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数012345 保 险0.300.150.200.200.100.05 （）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; （）若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; （）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19.（本小题满分 12 分）如图,菱形的对角线与交于点,点,分别在ABCDACBCO5AB6ACEF,上,交于点将沿折到的ADCD5 4AECFEFBDHDEFEF D EF位
9、置,.10OD （）证明:平面;D HABCD（）求二面角的正弦值.BD AC20.（本小题满分 12 分）已知椭圆:的焦点在 轴上,是的左顶点,斜率为的直线交E22 13xy txAE(0)k k 于,两点,点在上,.EAMNEMANA（）当,时,求的面积;4t| |AMANAMN（）当时,求 的取值范围.2|=|AMANk21.（本小题满分 12 分）（）讨论函数的单调性,并证明当时,;2( )2xxf xxe0x (2)20xxex（）证明:当时,函数有最小值.设的最小值为0,1)a2=(0)（）xeaxag xxx( )g x,求函数的值域.( )h a( )h a请考生在第 2224
10、 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 41:几何证明选讲 如图,在正方形中,分别在边,上（不与端点重合）,且ABCDEGDADC,过点作,垂足为.DEDGDDFCEF（）证明:,四点共圆;BCGF（）若,为的中点,求四边形的面积.1AB EDABCGF23.（本小题满分 10 分）选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,圆的方程为.xOyC22(6)25xy（）以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;xC（）直线 的参数方程是（ 为参数）, 与交于,两点,lcossin， xtyttlCA B,求 的斜率.|10A
11、B l24.（本小题满分 10 分）选修 45:不等式选讲已知函数,为不等式的解集.11( )22f xxxM( )2f x （）求;M（）证明:当时,., a bM| |1|abab2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 2）数学试卷第 7 页（共 21 页）数学试卷第 8 页（共 21 页）数学试卷第 9 页（共 21 页）理科数学答案解析 第卷一、选择题1.【答案】A【解析】在复平面内对应的点在第四象限，可得，z(m3)(m1)im30，解得m10 3m1 【提示】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可【考点】复数的代数表示法及其几何意义2.【答案】C【解析】集合，
12、A1,2,3，Bx (x1)(x2)0, xZ,0 1AB0,1,2,3【提示】先求出集合，由此利用并集的定义能求出的值ABAB【考点】并集及其运算3.【答案】D【解析】向量，又，a(4,m)b(3, 2)ab(4,m2) (ab)b，解得122(m2)0m8【提示】求出向量的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于的方程，解得答ab m案【考点】平面向量的基本定理及其意义4.【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，故圆心到直线的距22xy2x8y130(1,4)axy10 离，解得2a41d1 a1 4a3 【提示】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【考点】圆的一般方程，点到直线的距离公式
13、5.【答案】B【解析】从到，每条东西向的街道被分成 2 段，每条南北向的街道被分成 2 段，从EF到最短的走法，无论怎样走，一定包括 4 段，其中 2 段方向相同，另 2 段方向相EF同，每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选出 2 段走北向的，故共有种走法，同理从到，最短的走法，有种走法，小明到老22 42C C6FG12 32C C3年公寓可以选择的最短路径条数为种走法6 318【提示】从到最短的走法，无论怎样走，一定包括 4 段，其中 2 段方向相同，另 2 段EF方向相同，每种最短走法，即是从 4 段中选出 2 段走东向的，选出 2 段走北向的，由组合数可得最短的走法，
14、同理从到，最短的走法，有种走法，利用乘法FG1 3C3原理可得结论【考点】排列、组合的实际应用，分步乘法计数原理6.【答案】C【解析】由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是2 31244，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，圆柱表现248 出来的表面积是空间组合体的表面积是2222420 28【提示】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆2 3柱，圆柱的底面直径是 4，圆柱的高是 4，做出圆
