《高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版).pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载一正弦、余弦、正切函数图象和性质函数有界性定义域正弦函数y sin x,xR有界余弦函数y cos x,xR正切函数y tan x,x k2有界无界(,)(,)x| x k,k Z21,11,1(,)当x 值域当2 2k(kZ)时，ymax1当x 2k(kZ)时，ymax1，x 2 2k(kZ)时，当x 2k(kZ)时ymin 1ymin 1周期性奇偶性是周期函数，最小正周期T 2奇函数，图象关于原点对称是周期函数，最小正周期T 2T 偶函数，图象关于y轴对称奇函数，图象关于原点对称在单调性22上是单调增函数在 2k, 2k,(kZ)在 2k,2 2k,
2、(kZ)上是单调增函数在2k, 2k,(kZ)上是单在(2k,2k),(k Z)3 2k,(kZ)22调减函数上是单调减函数 2k,x k上是单调增函数对称轴对称中心2,(kZ)x k,(kZ)(k,0) (kZ)(k2,0) (kZ)(k,0) ( kZ)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=sinx-4-7-32-52-2 -3 -2-2y1-1o3222523724xword 专业资料-可复制编辑-欢迎下载y=cosx-4-72-5-32-2-32-2y1-1o2322523724xyyy=tanxy=cotx-32-2o232x-2o2322x（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、
3、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：ysinx，ytanx；偶函数：ycosx.（2）型三角函数的奇偶性（xR）（）g（x） g（x）为偶函数由此得同理，（）数3、周期性（1）基本公式为偶函数 .；为奇函数 .；为奇函（）基本三角函数的周期ysinx，ycosx 的周期为cotx 的周期为 .（）型三角函数的周期；ytanx，y的周期为；word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（2）认知（）型函数的周期的周期为 .的周期为；（）的周期的周期为 .的周期为；的周期为 .的解析式施加绝对值后， 该均同它们不加绝对值时的周期相同， 即对 y函数的周期不变.注意这一点与（）的区别.（）若函数为型两位函
4、数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验猜想证明.（3）特殊情形研究（）ytanxcotx 的最小正周期为；（）的最小正周期为；（）ysin4xcos4x 的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；获通解： 在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍， 即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲
5、，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载（2）y型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为换元、 分解：令 u，将所给函数分解为内、外两层：yf（u）， u；套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于 u 的不等式；还原、结论：将 u区间形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y Asinxy cosxy cotxy tanxy sin x（A、0）定义域值域周期性奇偶性单调性R1,1代入中 u 的不
6、等式，解出 x 的取值范围，并用集合或R1,11x | x R且x k,k Z2x | xR且x k,k ZRRR A,A当 0,非奇非偶当 0,奇函数2k2k2(A),12(A)2奇函数22偶函数2k 1,2k奇函数k,k22奇函数22k,；k,k 1上为减函数（k Z）22k上 为 增 函数；上 为 增 函数2k,2k 1上 为 减 函数（k Z）上为增函数（k Z）232k22k,上为增函数；2k上 为 减 函数 （k Z）2(A),32k2(A)上为减函数（k Z）注意：y sin x与y sin x的单调性正好相反；y cosx与y cosx的单调性也同样相反 .一般地，若y f (
7、x)在a,b上递增（减） ，则y f (x)在a,b上递减（增）.y sin x与y cos xy的周期是.2Oxy sin(x)或y cos(x)（ 0）的周期T y tanx2.的周期为 2（T T 2，如图，翻折无效）.word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载y sin(x)的对称轴方程是x k2（k Z） ，对称中心（k,0） ；y cos(x)的对称2轴方程是x k（k Z） ，对称中心（k1,0） ；y tan(x )的对称中心（y cos2x y cos(2x) cos2x原点对称k,0）.2当tantan1, k(k Z)；tantan 1, k(k Z).22y cosx与y
8、 sinx 2k是同一函数,而y (x )是偶函数，则21y (x ) sin(x k) cos(x).2函数y tan x在R上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y tan x为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f (x) f (x)）f (x) f (x)，奇函数：奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y tan x是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.（定义域3不关于原点对称）奇函数特有性质：若0 x的定义域，则f (x)一定有f
9、 (0) 0.（0 x的定义域，则无此性质）y sinx不是周期函数；y sinx为周期函数（T ） ；y cosxy cosx是周期函数（如图）y cos2x 12yx为周期函数（T ） ；y=cos|x|图象的周期为（如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：yy f (x) 5 f (x k),k R.1/2by acosbsina2b2sin()cos有a2b2 y.axy=|cos2x+1/2|图象二、形如、形如y Asin(x)的函数：的函数：11 1、几个物理量、几个物理量：A振幅；f 频率（周期的倒数） ；x相位；初相；T2 2、函数、函数y Asin(x)表达式的确定表
