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1、最新课件第二届第二届东芝杯东芝杯中国师范大学师范专业中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛理科大学生教学技能创新实践大赛参参赛赛教教案案课题：课题：走进数学建模世界走进数学建模世界教材：教材：人教版数学必修人教版数学必修3.23.2 函数模型及其应用函数模型及其应用授课对象：授课对象：高一学生高一学生参赛选手：参赛选手：华南师范大学华南师范大学黄泽君黄泽君选手专业：选手专业：数学与应用数学（师范）数学与应用数学（师范）数学的魅力在于，数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！她能以稳定的模式驾驭流动的世界！第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东
2、芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛【课题】【课题】走进数学建模世界走进数学建模世界【教材】【教材】人教版数学必修人教版数学必修 3.2 3.2 函数模型及其应用函数模型及其应用【课时安排】【课时安排】第第 4 4 课时课时【教学对象】【教学对象】高一学生高一学生【授课教师】【授课教师】华南师范大学数学科学学院华南师范大学数学科学学院黄泽君黄泽君【教材分析】【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但标准中没有对数数学建模是高中数学新课程的新增内容，但标准中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学学建模的课时和内容作具体安排，只是建议
3、将数学建模穿插在相关模块的教学中。而“中。而“3.23.2 函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。【学情分析】【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，
4、需要熟悉前面已学过的二次高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。函数与三角函数的相关性质。【教学目标】【教学目标】知识与技能知识与技能（1 1）初步理解数学模型、数学建模两个概念；）初步理解数学模型、数学建模两个概念；（2 2）掌握框图）掌握框图 2 2数学建模的过程。数学建模的过程。过程与方法过程与方法（1 1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；（2 2）提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。）提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。情感态度价值观情感态度价值观
5、（1 1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；（2 2）感受数学的实用价值，增强应用意识；）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3 3）体会数学以不变应万变的魅力。）体会数学以不变应万变的魅力。【教学重点】【教学重点】框图框图 2 2数学建模的过程。数学建模的过程。【教学难点、关键】【教学难点、关键】 方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。【教学方法】【教学方法】引导探究、讨论交流。引导探究、讨论交流。【教学手段】【教学手段】计算机、计算机、PPTPPT、几何画板。、几何画板。第二届东芝杯中国师范大学师
6、范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛【教学过程设计】【教学过程设计】一、教学流程设计一、教学流程设计实际问题化为实际问题化为理想化问题理想化问题设计意图：设计意图：与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化（模型假设）这一重要的环节。本环节意在恢复数学建模的真实面目。设计意图：设计意图：展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程。设计意图：设计意图：展示“解模”过程。理想化问题化为理想化问题化为数学问题数学问题求解数学模型求解数学模型解释数学结果解释数学结果数学建模过程数学建模过程的概括的概括设计意图：设计意图：结合这一实际问
7、题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。设计意图：设计意图：1.让学生经历数学建模中的优化过程；2.培养学生的探究意识。设计意图：设计意图：1.使学生获得科学的数学建模理论：数学建模与数学模型的概念、数学建模的具体过程；2.体会数学以不变应万变的魅力。最优解的探究最优解的探究什么是什么是数学建模数学建模牛刀小试牛刀小试设计意图：设计意图：1.根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习，以强化刚刚获得的数学建模理论；2.培养学生的问题解决能力。小结与思考小结与思考设计意图设计意图: :1.小结意在强化数学建模理论， 形成知识组块；2.设计四个问题，目的是培养学生的数
8、学探究能力、动手实践能力和数学创新意识。最新课件第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛二、教学过程设计二、教学过程设计教师教师活动活动现有宽为a的长方形板材， 请将它设计制成一直的开口的长条形水槽，使水槽能通过的流水量最大。教师引导学生阅读理解问题（一）（一），并将实际实际其理问题问题1.1. 初步理想化初步理想化想化化为化为在单位时间内，该水槽能通过的流水量取理想理想决于水流速度和它的横截面积。我们将问题化问化问理想化，假定水流速度是一定的。那么，要题题在单位时间内获得最大的流水量，就应该将预计水槽设计成横