15、柱的表面积，注意不包括重合的平面【考点】由三视图求面积、体积7.【答案】B【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到y2sin2x 12，由得：y2sin2 x2sin 2x1262 xk +(kZ)122，即平移后的图象的对称轴方程为kx(kZ)26kx(kZ)26【提示】利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得yAsin( x)(A0,0) 答案【考点】正弦函数的对称性，函数的图象变换yAsin( x) 8.【答案】C【解析】输入的，当输入的为 2 时，不满足退出循环的条x2n2s2k1件；当再次输入的为 2 时，不满足退出循环的条件；as6k2当输入的为 5 时，满足退出循环的条件；
16、as17k3故输出的 值为 17s【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，s模拟程序的运行过程，可得答案【考点】程序框图9.【答案】D【解析】方法 1：，；3cos45 27sin2cos22cos12425 方法 2：，2cos(sincos )42 19(1sin2 )225 97sin2212525 【提示】方法 1：利用诱导公式化，再利用二倍角的余弦可得答案；sin2cos22 方法 2：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得的值，再平方，即得sincos 的值sin2【考点】三角函数的恒等变换及化简求值10.【答案】C【解析】由题意，两数的平方和
17、小于 1，对应的区域的面积为，从区间随机抽21140,1取个数，构成个数对，2n1x2xnx1y2ynyn11(x ,y )，对应的区域的面积为，22(x ,y )nn(x ,y )21，221 1m4 n1A4mn数学试卷第 10 页（共 21 页）数学试卷第 11 页（共 21 页）数学试卷第 12 页（共 21 页）【提示】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率的近似值【考点】几何概型11.【答案】A【解析】由题意，为双曲线左支上的点，则，M21|b|MFa22 2 2b|MF4ca|，可得：，即，又2 11sinMF F324 2 2b 1a 3b4ca4222ba c22bac，可得
18、，解得222cab22ee20e1e2【提示】由条件，列出关系式，从而可求离心率12MFMF2 11sinMF F3【考点】双曲线的简单性质12.【答案】B【解析】函数满足，即为，可得关于点f(x)(xR)f( x)2f(x)f(x)f( x)2f(x)对称，函数，即的图象关于点对称，即有为交点，(0,1)x1yx1y1x (0,1)11(x ,y )即有也为交点，为交点，即有也为交点，11( x ,2y )22(x ,y )22( x ,2y )则有mii1122mm i 1(xy )(xy )(xy )(xy )11112222mmmm1(xy )( x2y )(xy )( x2y )(x
19、y )( x2y )2 m【提示】由条件可得，即有关于点对称，又函数，即f( x)2f(x)f(x)(0,1)x1yx的图象关于点对称，即有为交点，即有也为交点，1y1x (0,1)11(x ,y )11( x ,2y )计算即可得到所求和【考点】抽象函数及其应用 第卷二、填空题13.【答案】21 13【解析】由，可得，4cosA55cosC133sinA512sinC13sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，由正弦定理可得，解得63 65asinBbsinA21b13【提示】运用同角的平方关系可得，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可sinAsinC得，运用正弦定理可得，代入
20、计算即可得到所求值sinBasinBbsinA【考点】解三角形14.【答案】【解析】如果，不能得出，故错误；mnm n 如果，则存在直线，使，由，可得，那么，故正确；nl nlm mlmn如果，那么与无公共点，则，故正确am mm如果，那么，与所成的角和，与所成的角均相等，故正确mnmnmn【提示】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案【考点】命题的真假判断与应用，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系15.【答案】1 和 3【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3；（1）若丙的卡片上写着 1 和 2
21、，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3；根据甲的说法知，甲的卡片上写着 1 和 3；（2）若丙的卡片上写着 1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3；又甲说， “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ；甲的卡片上写的数字不是 1 和 2，这与已知矛盾；甲的卡片上的数字是 1 和 3【提示】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少【考点】进行简单的合情推理16.【答案】1ln2【解析】设与和的切点分别为、ykxbylnx2yln(x1)11(x kx,b)
