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1、试卷第 1 页，共 6 页 哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 20222022 年高三第年高三第二二次联合模拟考试次联合模拟考试 理科数学答案理科数学答案 一、选择题 1-6 A B C D B A 7-12 D B C A D A 12 题解析： （1）双曲线33xyx，以3xy和y轴为渐近线 （2）双曲线两条渐近线的夹角为60，焦点所在的对称轴为3yx （3） 解方程组333yxxyx， 得223292xy， 因此2226axy （4）223tan30,233baba； 二、填空题 13.1000 此题答(12)1000也可以给分 1
2、4. 1 4 , 15. 33 16. 三、解答题 17.（1）证明： 设AB的中点为M，连接1,B M CM 1111,ABB AB BBABMADB BMBAD=正方形中， 1BDB M， 1AA 平面ABC，CM 平面ABC1AACM， 又,ACBC MABCMAB=为中点， 1ABAAA=，CM平面11ABB A， -3 分 BD平面11ABB ABDCM， 111,B MCMM B MBCM= 平面CM 平面1BCM，BD平面1BCM 1BC 平面1BCM，1BDBC -6 分 （2）如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则 111(0,0,2),( 3,1,1),(0,2,0)( 3
3、,1,1),(0,2,0)( 3,1, 1),(0,2, 2)BDCBDBCB DBC= 设平面BDC的法向量n=111( ,)x y z 则00BD nBC n=，11113 + +0,20 xyzy=(1,0,3)n =取 -8 分 设平面1B DC的法向量222(,)mx y z= 则1100B D mBC m=，2222230220 xyzyz+=，取(0,1,1)m = -10 分 试卷第 2 页，共 6 页 则6cos,4n mn mn m= 所以二面角1BDCB的余弦值为64. -12 分 18. 解： （1）若将上述表各中人数超过25 人的 6 个班两两组合进行课后看护，共15
4、33222426=ACCC种不同的方法， 其中班级代号为 1，2 的两个班合班看护共322222422=ACCC种不同的方法， 记A表示事件”班级代号为 1，2 的两个班合班看护“ 则其概率31( )155P A = -4 分 （2）X 的可能取值为0，1，2，3 61)0(31036=CCXP，21) 1(3102614=CCCXP，103)2(3101624=CCCXP，301) 3(31034=CCXP -8 分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 61 21 -10 分 数学期望11316()01236210305E X =+ + + =. -12 分 19. 设等差数列 na的
5、公差为d， 由条件，11111334()(2 )7adadad adad+=+=+， -1 分 解得100ad=，或112ad=，0d ，112ad= 11) 221nann= + =（ - 3 分 2211320nn nnbb bb+=，11()(3)0nnnnbbbb+=，0nb ，113nnbb+= 又110,0,nbb= ，113nnbb+=， nb是以 1 为首项，13为公比的等比数列. 113nnb= - 6 分 103301试卷第 3 页，共 6 页 （2）111( ),21,6621313nnnnnnbananb+= +，即，即273nn恒成立 - 7 分 设273nnnc=，
6、则11125274(4)333nnnnnnnncc+=， - 9 分 即1111,2,345,*,nnnnnnnccnccnnNcc+=时；时；时 14581nnncc =或 时，为 的最大项 . - 11 分 181，故实数的最小值为181. - 12 分 20. 解： （1）( )(1)(2)xfxxae=+，则(0)2fa=， 由已知(2)1aa= ，故1a = -2 分 （2）( )(1)(2)xfxxae=+ ()当0a 时，20 xae ， 则( )f x在(, 1) 上单调递增，在( 1,) +上单调递减； -3 分 ()当0a 时，令20 xae =，得2lnxa=， 02ae
7、时，2ln1a ， 则( )f x在(, 1) 上单调递增，在2( 1,ln)a上单调递减，在2(ln,)a+上单调递增； -4 分 2ae=时，1( )2(1)(1)0 xfxxe+=+，则( )f x在(,) +上单调递增； -5 分 2ae时，2ln1a ， 则( )f x在2(,ln)a上单调递增，在2(ln, 1)a上单调递减，在( 1,) +上单调递增. -6 分 （3） （方法一） 2( )ln2(0)f xxxxx等价于ln10(0)xaxexxx + 当21ae时，2ln1ln1(0)xxaxexxxexxx + + - -7 分 令2( )ln1xg xxexx= +，21