9、截面积最大。于是，问题化归时间为：2现有宽为a的长方形板材， 请将它设计制成分钟一开口的长条形水槽，使水槽的横截面积最大。 ”2.2.进一步理想化进一步理想化如果将水槽的横截面设计成矩形，那么这一实际问题可以转化为理想化问题：如下图所示，要建造一个横截面为矩形ABCD的水槽,并且AB,BC,CD的长度之和等于a.问应当怎样设计水槽的深度和宽度,使水槽的横截面积最大?教教学学内内容容教学教学环节环节学生学生活动活动学生听讲思考设设计计意意图图与 大 学数 学 建模相比，过 去 的中 学 数学 建 模缺 少 理想 化 这一 重 要的环节。本 环 节意 在 恢复 数 学建 模 的真 实 面目。ABD
10、C最新课件第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛1.1.寻找变量以及变量之间的关系寻找变量以及变量之间的关系在此问题中， 水槽的深度是一个变量，宽度是另一个变量，横截面积也是一个变量。（二）（二）教师引导讲解设AB x，BC y.矩形ABCD的面积为S.那么，这三个变量之间的关系是S xy.学生听讲思考将理将理想化想化变量S由两个变量x和y确定.如果我们问题问题能使面积S表达式只由一个变量确定，那么转化转化我们研究的问题就可以简化，这就需要寻找为数为数学问学问题题2x y a.两个变量x和y之间的关系。显然,
11、展 示 将理 想 化问 题 转化 为 数学 问 题的 数 学化过程。预计2.2.建立数学模型建立数学模型时间S x(a2x)3分钟.将实际问题转化为一个纯数学问题：当x取何值时， 函数S x(a2x)（0 x 有最大值？（三）（三）求解求解数学数学模型模型解释解释数学数学结果结果预计时间2分钟教师a引导所以，当x 时，S有最大值0.125a2.分析4a讲解此时，y a 2x .2当水槽的横截面设计成矩形时，只要将深度、aa宽度分别设计为和时，可得到最大的横42截面积，从而可获得最大的流水量。a2a2a2因为S x(a2x) 2(x) ，848最新课件a）2学生听讲思考求解模型展示解模过程第二届
12、东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛教师引导讲解学生听讲思考结 合 这一 实 际问 题 的解 决 过程， 概括出 数 学建 模 的基 本 过程， 以实现 由 具体 到 抽象 的 升华。可将上述数学建模的过程概括为下面的框图 1：实际问题（四）（四）数学数学建模建模理想化问题寻找变量关系过程过程预计建立数学模型时间2 分纯数学问题钟.求解数学模型解释数学结果最新课件第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛我们前面的设计是将横截面设计
13、成矩形，教师学生1. 让 学aa将深度、宽度分别设计为和时，可得到将学动手生 经 历42生分探究数 学 建最大的横截面积，成五各自模 中 的的优 化 过如果将水槽的横截面分别按照下图中的个小组，设计程；五种方案进行设计，结果又如何呢？并巡方案2. 培 养（五）（五）视指学 生 的导学探 究 意最优最优生解识。解的解的决问探究探究题.预计时间由于缺少7导数分钟工具，教师应引导学生运用观察、试算、估算、来探究方案二的答案.最新课件第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛下面，我们将全班分成 5 个小组，分别探究五个
14、方案的设计。最后派代表报告本小组的探究结果.教师总结11点评方案一：S x(a x)sinx(a x)22最后a2112a2(xa) 0.125a2.教师8228演示1数学当90，且x a时，Smax 0.125a2.实验21 2aa发现方案二：S (a2sin)cos答案2 333,a2并指(1sin)cos9最优最优出运用导（ 演示数学实验）解的解的数工探究探究30时，Smas 0.144a2具可以证总结总结方案三（四个底角为 67.5的等腰三角形） ：明我预计1aa们的S 4tan67.5 0.151a2.答案248时间是正方案四（五个底角为72的等腰三角形） ：7确的1aaS 5tan
15、72 0.154a2.分钟2510方案五：12a2r a,r .S r 0.159a2.22a学生代表讲解各自方案的答案通 过 观察 、 试算、 估算与 数 学实验， 培养 学 生的 合 情推 理 能力 和 数学 发 现能力.通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的情况可以得出，方案五是这个实际问题的最优解，即：a将水槽的横截面设计为半径为的半圆形时，从而可获得最大的流水量。最新课件第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛（六）（六）什么什么是是数学数学建模建模预计时间6分钟找到了该问题的最优解。这就表明，数
16、学建教师模需要对所得到的结果进行检验评价，以确讲解概括认结果是否合理，是否是较好的结果。如果结果不满意，就需要重新回到“理想化问题”这一环节。于是，我们就可以概括出一个较为完善的数学建模过程的框图。框图 2：实际问题重新理想化理想化问题以上我们进行了六种设计方案的探究后，才寻找变量关系学生听讲思考建立数学模型纯数学问题求解数学模型结果不理想结果是否合理是问题获得解决1. 使 学生 获 得科 学 的数 学 建模理论：数 学 建模 与 数学 模 型的概念、数 学 建模 的 具体过程；2. 体 会数 学 以不 变 应万 变 的魅力；3.弥补标准中数学的建模理论的不足。最新课件第二届东芝杯中国师范大学
17、师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛根据这个框图，我们就可以来回答什么是数学建模？数学建模 (Mathematical Modelling)：就是运用数学化的手段从实际问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模型的解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程。数学模型就是用数学语言符号来描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。例如，各种函数、方程、不等式、不等式组等等都是比较常见的数学模型。世界上最简单的数学模型是表示数的字母a.数学模型“a”有两方面的含义：1.作为结果，她表示的是一个确定的数值，可以参与运算；2.