22、，由导数的几何意义可得，得，再由切点也在22(xkx,b)1211kxx112xx1各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，从而1112kxblnx2kxbln(x1) 12k21x2 1x2 得出11kxblnx2b1ln2 【提示】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程三、解答题17.【答案】 （）为等差数列的前项和，且，可得nSna n1a17S2847a28，则公差，4a4d1，则，nannblgn1blg1011blg 111101blg 1012（）由（）可知：，1239bbbb010111299bbbb1
23、，数列的前 1000 项和为：100101102103999bbbbb21000b3nb 9090 1900231893 【提示】 （）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解，1b11b数学试卷第 13 页（共 21 页）数学试卷第 14 页（共 21 页）数学试卷第 15 页（共 21 页）；101b（）找出数列的规律，然后求数列的前 1000 项和nb 【考点】数列的求和，等差数列的性质18.【答案】 （）某保险的基本保费为（单位：元） ，上年度出险次数大于等于 2 时，a续保人本年度的保费高于基本保费，由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：一续保人本年度的保费
24、高于基本保费的概率为；1P10.300.150.55 （）设事件表示“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，事件表示“一续保人本AB年度的保费比基本保费高出” ，由题意，60%P(A)0.55，由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其P(AB)0.100.050.15保费比基本保费高出的概率：；60%2P(AB)0.153PP(B A)P(A)0.5511|（）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：，0.85a0.30a0.151.25a0.21.5a0.201.75a0.12a0.051.23a续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1 23.【提示】 （）上年度出险次数
25、大于等于 2 时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）设事件表示“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，事件表示“一续保人本AB年度的保费比基本保费高出” ，由题意求出，由此利用条件概率60%P(A)P(AB)能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出的概60%率；（）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【考点】古典概型及其概率计算公式19.【答案】 （）是菱形，则ABCDADDC5AECF4DEDF EAFC，又由是菱形，得，则，则E
26、FACABCDACBDEFBDEFDH，又，EFD HAC6AO3AB5AOOBOB4，则，AEOHOD1AOADHD H3，则，又，222ODOHD H D HOHOHEFH平面；D H ABCD（）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，HAB5AC6，B(5,0,0)C(1,3,0)D (0,0,3)A(1, 3,0)AB(4,3,0) AD( 1,3,3) ，设平面的一个法向量为，由，得AC(0,6,0) ABD1n(x,y,z) 11n AB0n AD0 A A，取，得，4x3y0 x3y3z0 x3y4 z51n(3, 4,5) 同理可求得平面的一个法向量，设二面角的平面角为，A
27、D C2n(3,01) ,B-D A-C则，二面角的正弦值为 1212n n957 5cos255 210nn A ABD AC2 95sin25 【提示】 （）由底面为菱形，可得，结合可得，再ABCDADCDAECFEFAC由是菱形，得，进一步得到，由，可得ABCDACBDEFBDEFDH，然后求解直角三角形得，再由线面垂直的判定得平面EFD HD HOHD H；ABCD（）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得H到、的坐标，分别求出平面与平面的一个法向量、AB AD AC ABDAD C1n ，设二面角的平面角为，求出，则二面角的正弦2n BD ACcosBD
28、 AC值可求【考点】二面角的平面角及求法20.【答案】 （）方法一：时，椭圆的方程为，直线t4E22xy143A( 2,0)的方程为，代入椭圆方程，整理可得AMyk(x2)，解得或，2222(34k )x16k x16k120x2 228k6x34k 则，由，2 22 228k612AM1k21k34k34kA AMAN可得，由，2 2 211212AN11k4k13 k34 1kk AAAAMANk0可得，22 212121k1k434k3kkAA整理可得，由无实根，2(k1)(4kk4)024kk40可得，即有的面积为；k1AMN2 21112144AM1 1223449A方法二：由，可得