10、达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如如f (x) Asin(x)(A 0, 0，|15则f (x)_（答：f (x) 2sin(x)） ；232)的图象如图所示，23Y Y2 2 9 9X X-223题23题 图图word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载3函数y Asin(x ) B（其中A 0， 0）最大值是A B，最小值是B A，周期是T 频率是f 2，最小正周期T 2|，相位是x ，初相是；其图象的对称轴是直线x k(k Z)，22凡是该图象与直线y B的交点都是该图象的对称中心。4 4 、研研究究函函 数数y Asin(x)性性质质的的 方方法法：类类 比比
11、于于研研究究y sin x的的 性性质质 ， 只需 将y Asin(x)中的x看成y sin x中的x，但在求求y Asin(x)的单调区间时，的单调区间时，要特别注意要特别注意 A A 和和的符号，通过诱导公式先将的符号，通过诱导公式先将化正。如化正。如5（1 1）函数y sin(2x)的递减区间是_（答：k,k(kZ )） ；31212x33（2 2）y log1cos()的递减区间是_（答：6k,6k；(k Z )）344425、函数函数y Asin(x)图象的画法图象的画法： （1）利用“五点法”作函数y Asin(x ),xR(其中是将x 看着一个整体， 先令x 0,A 0, 0)的
12、简图，2,3,2列表求出对应的x的2值与y的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。图象变换法：这是作函数简图常用方法=由y sin x图象推图象推y Asin(x)k的图象的图象6函数函数y Asin(x)k的图象与的图象与y sin x图象间的关系图象间的关系：图象变换(1)振幅变换y sin x,xR(2)周期变换y sin x,xR(3)相位变换y sin x,xR1)或缩短(0A1)到原来的A倍所有点的纵坐标伸长(A y Asin x,xR 1所有点的横坐标缩短 (1)或伸长(01)到原来的 倍y sinx,xRy sin(x),xR(0)或向右(0)平移|个单位长度所
13、有点向左 (4) (4)上下平移上下平移( (纵向平移变换纵向平移变换):): 是由是由k k的变化引起的的变化引起的k k0,0, 上移；上移；k k0,0,下移下移具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩三角函数图象的平移和伸缩函数y Asin(x ) k的图象与函数y sin x的图象之间可以通过变化A，k来相互转化A，影响图象的形状，k影响图象与x轴交点的位置由A引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移（一）先平移后伸缩先平移后伸缩向左(0
14、)或向右(0)得y sin(x )y sin x的图象平移个单位长度word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载横坐标伸长(01)得y sin(x )1y sin(x )的图象到原来的 (纵坐标不变)纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)得y Asin(x)y sin(x )的图象为原来的A倍(横坐标不变)y Asin(x )的图象（二）先伸缩后平移（二）先伸缩后平移 得y Asin(x ) k图象向上(k0)或向下(k0)平移k 个单位长度纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)得y Asin xy sinx的图象为原来的A倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)得y Asin(x)y Asin x
15、的图象1到原来的(纵坐标不变)y Asin(x)的图象向左(0)或向右(0)平移个单位得y Asin x(x )向上(k0)或向下(k0) 得y Asin(x ) ky Asin x(x )的图象平移k 个单位长度图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。特别注意特别注意，若由y sinx得到y sinx的图象，则|个单位，例如：函数y 2sin(2x)1的图象经过怎样的变换4才能得到y sin x的图象？ （答：y 2sin(2x)1向上平移 1 个单位得y 2sin(2x)的44图象，再向左平移个单位得y 2sin 2x的
16、图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得y 2sin x的81图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得y sin x的图象） ；2三、正切函数三、正切函数y tan x的图象和性质的图象和性质：（1）定义域：x| x k,kZ。 （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；2（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线y a的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如y sin2x, y
17、 sinx的周期都是, 但y sinx cosx的周期为，21而y |2sin(3x)|, y |2sin(3x)2|，y | tan x|的周期不变；626 k,0kZ，特别提醒特别提醒：正(余)切型函数（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是向左或向右平移应平移|2的对称中心有两类： 一类是图象与x轴的交点， 另一类是渐近线与x轴的交点， 但无对称轴，这是与正弦、 余弦函数的不同之处。（5） 单调性： 正切函数在开区间k,kk Z22word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载三角函数图象几何性质内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性要注意在整个定义域上不具有单调性。三角函数图象几
18、何性质y y= =x x+ +yA Atan(tan(Atan(x) )y ysin(sin(Asin(y yy= =A Ax x+ +x) )y yO Ox xO Ox xx x3 3x x4 4邻中心轴相距x x3 3x x4 4x x= =x x1 1x x= =x x2 2x x= =Tx x1 14x x= =x x2 2邻中心|x |x3 3- -x x4 4|= |= T T/2 /2无穷对称中心:由y y=0或 y无意义确定邻中心| |x x3 3- -x x4 4|= |=T T/2 /2无穷对称中心:由y y=0=0确定确定邻轴| |x x1 1- -x x2 2|= |=T T/2 /2无穷对称轴:由y y= =A A或或- -A A确定确定邻渐近线|x |x1 1- -x x2 2|= |=T T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！