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1、2022/6/182022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算【1】下列说法中正确的序号是下列说法中正确的序号是_.(1)16的四次方根是的四次方根是2;(2)正数的正数的n次方根有两个次方根有两个;(3)a的的n次方根就是次方根就是 ;na4(4)813; 33(5)(5)5; 44(6)(81)81;33(7)( 8)8. (5) (6) (7)(8)【2】计算计算33323|()(0).|, |abbbaaab : 3.ab 答答案案2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算1.根式定义根式定义根式是如何定义的？有那些性质？根
2、式是如何定义的？有那些性质？正数的奇次方根是正数正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零零的奇次方根是零.(1) 奇次方根有以下性质：奇次方根有以下性质：2.n次方根的性质次方根的性质(2)偶次方根有以下性质：偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零零的偶次方根是零.2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(2);nnaa (3)|.nnaa (1);nnaa 3.三个公式三个公式4.如果如果xn=a, ,那么那么为为奇奇数数
3、为为偶偶数数为为偶偶数数不不存存在在,0,0.,nnannaxana 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(N )nnaaa aan 个个整数指数幂是如何定义的？有何规定？整数指数幂是如何定义的？有何规定？01(0)aa1(0,N )nnaana2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(1)(,Z )mnmnaaam n (2) ()(,Z )mnm naam n (3)(0, ,Z,)且mnm naaaam nmn (4) ()(0,Z )nnnaabnbb 整数指数幂有那些运算性质整数指数幂有那些运算性质?(?(m,
4、,n Z)Z)()mnmnmnaaaaa 1()()nnnnnnaaababbb 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(1)观察以下式子观察以下式子,并总结出规律并总结出规律:(a 0)510252(2 )21022 ; 431233(3 )3 1233 ; 123 4344()aaa43 5102 525()aaa105a 124;a 结论结论:当根式的当根式的被开方数的指数被开方数的指数能被能被根指数根指数整除时整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式根式可以表示为分数指数幂的形式.2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运
5、算(2)利用利用(1)的规律的规律,你能表示下列式子吗你能表示下列式子吗? 534354 ; 357537 ; 32a23;a 97a97.a 总结总结:当根式的当根式的被开方数的指数不被开方数的指数不能被能被根指数根指数整除整除时时,根式可以写成分数指数幂的形式根式可以写成分数指数幂的形式.2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算(3)你能用方根的意义解释你能用方根的意义解释(2)的式子吗的式子吗? 43的的5次方根是次方根是 354 ;75的的3次方根是次方根是 537 ;a2的的3次方根是次方根是 23;aa9的的7次方根是次方根是 97.a353544
6、 ; 535377 ; 2323;aa 9977.aa 结果表明结果表明:方根的结果方根的结果与与分数指数幂分数指数幂是相通的是相通的.综上综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义我们得到正数的正分数指数幂的意义.2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算3.3.规定规定0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0, ,0的负分数指的负分数指数幂没有意义数幂没有意义. .mmnnaa 且且11(0,N ,1)mnmnmnaam nnaa 1.正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义：2.正数的负分数指数幂的意义：正数的负分数指数幂的意义：(0,N ,1)am n
7、n 且且2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算21a34a35a 23a 34() (0)abab 23()mn 4() ()mnmn 65(0)pqp a43a351a231a23()mn 43)(ba 2()mn 532pq 【1 1】用根式表示下列各式用根式表示下列各式:(:(a0)0) 【2】用分数指数幂表示下列各式：用分数指数幂表示下列各式：2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算4.有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质(1)(,Z )mnmnaaam n (2) ()(,Z )mnm naam n (3) (
8、)(,Z )nnnaba bm n 1 1 ( )(Q)0, ,;rsrsaaaar s 3 3( ) ()(0,0,Q).rrraba brab2 2( ) ()(0, ,Q);rsrsaraas 指数的概念从指数的概念从整数指数整数指数推广到了推广到了有理数有理数指数指数, ,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都适用都适用. .2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算2313245161281(1)8 ,(2)25,(3)( ) ,(4)( ) . 【1 1】求下列各式的值求下列各式的值. .23:(1)8解解233(2
9、) 2332 224; 12(2)25 122(5 ) 12()25 115;5 512(3)( ) 15(2 ) 5232; 341681(4) ( ) 34423( ) 34()423( ) 323( ) 278. 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算当有多重根式是当有多重根式是, ,要要由里向外由里向外层层转化层层转化. .对于有分母的对于有分母的, ,可以先把分母写成负指数幂可以先把分母写成负指数幂. .要熟悉运算性质要熟悉运算性质. .【题型题型1】将根式转化分数指数幂的形式将根式转化分数指数幂的形式.3232;(1)(2).aa aa 例例1.
