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1、 高三理科数学（模拟一）答案第1页 zyxEC1B1A1DCBANCS20210607 项目第一次模拟测试卷项目第一次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D C C D A B B A B C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分 132 55 14160 150.817 168 23 三解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 题-21 题为
2、必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答 17.【解析】 （）设na的公差为d，因为1413,a a a成等比数列， 所以23(3 12 )(33 )dd，即220dd， 2 分 解得0d （舍去）或2d ， 4 分 所以21nan； 6 分 （）1111()(21)(21)2 2121nbnnnn， 8 分 所以111111(1.)23352121nSnn 10 分 11(1)22121nnn. 12 分 18.【解析】 （）因为侧面11AAC C是矩形，所以1ACCC， 1 分 又由条件ACBC，1BCCCC，所以AC 平面11CC B B， 1BB
3、平面11CC B B，所以1ACBB， 3 分 又因为侧面11BBC C是菱形，160B BC， D是1BB的中点，所以1BBCD， 5 分 且ACCDC，所以1BB 平面ACD. 6 分 （）因为AC 平面11CC B B，所以平面11BBC C 平面ABC， 如图以C为原点，,CA CB所在直线分别为x轴，y轴，过点C在平面内11BBC C且垂直CB的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，则(2,0,0)A， 11(0,2,0),(0,1, 3),(0, 1, 3)BBC，33(0,)22D， 11(2, 1, 3)CACA CC ，所以E(1,0, 3)8 分 平面ACD的一个法向量为
4、1(0, 1, 3)BB ， 设平面ECD的法向量( , , )nx y z， ( , , ) (1,0, 3)030nCEx y zxz ， 高三理科数学（模拟一）答案第2页 33( , , ) (0,)03022nCDx y zyz ， 令13,3(3,1,3)yzxn ， （两平面法向量各一分） 11 分 所以142 13cos,1329 1 3n BB ， 所以所求二面角的余弦值为2 1313 12 分 19. 【解析】 （）2b 时，2( )(2)e(1)2xaf xxx， ( )(1)e(1)(1)(e)xxfxxa xxa， 2 分 因为0a ，所以： 若ln1a 即0ea时，由
5、( )0fx得ln1ax， 由( )0fx得1x 或lnxa； 若ln1a 即ea 时，( )0fx得1lnxa， ( )0fx得1x 或lnxa； 若ln1a 即ea 时，( )0fx恒成立， （每步讨论各 1 分）5 分 故当0ea时，( )f x的单调减区间为(ln ,1)a，单调增区间为(,ln ),(1,)a； 当ea 时，( )f x的单调减区间为(1,ln )a，单调增区间为(,1),(ln ,)a； 当ea 时，( )f x在R上单调递增； 6 分 （）( )(1)()xfxxbea，由已知( )f x在R上单调递增， 则(1)()0 xxbea恒成立，由讨论可知1lnba ，
6、即ln1ba， 8 分 而待证不等式为1abe，故只需证明1ln1aae 证明：设1( )ln1ag aea，则11( )ag aea， 9 分 因为( )g a单调递增，且(1)0g，故当( )0g a时01a； 当( )0g a时1a ，即( )g a在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减， 则( )(1)0g ag， 得1ln1aae ，即不等式得证 12 分 20.【解析】 （）该同学答对3个题有两种情况， 第一种情况是第一类题对1个，第二类题对2个；12412539( )440CPC， 2 分 第二种情况是第一类题对2个，第二类题对1个，21422253194440CPCC， 5