18、作为过程，她表示的是一个变量：可大可小；可正可负；可以是有理数也可以使无理数。由于数学模型具有高度的抽象性、概括性和结构的确定性，所以数学模型能以不变应万变。不管是中文还是英文，一个字所能表达的意义十分有限， 但我们的数学模型 “a”却可以表示无穷无尽的对象流动的世界。又比如说勾股定理，这一模型可以用来处理数以亿计的实际问题。从小到斜边长为一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它们居然都满足同样的结构模型：斜边的平方等于两条直角边的平方之和.我不知道，这个世界上还有什么学科象数学这样如此简洁，如此概括，如此统一。我只知道：“数学的魅力在于，“数学的魅力在于，
19、她能以稳定的模式驾驭流动的世界！她能以稳定的模式驾驭流动的世界！”最新课件第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛如下图，某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地 ABCDE，边长和方向如图所示，欲在（七）（七） 这块地上建一座地基为长方形东西走向的公教师寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积.解释牛刀牛刀说明北小试小试问题.预计最后100mAE时间演示14数学西东分钟实验.学生动手解决问题1. 根 据练 习 律和 强 化原理， 强化 刚 刚获 得 的数 学 建模理论；2. 培 养学 生 的问 题 解决能力。60m
20、BC80m70mD学生内化数学建模理论学生思考准备解决问题问题 2:让 学 生通 过 动手 实 践发 现 周长 一 定的 图 形中 ， 圆的 面 积最大.数学实验1.1.小结小结这节课，我们通过解决一个实际问题，（八）（八） 带大家走进了数学建模世界。数学建模就是；小结小结数学模型就是；与与数学建模的具体过程 .课后课后我们还感受到了思考思考“数学的魅力在于，“数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！她能以稳定的模式驾驭流动的世界！”预计2.2.课后思考课后思考时间（1） 将各方案中的图形沿虚线向上翻折， 并观察思考：周长为2a的凸多边形，什么时候面积最大？2分钟（2）家庭物理小实验教
21、师讲解点化教师呈现先将一条长度固定的柔软丝线的两头连接起问题来，再将此封闭的曲线轻轻放在一个蒙有肥皂膜的正方形（边长约5cm）铁丝框上的肥皂膜上（注意，别弄破肥皂膜！ ） ，最后用小钉将曲线内的肥皂膜刺破。你观察到什么现象，说明了什么问题？（3）请你帮助吉东皇后解决问题吉东是泰雅皇帝的女儿， 历经周折， 逃到非洲，且成为迦太基的创始人和第一位神奇的皇后。刚到非洲时， 吉东要在靠海岸线的地方购买 “一张兽皮”的土地：她把兽皮剪成细条，结成长绳，剩下的问题是：怎么围，才会得到最多的土地呢？问题1:是让学生探究发现周长一定的凸多边形中，正多边形的面积最大.1. 小 结意 在 强化 数 学建 模 理论
22、， 形成知 识 组块；2. 设 计四 个 课后 思 考问题， 目的 是 培养 学 生的 数 学探 究 能力、 动手实 践 能力 和 数学 创 新意识。问题 3：是等周问题在解决实际问题中 的 应用.最新课件第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第二届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛（4）用数学家的眼光看世界音乐家关注声响，文学家关注人性，而数学家则本能关注对象的数量关系、空间形式和结构。用数学家的眼光看世界，就是从数学的角度观察，感受，认识，描述客观对象，进而提出创造性的问题。儿童玩耍时吹出的肥皂泡，总是一个个在空中起舞的彩球；水银落在桌面上，总
23、是呈球形滚动；清晨荷萍树叶上的露水，总是聚成一个个晶莹剔透的水珠；冬日里为避寒而盘成一团的看家狗。面对这些现象，物理学家想到了表面张力的作用。以数学家的眼光，你看到了什么？你有什么大胆的猜想？问题 4：是将平面内的等周问题拓展到了空间.【板书设计】【板书设计】走进数学建模世界走进数学建模世界一、四、六、二、七、三、五、八、附：本教学设计的创新之处本教学设计的创新之处1.1. 数学建模是高中数学新课程的新增内容，数学建模是高中数学新课程的新增内容，但却没有教材，但却没有教材，没有具体内容。没有具体内容。 标标准中建议由教师灵活掌握，但教师们感到不好把握。本节课通过一个较为准中建议由教师灵活掌握，
24、但教师们感到不好把握。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，真实的数学建模案例，弥补了教材与弥补了教材与标准标准的这一不足，的这一不足，并充实完善了并充实完善了标标准中的数学建模理论。准中的数学建模理论。2.2. 与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化（模型假设）这一重与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化（模型假设）这一重要的环节。本设计恰好解决了这一问题，恢复了数学建模的真实面目。要的环节。本设计恰好解决了这一问题，恢复了数学建模的真实面目。3.3. 本节课将数学探究、数学实验与数学建模较好地结合在一起，并提供了四个本节课将数学探究、数学实验与数学建模较好地结合在一起，并提供了四个拓展性的课后思考问题。拓展性的课后思考问题。4.4. 向学生展示了普通人难以领会的数学结构之美，即：向学生展示了普通人难以领会的数学结构之美，即：数学的魅力在于，数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！她能以稳定的模式驾驭流动的世界！最新课件