10、1.利用分数指数幂的形式表示下列各式利用分数指数幂的形式表示下列各式( (其其中中a 0).).解解: :232223(1)aaaa223a 83;a 3(2 )aa4132()a 1132()a a23.a 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算例例2.2.化简下列各式化简下列各式( (其中其中a 0).).34333(3)()27ab 9342(4)ab 3433()9ab 42333(3)a b 84433a b 931242()a b 3984a b 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 系数先放在一起运算系数先
11、放在一起运算; ;同底数幂进行运算同底数幂进行运算, ,乘的乘的指数相加指数相加, ,除的指数相减除的指数相减. .【题型题型2】分数指数幂的运算分数指数幂的运算5211113262362(6)(3)ab 解：原式解：原式 =04ab;4a521111336622(1) (2)( 6)( 3);a ba ba b 23142(2)()( 4)(12)a ba ba b c2 1 43 1 21113( 4)12.abcac 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算122111333424(3) ( 2)(3)( 4);x yxyx y 122111333424
12、( 2)3 ( 4)xy 解解:原:原式式24 . y 31848(4)()m n 318488() ()mn 23.m n 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算63(1) 231.512 例例4.求下列各式的值：求下列各式的值：1112362323( )(23)211111123623623 . 632【题型题型3】根式运算根式运算 利用分数指数幂进行根式运算时利用分数指数幂进行根式运算时, ,先将根式化成有先将根式化成有理指数幂理指数幂, ,再根据分数指数幂的运算性质进行运算再根据分数指数幂的运算性质进行运算. .11111233662233 2232
13、022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算34(2)( 25125)52131342455 【题型题型3】根式运算根式运算 利用分数指数幂进行根式运算时利用分数指数幂进行根式运算时, ,先将根式化成有先将根式化成有理指数幂理指数幂, ,再根据分数指数幂的运算性质进行运算再根据分数指数幂的运算性质进行运算. .2131342455555512455512455 5.231324(55 )52022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算例例. .计算下列各式计算下列各式( (式中字母都是正数式中字母都是正数).).2925332(1) (
14、8)( 10 ) 10 . 3229533222(2 )(10 ) 10 513221010 5321102 10.2 121102【题型题型4】分数指数幂分数指数幂 的求值的求值.3324281(2) ()( 3) 625 3342423( ) (3 )5 333( )3512512727124.27 mna2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算【题型题型5】含有分数指数幂的条件等式的求和含有分数指数幂的条件等式的求和和证明和证明2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算)()(22平方差公式bababa)(2)(222完全
15、平方公式bababa)()(2233立方公式babababa总结：利用代数公式进行化简：2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算22,10010, 2105010,50100.22bababaa又解7 71818补充练习：补充练习：._, 3133221aaaaaa.则已知？ba.ba的值求已知2, 210,5010022022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算补充练习：补充练习：233x111114.3131313132xxxxxxxx化简？xxxx的值求已知1, 5. 3221212022/6/182.1.12.1.1指数与
16、指数幂的运算指数与指数幂的运算8421111(1)(1)(1)(1).22224.化简化简8421111(1)(1)(1)(1)2222:解解824111(1)(1)(1)22111(1)21(1)222 282411(1)(1)221121(1)21(1)2 4841(1)21(1)21(12112) 881(1)1112)2(12 16112112 1512.2 2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算4(1) 1;x13(2).(1)x23(3)(1)x12(4).x324(5).(32)xx13(6).(| 1)x例例.求下列各式中求下列各式中x的范围
17、的范围x1X1XRX0(-3,1)X1【题型题型6】分数指数幂或根式中分数指数幂或根式中x的定义域问的定义域问题题根式运算根式运算2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算【题型题型7】比较大小比较大小2022/6/182.1.12.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算1.分数指数概念分数指数概念(1);mmnnaa 11(2 );mnmmnnaaa (a0,m,nN* *, n1)2.有理指数幂运算性质有理指数幂运算性质( )(0, ,Q);rsrsa aaar s 1 1( ) ()(0,0,Q).rrraba b abr3 3( ) ()(0, ,Q);rsrsaaar s 2 2(3)0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂的负分数指数幂没有意义没有意义.