7、分 所以概率为：12214422255331( )444CCPCCC920； 6 分 （）若小明后三题选择从第一类题中抽取1道，从第二类题中抽取2道进行作答， 设后三题得分为X分，则X的所有可能取值为：10,0,15,25,40,50，则 高三理科数学（模拟一）答案第3页 2111(10)( )4464P X ； 2313(0)( )4464P X ； 121136(15)44464P XC； 1231318(25)44464P XC； 1339(40)44464P X ； 33327(50)44464P X ； （每个概率 0.5 分） 1618927( 10)152540503564646
8、46464EX ； 9 分 若小明后三题选择从第二类题中抽取3道进行作答，设后三题答对Z道，得分为Y分， 则3(3, )4ZB，20532515,YZZZ 所以91652515251544EYEZ， 11 分 所以EXEY，即后三题应都从第二类题中抽取作答，得分期望会高. 12 分 （另解）若后面三个题都选择难题：记这三个题答对的个数为X，则3(3, )4XB， 39344EX ，总得分期望是9320510205444 分， 8 分 若后面三个题选择一个中等题、两个难题： 则中等题总得分期望是：33510 1042分， 记两个难题答对题数为Y，则3(2, )4YB，则33242EY ， 则两个
9、难题得分期望是3155205222 ， 此时，总得分期望是35554522分， 11 分 因为205454，所以后面三个题应该都选择难题. 12 分 21.【解析】 （）由点11(,)A x y，1( , 1)R x 坐标，知AR与直线1y 垂直， ,F R关于过点A的直线 l对称，可得| |AFAR， 2 分 所以直线1y 为抛物线准线，所以4p ，抛物线方程为24xy， 4 分 因此点(0,1)F，所以12FRkx ，从而直线 l的斜率为12x， 又抛物线方程为24xy ，得2xy ，所以过点A的切线斜率为12x， 所以 l为抛物线切线得证; 6 分 （）设(,), (,),(,)BBCC
10、DDB xyC xyD xy，(0, )Gt 高三理科数学（模拟一）答案第4页 由题意RFAGkk，1112tyxx ，得12ty， 7 分 因为10y ,所以2t ， 令直线AB方程为10ykxk， 联立241xyykx，并化简得2440 xkx，得到14Bx x ，即14Bxx ， 8 分 设直线AC方程：1yk xt, 联立214xyyk xt，得21440 xk xt，则14Cx xt ，即14Ctxx ， 9 分 同理可得4BDx xt ，因此14DBtxtxx， 10 分 由12211111|sin|4|2414|sin|2CDABtxCGDGCGDx xStSx xAGBGAxx
11、tGBx， 所以21SS的取值范围是(4,) 12 分 22. 【解析】 （）由已知，2sin52cos5xyxy，消参可得22:5C xy， 3 分 22:sin()2cossin220422lxy. 5 分 （）P在直线l上，且l的斜率为1，故设l的参数方程为：22222xtyt（t为参数） 将其代入C的普通方程可得：22 210tt ，则122 2tt，1 21t t 8 分 故1212| | | 2 2PAPBtttt. 10 分 23.【解析】 （）当2a 时，不等式( )3f x 为|1| 22| 3xx， 当1x 时，(1)( 22)3xx ,此时43x ； 当11x 时，(1)
12、(22)3xx,此时01x； 当1x 时，2(1)(22)33xxx，此时1x ; (每步讨论各一分) 高三理科数学（模拟一）答案第5页 所以，当2a 时，不等式( )3f x 的解集为4 |3x x 或0 x . 5 分 （）由0a ，知21a，讨论如下： 当2xa ，( )12(1)1f xxaxa x ，由(1)0a ，知2( )()f xfa， 则5( )2f x 恒成立等价于25()2fa，解得403a； 当21xa， 1213f xxaxax ， 则5( )2f x 恒成立等价于25()25(1)2faf，解得1423a； 当1x ，( )12(1)1f xxaxa x ，(1)0a ，故( )(1)f xf ， 则5( )2f x 恒成立等价于5(1)2f，解得12a ； （每步讨论 1.5 分） 综上，1 4 , 2 3a. 10 分 （另解）由性质可知，函数( )f x的最小值在1x 或2xa 取到， 7 分 故5(1)225()2ffa，即5222512aa ，解得1423a. 10 分