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1、式 （ 1 ） 中 （,） 为交点 JDi-1 的设计坐标； ，分别为 P 点、JDi-1 点的设计里程；为 JD i-1 JD i 坐标方位角，可由坐标反算而得。曲线起点（ZH 或 ZY），曲线终点（HZ 或 YZ）均是直线上点，其坐标可按式（1）来计算。 2 2、完整曲线上点的坐标计算、完整曲线上点的坐标计算如图 10 a ) ，某公路曲线由完整的第一缓和曲线 、半径为 R 的圆曲线、完整的第二缓和曲线 组成。（1 1）第一缓和曲线及圆曲线上点的坐标计算）第一缓和曲线及圆曲线上点的坐标计算当 K 点位于第一缓和曲线（ ZHHY ）上，按切线支距法公式有：（ 2 ）当 K 点位于圆曲线（ H
2、YYH ）上，有 ：（ 3 ）其中有：（ 4 ）式（ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）中， 为切线角；为 K 点至 ZH i 点的设计里程之差，即曲线长； R 、 、 、 p 、 q 为常量，分别表示圆曲线半径， 第一缓和曲线长、 缓和曲线角 （） 、 内移值 （） 、切线增值（）。再由坐标系变换公式可得：（ 5 ）式 （ 5 ） 中 f 为符号函数， 右转取“ + ”， 左转取“ - ” （见图 1 b ） ） 。图 10 a）直线第一缓和曲线圆曲线段点坐标计算（右转） 图 10 b）直线第一缓和曲线圆曲线段点坐标计算（左转）（2 2）第二缓和曲线上点的坐标计算）第二缓和曲线上点的坐标计算如图
3、 12 所示，当 M 点位于第二缓和曲线（ YHHZ ）上，有：（ 6 ）式（ 6 ）中，径， 为第二缓和曲线长。再由坐标系变换公式可得：，为 M 点至 HZ 点的曲线长； R 为圆曲线半（ 7 ）式（ 7 ）中 f 为符号函数，线路右转时取“ - ”，左转取“ + ”。（3 3）单圆曲线（）单圆曲线（ZYZYYZYZ）上点的坐标计算）上点的坐标计算单圆曲线可看作是带缓和曲线圆曲线的特例，即缓和曲线段长为零。令式（ 3 ）（ 4 ）中内移值 p 、切线增长 q 、第一缓和曲线长 、缓和曲线角 为零，计算出单圆曲线上各点的局部坐标后，由式（ 5 ）可得 ZYYZ 上各点的统一坐标。图 12 第二
4、缓和曲线段点坐标计算 （右转）图 13 非完整缓和曲线段点坐标计算（右转） 3 3、非完整曲线上点的坐标计算、非完整曲线上点的坐标计算如图 13 所示，设非完整缓和曲线起点 Q 的坐标为（ , ），桩号 ，曲率半径 ， 切线沿前进方向的坐标方位角为 ； 其终点 Z 的桩号 ， 曲率半径 ， 则 Z 点至 Q 点曲线长。若 ，则该曲线可看成是曲率半径由 到 的缓和曲线去掉曲率半径由 到 后的剩余部分。 设 N 点为该曲线上一点， N 点至 Q 点的曲线长为 ； O 为对应完整缓和曲线的起点， Q 点至 O 点的曲线长为 ，则由回旋型缓和曲线上任一点曲率半径与曲线长成正比的性质，有：得：（ 8 ）
5、设，则由缓和曲线的切线角公式及偏角法计算公式知：（ 9 ）（ 10 ）由图 13 知：（ 11 ）则直线 QO 的坐标方位角为： O 点切线方向 轴的坐标方位角 为：（ 12 ）（ 13 ）（ 14 ）式（ 13 ）（ 14 ）中， f 为符号函数，线路右转时，取“ - ”；线路左转时，取“ + ”。故 O 点坐标（）为：（ 15 ）将式（14）、（15）代入坐标平移旋转公式，得任一点 N 的坐标为：（ 16 ）式（ 16 ）中，（ ， ）按式（ 2 ）计算，代入时 用（为符号函数，右转取“ + ”左转取“ - ”。（三）边桩坐标计算（三）边桩坐标计算）替代； f有了中桩坐标（ x,y ）及其
6、至左、右边桩的距离 d L 、 d R 后，计算出中桩至左、右边桩的坐标方位角 AZ-L 、 AZ-R ，则由式（ 17 ）、（ 18 ）得左、右边桩坐标（ , ）、（ , ）。（ 17 ）（ 18 ） 1 1、直线上点、直线上点 AZ-L AZ-L 、 AZ-R AZ-R 的计算的计算从图 10 a ） b ）知：（ 19 ）2 2、第一缓和曲线及圆曲线段点、第一缓和曲线及圆曲线段点 AZ-L AZ-L 、 AZ-R AZ-R 的计算的计算如图 10 a ） b ）所示，有：（ 20 ）式（ 20 ）中，当 K 点位于第一缓和曲线上， 按式（ 9 ）计算；当 K 点位于圆曲线段， 按式 （
7、4 ） 计算。 f 为符号函数， 右转取“ + ”， 左转取“ - ”。3 3、第二缓和曲线段点、第二缓和曲线段点 AZ-LAZ-L 、 AZ-R AZ-R 的计算的计算如图 12 所示，有：（ 21 ）式（ 21 ）中， 按式“ - ”，左转取“ + ”。（四）算例（四）算例计算； f 为符号函数，右转取如图 13 设某高速公路立交匝道 ( 右转 ) 的非完整缓和曲线段起点 Q的桩号 K8+249.527 ，曲率半径 R Q = 5400m ，切线沿前进方向的坐标方位角，坐标为 （ 91412.164 ， 79684.008 ） ； 终点 Z 桩号 K8+329.527 ，曲率半径 R Z = 1800m 。中桩 K8+309.527 到左、右边桩的距离 d L = 18.75m ，d R = 26.50m ，试计算 K8+309.527 的中、边桩坐标。 1 1、完整缓和曲线起点、完整缓和曲线起点 O O 的计算的计算由公式 （ 8 ） （ 15 ） 计算得：，。2 2、中桩坐标的计算、中桩坐标的计算由式（ 2 ） （ 14 ） （ 16 ）计算得：m ，m ；的坐标方位角；，。3 3、边桩统一坐标的计算、边桩统一坐标的计算，轴