8、( )(1)()xg xxex=+ 令21( )xh xex=，则( )h x在区间(0,)+上单调递增1(1)10he= ，1(2)02h=， 存在0(1,2)x ，使得0()0h x=，即0201xex=，002lnxx= -10 分 试卷第 4 页，共 6 页 当0(0,)xx时，( )0g x，则( )g x在0(0,)x上单调递减， 当0(,)xx+时，( )0g x，则( )g x在0(,)x +上单调递增 02min000000001( )()ln1210=+ =+ =xg xg xx exxxxxx ( )0g x ，故2( )ln2f xxxx - -12 分 （方法二） 当
9、21ae时，2ln1ln1(0)xxaxexxxexxx + + -7 分 2ln2( )ln1(ln2) 1xx xg xxexxexx+ =+ =+ -9 分 令ln2txx=+，则tR， -10 分 令( )1tk tet= ，则( )1tk te= 当0t 时，( )0k t；当0t 时，( )0k t ( )k t在区间(,0)上单调递减，(0,)+上单调递增. ( )(0)0k tk=，即( )0g x 2( )ln2f xxxx - -12 分 21. 1）焦点2(,0),( 3)42 522= +=ppFFP02 =pp 抛物线E的标准方程为24yx= -2 分 （2）显然，直
10、线AB斜率存在，设AB的方程为2(3)=+yk x 由22(3)4=+=yk xyx得，2248 120,0,16( 321)0,kyykkkk+ += =+ 设1122( ,), (,)A x yB x y，则121248,12+=+yyy ykk， 1212122()=+y yyy - 直线AC的方程为2114=yyyx， 由211244=yyyxyx得，2221111440164 4)0yyyyyy+= =，(， 设 33(,)C x y 则134+=yy - 由得32322323(4)122(4),2()20y yyyyyy y=+=+ - -4 分 试卷第 5 页，共 6 页 （i）
11、若直线BC没有斜率，则230yy+= ，又23232()20yyy y+=+，22333205,4yyx=， 5.BCx=的方程为 -5 分 （ii）若直线BC有斜率，为2323234=+yyxxyy， 直线BC的方程为222234()4=+yyyxyy，即23234()0+=xyy yy y， 将代入得23234()2()200+=xyy yyy，23()(2)4(5)0yyyx+=， 故直线BC有斜率时过点(5,2). 由（i） （ii）知，直线BC过点(5,2). -8 分 ( (3)3) 112121211|8422SPQyyyyyy= = 22323231211|844422SPQy
12、yyyyyyy= =+ -9 分 由（2）得121248,12+=+yyy ykk，21221632432148|kkyykkk+= 21016( 321)0,1,0,3kkkkk =+ ，且 221212124321321441|4yySkkkkSyykkk+=+ -10 分 设11,kutu =， 2221222(2)(32)3844834(1)1SuuuutttSuu+=+ 1311,0,(, 1)1)322kkt 且（，-24(1)1(0,1)t + ， 故12(0,1).SS的取值范围是 -12 分 22 解 (1) 12,2OABOAOBC=极点 为的中点，的极坐标方程为, 221
13、,xyC=+由得的直角坐标方程为224,xy+= -3 分 cos()6,cossin6 20,4+=由得 试卷第 6 页，共 6 页 cos,sin,6 20.xylxy=的直角坐标方程为 -5 分 (2) 由2262xxyy = =，得226xxyy=，代入224,xy+=得224246xy+= 所以2C的普通方程为 22126xy+=，2C的参数方程为 2cos ,(6sinxy=为参数）， -7 分 设( 2cos , 6sin )P为2C上任意一点，点P到l的距离为d， 则2 2cos+-22cos - 6sin -6 23=62cos()322d=+（） 6 所以 当maxcos+
14、)183d= =(时,，当mincos()143d+=时， 所以P到l的距离的取值范围是4,8 -10 分 23. 解： （1）方法一：12,211( )4 ,2212,2xf xxxx = ， 1 1( ),2 2f x在上单调递减，所以( )f x的值域为2,2 -2 分 方法二：2121(21)(21)2xxxx += ，当且仅当(21)(21)0 xx+，即12x 或12x 等号取到 221212xx +，所以( )f x的值域为2,2 原不等式222244160 x yxy+2224)4(4)0（x yy+224)(4)0（yx 2222, 22,(4)(4)0 xyyx 成立， 22221644.x yxy+成立 -5 分 （2）由（1）得2,2ab= = ， 22, 21yzyz+ 5(2)2(2 )2221 2 25zyzyzyzyz=+ + = ， 1.z -10 分