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1、3.5 角动量的本征值和本征态,本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元。一、对易关系和本征态角动量算符的基本对易关系为 这里Ji是绕i轴无穷小角转动的生成元。 定义角动量的平方算符 由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何Ji对易。由于不同Ji不对易, 只能选择某个Ji与J2的共同本征态为基,通常选J2与Jz的共同本征态。若用|a,b标记该本征态，则有 J2 |a,b =a |a,b ，Jz |a,b =b |a,b 。,二、阶梯算符,定义: J=JxiJy，J是非厄米的。容易证明：由于 J|a,b也是Jz的本征态，对应于本征值 。 既J作用于Jz的本征态结果仍
2、为Jz的本征态，但相应本征值增加 。因此， J称为阶梯算符，或角动量的升(降)算符，是自旋升降算符在一般角动量情形的推广。 又由于J与J2对易, J不改变J2的本征值. 即： J|a,b = c|a,b ， c由归一化条件确定。,三、J2与Jz的本征值,由于 ，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期望值为实数，故 a-b20 对给定a, b有上限bmax和下限bmin，且J+|a,bmax=0，J-|a,bmin=0.由 得 ；类似有 bmin=-bmax由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin有限次数应能达到|a,bmax，故,记Jz的最大本征值为 ，则j=n/2为整数或半整数，
3、而J2的本征值为 。Jz的本征值一般为 ，其中-jmj，共有2j+1个可能值-j，-j+1，j-1，j。改记|a,b为|j,m，则上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质。,四、角动量算符的矩阵元,取|j,m为归一化的，则因 而故取c为实数，有：类似地J的矩阵元为而由Jx=(J+J-)/2，Jy=(J+-J-)/2i 可定出Jx和Jy的矩阵元(Ji不改变j),五、转动算符的表示,对绕 转角的转动R，转动算符的矩阵元为 (D在不同j之间的矩阵元为零)这些矩阵元有时称Wigner函数。由 形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1)
4、维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对角化形式，且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式，即 D(R)= ,六、转动算符表示的一般性质,1. 由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群 a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-角），c)乘积 也是成员，其中乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。2. 幺正性： 3. 是|jm经R转动后在|jm态中找到的几率振幅:,七、 Euler转动的转动算符矩阵表示,对用Euler角表征的转动，有可见只要求出则可得到例如对j=1/2,对j=1，d(1)是3x3矩阵.利用Jy=(J+-J-)/2i及J的矩阵元可知：可以验证：
5、利用级数展开，可知从而得到类似方法可给出d(j1)()，只是过程比较复杂。简便获得d(j)的方法将在下次课介绍。,3.6 轨道角动量,经典物理中，粒子的轨道角动量为L=xp。量子化后，根据位置与动量的对易关系，容易验证L满足角动量的基本对易关系:即轨道角动量是一类角动量。其实，不考虑内禀（自旋）角动量时，粒子的角动量J即与轨道角动量L=xp相同。此外，将 作用于|xyz，有正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元，则L是转动的生成元。,一、坐标空间中的轨道角动量,对无自旋粒子的任意态|，其波函数为。绕z轴转无穷小角后，其波函数为用球坐标：即 或在坐标空间 与直接用Lz=xpy-ypx
6、结果相同；利用球坐标推导更容易看出Lz作为转动生成元的作用。,由利用球坐标可得类似可得再由 ，得方括号中微分算符与拉普拉斯算符在球坐标表示的角度部分仅差一因子1/r2(即轨道角动量与转动部分的动能相联系),二、球谐函数,无自旋粒子受球对称势作用,波动方程在球坐标下可分离变量,能量本征函数可写为n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz的本征态， L2的本征值为 ，Lz的本征值为角度部分对所有球对称问题都是共同的，应单独考虑: 是方向本征态矢。由此可称 是在由确定的方向找到由l,m标记的态的几率振幅。,三、球谐函数的求解,由轨道角动量本征矢的相关关系，可写出对应的关于球谐函数的关系。如 故 依赖于的部分为exp(im) (波函数单值:m必为整数)又由知归一化条件：,此外，可得 ：部分为 *(cos的l-|m|阶多项式）规定：l必须为整数: 是波函数单值、非奇异、Ylm构成完备集等基本性质的要求,(m0),作业,3.15、3.18、3.20,