数学建模大赛C题.pdf

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1、20132013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为 “竞赛章程和参赛规则” ， 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载） 。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规

2、则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ：所属学校（请填写完整的全名） ：石家庄职业技术学院参赛队员 (打印并签名) ：1.魏鹏飞2.邢磊3.刘力恒指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：陈佩宁（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何

3、修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20132013 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页评阅人评分备注赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：C C 题：古塔的变形题：古塔的变形摘要摘要古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时

4、对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。对于第一个问题，求中心点坐标，采用的是均值法，由于前两次测量中第 13 层第 5个点没有数据，要是采用均值法求中心坐标，会产生较大的误差，所以在求第 13 层中心坐标，采用的是拟合法。对于第二个问题，分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。这个问题可以分三个小问题考虑。1、分析古塔的倾斜情况，先用 Matlab 软件绘制出，古塔的俯视图，观察古塔的倾斜情况，大致的倾斜方向，再用三角函数求出古塔的倾斜角度，再把四次算的倾斜角，做一下比较，观察古塔的倾斜状况。2、分析古塔的弯曲情况，首先观察 X-Z 坐标系中心点坐标，用 Matlab 软件把X-Z

5、 坐标系中的中心坐标拟合成一条曲线，求出这条曲线的曲率，然后按照上述方法求出 Y-Z 坐标系中心点坐标的曲线方程，求出这条线的曲率，分别观察古塔在 X 轴方向的弯曲情况，和 Y 轴方向的弯曲情况。3、分析古塔的扭曲情况，由于时间关系，没有分析古塔的扭曲。对于第三个问题，分析古塔的变形趋势，可以根据第二问中的倾斜角，弯曲情况，进行简单的分析。关键词：Matlab 拟合，Matlab 绘图，均值法，Matlab curve fitting软件，Matlab 编程1一、一、 问题重述问题重述古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、

6、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史， 是我国重点保护文物。 管理部门委托测绘公司先后于 1986年 7 月、1996 年 8 月、2009 年 3 月和 2011 年 3 月对该塔进行了 4 次观测。请你们根据附件 1 提供的 4 次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、二、 问题分析问题分析本文我们是根据相关人员对古塔的观测的数据来分析该古塔的倾斜与弯曲的程度，并且分析出未来古塔的趋

7、势走向。首先，我们利用均值法求出各层的中心点并且拟合出图形， 然后我们对该塔构建了三角形， 利用三角函数求出该塔的倾斜角度，并且利用曲率算出弯曲的程度。最后，我们利用所求出的数据以及图表进行分析得到该塔未来的发展趋势。三、三、 模型假设模型假设1、 假设古塔每层都是正八边形。2、 假设题目中提供的数据真实可靠。3、 假设地面平整。4、 假设每层的测量点在一个平面内。四、四、 符号说明符号说明S塔身长度Xi(1 i 108)古塔测量的数据 x 坐标X中心点的 x 坐标Yi(1 i 108)古塔测量的数据 y 坐标Y中心点的 y 坐标Xi(1 i 108)古塔测量的数据 z 坐标Z中心点的 z 坐

8、标N 古塔每层的测量点的个数塔的倾斜角2五、五、 模型的建立与求解模型的建立与求解5.15.1 问题问题 1 1 模型的建立与求解模型的建立与求解正八边形的重心等于中心，所以可以用均值法求每个面的中心点，公式如下：根据每个面内点的坐标()，可求得平面的中心坐标：Z Y NNN由于每个面都有八个测量点，所以在这里 N=8。在求第 13 层中心点时，由于缺失数据，用均值法得出的中心坐标有很大的偏差，所以在求 13 层中心点改用拟合法。下面以求 1996 年古塔的中心点为例。因为古塔的每层测量点都在一个平面内，所以 13 层的 Z 轴坐标为 7 个测量点 Z 轴坐标的平均值。Z1352.83Matl

9、ab curvefitting 软件对古塔 X-Z 坐标系 12 层中心点和一个塔顶坐标进行拟合，结果如下图：X Xi1NiYi1NiZi1NiFigure 1Linear model Poly1:Coefficients (with 95% confidence bounds):p1 =93.06(90.11, 96.01)p2 =-5.273e+04(-5.44e+04, -5.106e+04)拟合的公式为：Z= 93.06*X-52730将Z1352.83代入拟合公式求得X13567.19513同上用Matlab curvefitting软件对古塔Y-Z坐标系12层中心点和一个塔顶坐标进

10、行拟合，结果如下图：Figure2Linear model Poly1:f(x) = p1*x + p2Coefficients (with 95% confidence bounds):p1 =-114.5(-133, -96.11)p2 =5.987e+04(5.025e+04, 6.95e+04)拟合公式：Z= -114.5*Y+59870将Z1352.83代入拟合公式求得Y13522.2280依据此方法，求出 1986 年的 13 层中心坐标。古塔各层的中心坐标，如下表：塔的各层中心点坐标层年份X 坐标Y 坐标Z 坐标年份层次次12345678910111213塔尖566.664852

11、2.71051.787375566.7196566.7735566.8161566.8621566.9084566.9468566.9843567.0218567.0569567.1045567.1518567.204522.6684522.6273522.5944522.5591522.5244522.5081522.4924522.4764522.4624522.423522.3836522.2867.3202512.7552517.0782521.720526.2351329.8368833.35088199636.8548840.1721344.4408848.7118852.8342

