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1、第二章 点、直线和平面的投影,第二章 点、直线和平面的投影,21 点的投影,平面,直线,点,点、直线和平面称为构成立体的几何元素,2-1 点的投影,一、点在三投影面体系中的投影二、点的投影和坐标三、两点间的相对位置、重影点,21 点的投影,一、点在三投影面体系中的投影,1. 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴 （aaOX）；,2. 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（aaOZ）；,3. 点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离（aax =aaz）。,ax,az,21 点的投影,例：已知点的正面投影a和水平投影a，求其侧面投影a,a,21 点的投影,二、点的投影和坐
2、标,1.点的坐标,XA(Oax)Aa 点到W投影面的距离；,YA(Oay)Aa 点到V投影面的距离；,ZA(Oaz)Aa 点到H投影面的距离；,点到投影面的距离,2.点的投影,每个投影反映点的两个坐标；,每个坐标在两个投影中得到反映。,a,b,ax,21 点的投影,例：已知点的坐标，求投影。A ( 15, 8, 10 ), B ( 15, 8, 0 ), C (15, 0, 0 ),a,A,15,8,10,15,B,b,b,b,C,c,投影面上点，其该面投影与点本身重合，另两投影在相应的投影轴上；,投影轴上点，有两个投影与点本身重合，另一投影与原点重合。,21 点的投影,三、两点间的相对位置,
3、两点间的相对位置可用它们同方向的坐标差来判断,21 点的投影,A在B的左方XA-XB处,A在B的前方YA-YB处,A在B的上方ZA-ZB处,21 点的投影,（ ）,重影点及可见性,当空间两点位在某一投影面的同一条投射线上时，它们的该面投影重合,这时，空间两点称为对该投影面的重影点。,对H 面的重影点,对V 面的重影点,21 点的投影,例：已知B点的三投影，A点在B点之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求A点的投影。,a,a,22 直线的投影,2-2 直线的投影,一、直线的投影,二、各种位置直线的投影特性,三、一般位置直线的实长及其对投影面的倾角,四、直线上的点的投影,五、两直线的相对位置,六、
4、直角投影定理,22 直线的投影,一、直线的投影,直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影,直线对投影面的倾角,22 直线的投影,二、各种位置直线的投影特性,投影面平行线：平行于一个、倾斜于另两个投影面的直线,V面正平线,H面水平线,W面侧平线,投影面垂直线：垂直于一个、同时平行于另两个投影面的直线,V面正垂线,H面铅垂线,W面侧垂线,投影面倾斜线：对三个投影面都倾斜的直线,特殊位置直线,一般位置直线,22 直线的投影,1. 投影面平行线,（1）正平线,投影特性：,ab=AB;,abOX、abOZ;,反映、角的真实角度。,22 直线的投影,（2）水平线,（3）侧平线,cd =CD;,cdOX、c
5、dOYW ;,反映、角的真实角度,ef=EF;,ef OZ、 ef OYH;,反映、角的真实角度,22 直线的投影,1)在与其平行的投影面上的投影显实长，且与两投影轴的夹角反映直线对另两投影面的真实倾角；,2)另两个投影长度缩短，且分别平行于相应的投影轴。,例：过点A作正平线AB，长为20mm, 30。,b,22 直线的投影,2. 投影面垂直线,（1）正垂线,投影特性：,a (b )积聚为一点;,abOX、abOZ。,ababAB;,22 直线的投影,（2）铅垂线,（3）侧垂线,c(d)积聚为一点;,cdOX、 cdOYW;,e(f)积聚为一点;,efOZ、efOYH;,cdcdCD;,efe
6、fEF;,22 直线的投影,1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；,2)另两个投影显实长，且分别垂直于相应的投影轴。,投影面上的直线的投影,22 直线的投影,3. 投影面倾斜线,投影特性：,1)直线的三个投影均为倾斜于投影轴的直线;,2)投影中不能反映直线段的实长和倾角。,22 直线的投影,侧垂线,倾斜线,水平线,22 直线的投影,三、一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角,1.求线段的实长及对水平面的倾角,ZAB,AB,AB,ZAB,直角三角形法,22 直线的投影,2.求线段的实长及对正平面的倾角,yAB,yAB,AB,AB,yAB,22 直线的投影,3.求线段的实长及对侧平面的倾角,2
7、2 直线的投影,记忆立体图,四个量中，已知两个量可求出另外两个量,例：已知直线AB的正面投影ab及点B的水平投影b, =30, 求ab。,22 直线的投影,X,a,b,b,ab,a b,a,a,ZAB,O,22 直线的投影,四、直线上点的投影,C,1、点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上；,2、点分线段成定比，其空间比等于投影比。,A C：C B = a c：c b = ac ：c b = ac ：c b,c,AC:CB = ac:cb = ac:cb = 2:1,22 直线的投影,例1 已知线段AB的投影图，试将AB分成AC:CB=2 : 1两段，求分点C的投影。,O,X,b,b,a,a