29、，关于轴对称，由，可得直线的斜AMANMNxMANAAM率为 1，直线的方程为，代入椭圆方程，可得AMyx222xy143，解得或，则的27x16x40x2 2 72 12M,7 7212N,77AMN面积为；1242144227749 （）直线的方程为，代入椭圆方程，可得AMyk(xt)，22222(3tk )x2t tk xt k3t0解得或，xt 22t tk3 tx3tk 即有，2 22 22t tk3 t6 tAM1kt1k3tk3tkA，26 tAN1kt3kk A由，可得2 AMAN，22 26 t6 t21k1kt3tk3kkAAA数学试卷第 16 页（共 21 页）数学试卷第
30、 17 页（共 21 页）数学试卷第 18 页（共 21 页）整理得，由椭圆的焦点在轴上，236k3ktk2x则，即有，即有，可得，t3236k3k3k223(k1)(k2)0k232k2即的取值范围是k3( 2,2)【提示】 （）方法一：求出时，椭圆方程和顶点，设出直线的方程，代入椭t4AAM圆方程，求交点，运用弦长公式求得，由垂直的条件可得，再由MAMAN，解得，运用三角形的面积公式可得的面积；AMANk1AMN方法二：运用椭圆的对称性，可得直线的斜率为 1，求得的方程代入椭圆方程，AMAM解方程可得，的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；MN（）直线的方程为，代入椭圆方程，求得交点，
31、可得，AMyk(xt)MAM，再由，求得 ，再由椭圆的性质可得，解不等式即可得到AN2 AMANtt3所求范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题21.【答案】 （）， xx2f xex2 2x x 22x24x efxex2(x2)(x2)当时，(, 2)( 2,)x f (x)0在和上单调递增，f(x)(, 2) ( 2,)时，x0xx2ef(0)=1x2即；x(x2)ex20（）x2x4(ea)x2x(eaxa)g (x)xxx4x(xe2eax2a) x，x3x2(x2)eax2 xA a0 1，由（）知，当时，的值域为，只有一解使得，x0xx2f(x)ex2A( 1,) tt2eat2
32、A只需恒成立，可得，由，可得tt2e0t2A2t2 x0t02，当时，单调减；x(0,t)g (x)0g(x)当时，单调增；x(t,)g (x)0g(x)，tt tt22t2e(t1)eea(t1)et2h(a)ttt2A记，在时，故单调递增，所以tek(t)t2t0, 2t2e (t1)k (t)0(t2)k(t)21eh(a)k(t)24，【提示】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 22.【答案】 （），DFCE ，RtDFCRtEDC，DFCF EDCD
33、，DEDGCDBC，又，DFCF DGBCGDFDEFBCF ，GDFBCFCFBDFG ，GFBGFCCFBGFCDFGDFC90 ，GFBGCB180，四点共圆；BCGF（）为中点，EADAB11DGCGDE2在中，连接，RtDFC1GFCDGC2GBRtBCGRtBFGBCGBCGF111S2S=21=222 四边形【提示】 （）证明，四点共圆可证明四边形对角互补，由已知条件BCGFBCGF 可知，因此问题可转化为证明；BCD90GFB90（）在中，因此可得，则RtDFC1GFCDGC2BCGBFG，据此解答BCGBCGFS2S四边形【考点】圆内接多边形的性质与判定23.【答案】 （）圆
34、的方程为，C22(x6)y2522xy12x110，的极坐标方程为；222xy cosx siny C212 cos110 （）直线 的参数方程是（ 为参数） ，lxtcos ytsin t，代入，得：直线 的一般方程，xtcos ytsinlytanxA与交与，两点，圆的圆心，半径，圆心到直线的lCABAB10CC( 6,0)r5距离，2 2|AB|dr2圆心到直线距离，C( 6,0)2| 6tan|10d2541tan 解得，2tan5 3 ，1tan5 3 的斜率 l1an3t5 【提示】 （）把圆的标准方程化为一般方程，由此利用，C222xy cosx ，能求出圆的极坐标方程；siny
35、 C（）由直线 的参数方程求出直线 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出ll直线 的斜率l【考点】圆的标准方程，直线与圆相交的性质24.【答案】 （）当时，不等式可化为：，解得，1x2 f(x)211xx222x1 ，11x2 当时，不等式可化为：，此时不等式恒成立，11x22f(x)211xx1222 ，当时，不等式可化为：，解得，11x221x2f(x)211xx222x1，综上可得；1x12M( 1,1) （）当，时，即，即abM22(a1)(b1)02222a b1ab 数学试卷第 19 页（共 21 页）数学试卷第 20 页（共 21 页）数学试卷第 21 页（共 21 页），2222a b2ab1a2abb 即，即22(ab1)(ab)abab1【提示】 （）分当时，当时，当时三种情况，分别求解不等式，1x2 11x221x2综合可得答案； （）当，时，即，配方后，可证得结abM22(a1)(b1)02222a b1ab 论【考点】绝对值不等式的解法