12、9X 坐标Y 坐标Z 坐标1.7837.31462512.7507517.0751321.71626.229529.8322533.3453836.8482540.1676344.4353848.7073852.8312345678910111213塔尖566.665522.7102566.7205566.7751566.8183566.8649566.9118566.9506566.9884567.0265567.062567.1102567.1578567.1951522.6674522.6256522.5922522.5563522.521522.5042522.4881522.4714

13、522.4572522.4173522.3775522.2281986567.2473522.243855.12325表格 1567.2544522.236755.119754年份层次12345678910111213塔尖X 坐标566.7268566.764566.8001566.8293566.8604566.9471566.9792567.0305567.0816567.137567.1799567.2225567.2712Y 坐标522.7015522.6693522.6384522.6132522.5866522.5342522.5123522.4797522.4466522.393

14、7522.3547522.316522.2715Z 坐标年份层次1.76457.30912.7322517.0697521.7093826.21129.8246333.33988201136.8437540.1611344.4326348.6997552.8183855.091续表 1X 坐标566.727566.7642566.8004566.8297566.861566.9478566.98567.0313567.0825567.1381567.181567.2238567.2725Y 坐标522.7014522.669522.6387522.6127522.586522.5335522.

15、5115522.4788522.4457522.3926522.3535522.3147522.2701Z 坐标1.763257.290512.7268817.05221.7038826.204529.81733.3366336.8222540.1441344.4248848.6838852.8131355.087200912345678910111213塔尖567.336522.2148567.3375522.21355.25.2 问题问题 2 2 模型的建立模型的建立对于第二个问题，可以分成三个问题，倾角问题，弯曲问题，和扭曲问题。5.2.15.2.1 古塔的倾斜角古塔的倾斜角图 15图

16、2图 36图 4图 57图 6图 78图 8从上述八幅图中，不难看出，古塔已经向着 X 轴的正方向，Y 轴的负方向发生了倾斜，从专业角度来讲倾斜是指基础两端点倾斜方向的沉降差与其距离的比值，所以我们先取第一层的中心和塔尖进行倾斜角的测量。首先测出两点间的空间距离，两点间的空间距离就是古塔的塔身长度 S，计算公式：S (x14 x1)2(y14y1)2(z14z1)2然后，求塔身与垂直方向的夹角的余弦值cos ，公式为：z zcos141S进而求得倾斜角的值：z z arccos141S把四年的测量数据分别带入公式可以得到古塔四次测量时的倾斜角，见下表年份倾斜角19860.801819960.8

17、12120090.837720110.839795.2.25.2.2 古塔的弯曲古塔的弯曲Matlab curvefitting 软件对古塔进行 X-Z 坐标系中心坐标曲线拟合，Y-Z坐标系中心坐标曲线拟合，结果如下图。Figure3General model Gauss1:f(x) =a1*exp(-(x-b1)/c1)2)Coefficients (with 95% confidence bounds):a1 =54.24(50.25, 58.22)b1 =567.3(567.2, 567.3)c1 =0.4135(0.3546, 0.4723)拟合公式：Z 54.24* e(X 567.

18、32)0.415Z然后代入曲率公式K (1Z )232Figure4General model Gauss1:f(x) =a1*exp(-(x-b1)/c1)2)Coefficients (with 95% confidence bounds):10a1 =55.34(53.18, 57.49)b1 =522.3(522.3, 522.3)c1 =0.2665(0.2421, 0.291)拟合公式：Z 55.34* eY522.32()0.2665Z然后代入曲率公式K (1Z )2325.2.35.2.3 古塔的扭曲古塔的扭曲5.35.3 分析古塔的变形趋势分析古塔的变形趋势图 9如图 9 所

19、示，古塔的右下方的等高线比较密集，古塔左上方的等高线比较稀疏，说明古塔在 X 轴的正方向，Y 轴的负方向已经有倾斜，在未来忽略不可抗力，古塔会一直沿着这个方向倾斜。六、六、 模型的推广与改进模型的推广与改进本模型简单易懂。本模型解决了，古塔的各层中心点的确定，古塔倾斜角的求解。改进建议，通过对倾斜角的取值，应该可以预测古塔的倒塌时间。11七、七、 参考文献参考文献1、 石宁 刘竞 刘青桂 高等数学 中国水利水电出版社2010 年 7 月2、 梁国业 廖建平数学建模 冶金工业出版社2004 年 9 月12八、八、 附录附录1、求古塔倾斜角 matlab 程序function angle = an

20、gleacos(x,y,z)%UNTITLED5 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heres=sqrt(x(14)-x(1)2+(y(14)-y(1)2+(z(14)-z(1)2);angle=acos(z(14)-z(1)/s);angle=180/pi*angle;end2、matlab 画出古塔的 3 维图程序hold on;plot3(tower1986x, tower1986y, tower1986z);plot3(tower1986x, tower1986y, tower1986z,g.);plot3(towercentre1986x, towercentre1986y, towercentre1986z,r*);xlabel(X);ylabel(Y);zlabel(Z);grid on;hold off13