8、,c0,b0,22 直线的投影,22 直线的投影,c0,c,22 直线的投影,例3. 在直线AB上取一点C, 使AC = L，求点C的两投影。,a,b,a,b,L,ZAB,c,b0,AB,X,O,22 直线的投影,例3. 在过点 A且已知方向的直线上取一点C, 使AC = L， 求点C的两投影。,c,a,a,d,L,ZAD,c,d0,c0,AD,L,X,O,22 直线的投影,五、两直线的相对位置,1. 平行两直线,（1）若空间两直线平行，则他们各同面投影仍然平行。,（2）两直线段空间长度比等于他们各同面投影的长度比。,22 直线的投影,若两直线的各同面投影互相平行，则两直线空间平行；,当为一般
9、位置直线时，若有两个同面投影互相平行，则两直线空间平行。,22 直线的投影,2. 相交两直线,若空间两直线相交，则他们各同面投影也相交，且三个交点符合一点的投影规律。,22 直线的投影,若两直线的各同面投影都相交，且交点符合一点的投影规律，则空间两直线相交；,当两直线均为一般位置直线时，若有两个同面投影满足上述条件，则空间两直线相交。,22 直线的投影,3. 交叉两直线,既不平行又不相交的两直线,3 4,1 2 ,（ ）,（ ）,22 直线的投影,判断两直线上重影点投影的可见性,ABCD,ABCD,判断重影点重合投影的可见性时，要在其他投影中比较它们坐标的大小。,22 直线的投影,六、直角投影
10、定理,空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。,若两直线的某面投影互相垂直，且其中一条平行于该投影面，则两直线空间互相垂直。,22 直线的投影,d,有ab bc,分析：,空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。,因为ABBC,且ABH,根据直角投影定理,（e）,22 直线的投影,空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。,f,e,分析：,因为AB H, EF AB,所以EF/H；,又因为EFCD,EF/H所以ef cd。,因为EF/H, 所以ef
11、/OX；,EFAB,EFCD,f0,22 直线的投影,e ,f ,ZFE,分析：,因为AB CD, 且AB /H所以ab cd；,于是CD成为过E点且已知方向的直线；,在CD线上取点C和D,使EC=ED=L,求投影c、d,23 平面的投影,2-3 平面的投影,一、平面的投影,二、各种位置平面的投影特性,三、平面上的点和直线,23 平面的投影,一、平面的投影,1.用几何元素表示平面,各种形式可以互相转换,不共线三点,直线和线外一点,两相交直线,平面图形,两平行直线,23 平面的投影,2.用迹线表示平面,P,PV,PH,PW,PV,迹线 平面与投影面的交线,正面迹线,水平迹线,侧面迹线,平面对投影
12、面的倾角、,23 平面的投影,二、各种位置平面的投影特性,投影面垂直面：垂直于一个、倾斜于另两个投影面的平面,V面正平面,H面水平面,W面侧平面,投影面平行面：平行于一个、同时垂直于另两个投影面的平面,V面正垂面,H面铅垂面,W面侧垂面,投影面倾斜面：对三个投影面都倾斜的平面,特殊位置平面,一般位置平面,23 平面的投影,1.投影面垂直面,（1）正垂面,PV,投影特性：,abcd 积聚为直线;,abcd和abcd为面积缩小的类似形。,反映、角的真实角度；,23 平面的投影,（2）铅垂面,（3）侧垂面,反映、角的真实角度;,efgh-直线;,efgh和efgh-类似形。,反映、角的真实角度;,i
13、jkl -直线;,ijkl和ijkl-类似形。,QH,23 平面的投影,投影面垂直面的投影特性,1)在与其垂直的投影面上的投影积聚为直线，其与相邻投影轴的夹角反映平面对另两投影面的真实倾角；,2)另两投影为面积缩小的类似形。,23 平面的投影,2.投影面平行面,（1）正平面,投影特性：,abcd 显示平面的实形;,abcd和abcd积聚为直线；,abcdOX轴、abcdOZ轴。,23 平面的投影,（2）水平面,（3）侧平面,efgh-实形;,efgh和efgh-直线，分别平行于OX、OYW轴,23 平面的投影,投影面平行面的投影特性,1)在与其平行的投影面上的投影反映平面的实形；,2)另两个投
14、影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。,3. 投影面倾斜面,1)三个投影均为面积缩小的类似形；,2)投影不反映平面的真实形状和倾角。,23 平面的投影,例1 判断三棱锥各表面的位置,水平面,侧垂面,倾斜面,倾斜面,23 平面的投影,例2 过点A作铅垂面，使30,例3 过直线AB作正垂面,30,c,还能作哪些位置的平面？,1.直线通过平面上两个点；,23 平面的投影,三、平面上的点和直线,1.直线和点在平面上的几何条件,2.直线通过平面内一个点，且平行于平面内任一直线；,3.点在平面内的任一直线上。,d,d,点G在ABC平面内吗？,d,23 平面的投影,2.在平面上取点和直线,已知平面的各投影
15、及平面上点和直线的一个投影，根据点和直线在平面上的从属关系，求出点和直线其他投影。,例1 已知点D、E在ABC平面内，求 d 和 e 。,1,h,23 平面的投影,例2 完成四边形ABCD上缺口EFGH的水平投影（abgh ， bcgf）。,1,分析：,共面二直线，若一组同面投影平行，则它们空间为平行两直线。,面上取线归结为面上取点的作图。,平面在空间是否定位： 。,是,23 平面的投影,3.平面上的投影面平行线,满足双重条件：,1.线在面上的几何条件；,2.投影面平行线的投影特性。,k,23 平面的投影,例1 平面在ABC内，过点S 作正平线，过点B作水平线。,例2 在平面ABC内取一点K，距离V面为m，距离H面为n 。,f,K在平面内距V面为m的正平线上、同时在距H面为n的水平线上,第二章内容体系,第二章 点、直线和平面的投影,第二章内容体系,第二章 点、直线和平面的投影,第二章内容体系,第二章 点、直线和平面的投影,本 章 结 束,第二章 点、直线和平面的投影,