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1、重庆永动机与高考中的理想边界电场问题重庆永动机与高考中的理想边界电场问题 在各省高考物理卷和各地物理模拟试卷、各种应试物理资料中，我们常常看到各种有着理想边界的电场在边界以内存在着电场，边界以外就没有了，粒子在边界内受到电场力，出了边界就不再受到电场力。这种题目实际上都存在严重的科学性问题违背了基本的科学理论或科学事实，甚至制造出了永动机而不自知。对于电场命题，我们需要谨慎面对边界问题。下面笔者先以一个较为突出的重庆高考题展开分析，然后讨论有界电场的产生和理想边界电场的普遍问题。 一、重庆永动机与平行板边缘效应问题一、重庆永动机与平行板边缘效应问题 从 2011 年江苏高考将平行板永动机引入高
2、考以来，全国各地的平行板永动机如雨后春笋般占据了高中生的练习册，更有甚者，2015 年 6 月，重庆市又将平行板永动机摆在了全市考生面前，让人不得不惊叹命题人非凡的魄力和审题人知识的残缺。 下面我们先欣赏一下重庆平行板永动机重庆 2015 年高考压轴题。 【例例 1】 （2015 年理综重庆卷）年理综重庆卷）题图为某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场。其中 MN 和 M N是间距为 h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔 O和 O，O N= ON=d，P 为靶点，O P=kd（k 为大于 1 的整数）.极板间极板间存在方向向上的匀强电场，两极板存在
3、方向向上的匀强电场，两极板间电压为间电压为 U. 质量为 m、带电量为 q的正离子从O点由静止开始加速，经O 进入磁场区域。当离子打到极板上 O N区域（含 N 点）或外壳上时将会被吸收。两虚线之间的区域两虚线之间的区域无电场和磁场存在无电场和磁场存在， 离子可匀速穿过。离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。求： （1）离子经过电场仅加速一次后能打到 P 点所需的磁感应强度大小； （2）能使离子打到 P 点的磁感应强度的所有可能值； （3）打到 P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。 本题的命题人继承了 2011 年江苏高考命题人的思路，认为除了电容器两板之间
4、有电场外，其他地方的电场被理想屏蔽了，于是，粒子从两板间电场加速出来后，就只受磁场力而作圆周运动，当粒子再次回到两板间时，粒子被不变的电场再次加速其轨迹如右图所示。 其实，稍有心思的学生都会发现这题是彻头彻尾的错题静电场中各点电势是确定的，静电力做功与路径无关，因此，粒子从静电场中某点出发，回到该点时，粒子电势能不变，即静电力做功为零，洛伦兹力不做功，根据能量守恒可知，粒子动能恢复到原来的值粒子不可能被加速。这是静电场的基本性质决定的。 可是， 按本题命题人思路， 粒子似乎又的确可以连续不断的被加速那么， 是静电场的基本性质错了， 还是题目所述情景出了什么问题？其实， 本题问题出在 “除了电容
5、器两板之间有电场外，其他地方的电场被理想屏蔽了”这个假定违背了基本的科学理论和科学事实电容器的电场分布并不仅仅只在两板之间的区域，还在边缘以外的部分存在分布，没有 D 形金属盒时，其电场线实际分布图如右图所示，有 D 形金属盒时， 两虚线上也就是金属盒边缘是有感应电荷的， 也就会在两虚线间形成反向电场。 这样，粒子在两板外的区域运动时，实际上静电力在对粒子做负功，如果粒子真能在磁场作用下回到两极板间原位置， 那么，根据静电场的基本性质可知， 两板间的电场与两板外的电场对粒子做的总功必定为零。 如果真按重庆高考题设想的那样， “除了电容器两板之间有电场外，其他地方的电场被理想屏蔽了” ，那么，我
6、们就可以制造一台永动机了粒子回到原位置，电势能不变，动能却在不断增加！ 当然，有重庆人不服气，说两板可以设想是接在电源两端的，因此可以认为电源源源不断的消耗电能供给电场，进而转化为粒子的动能。这其实是不懂得，电源不过是完成对电容器的充电任务后，就可以撤掉的，只要想办法不漏电即可我们可以理想化的设想，电容器两块极板是绝缘不漏电材料制成，一开始通过摩擦或者其他办法让两板内表面带上了等量异种电荷之后，就不再干预它，电荷被固定在了极板内表面，因而可以在空间形成恒定的静电场。 当然，有重庆人还是不服气，进一步提出设想，极板是导体材料制成的，充电结束后还保持与电源的连接，当粒子在运动的过程中，极板上的电荷
7、与粒子相互作用，实际上发生了微小的位置变动，电源就强dkdPMhONM ON迫极板上的电荷恢复到原来的位置，这样一个动态的过程中，电源就不断的把能量转移给电容器，电容器间的电场再持续不断的把能量转移到粒子上。这个设想似乎不错，然而，这实际上还是不懂得，没有电源的强制，粒子离开两板间后（按题意，不考虑粒子出极板后与极板电荷的作用） ，极板上的电荷也会由于异种电荷的吸引而自动回位，如果说电源有作用，那也不过是强制极板上的电荷不动，进而形成恒定的静电场。 基于上述分析，有重庆人又提出另外一个问题，一群粒子处在下极板附近，然后释放，这些粒子被静电场源源不断的加速而射出极板，那么，这些粒子动能哪里来的？
8、他认为，这就是粒子运动过程中，使极板上的电荷发生了微小的位置变动，电源又强制极板上的电荷回归原位，从而把能量源源不断的从电源转移到粒子上，使得粒子动能增加。这实际上是不懂得，粒子一开始就被放置在了下极板附近，粒子都具有了下极板附近位置处的电势能啊， 正是粒子的电势能转化为了粒子的动能！问题又来了， 粒子哪里来的电势能？这个问题，如同问右图所示桌上这堆小球的处在高处，它们的重力势能哪里来的一样很显然， 小球们 （假定原来在地面上）预先就被外力做功举高到了桌面上，粒子如果原来就在电容器中，电容器被电源充电的过程，就是给电容器及其中粒子充能的过程，一旦充电结束，粒子本身就具有了对应位置处的势能了。
9、从上述辨析我们可以看出，电容器的电场，并不是仅仅局限在两板之间，而是在外部空间也有分布，而且对绕圈回来的粒子有着不可忽略的作用。理想边界电场的梦想，在电容器这里不成立。 下面是始作俑者2011 年江苏卷。 【例 2】 （2011 年江苏卷年江苏卷）某种加速器的理想模型如图 1 所示：两块相距很近的平行小极板中间各开有一小孔 a、b，两极板间电压 uab的变化图象如图 2 所示，电压的最大值为 U0、周期为 T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场。若将一质量为 m0、电荷量为 q 的带正电的粒子从板内 a 孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运动时间 T0后恰能再次从 a 孔进入电场加
10、速。现该粒子的质量增加了。01100m(粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力) 若在 t=0 时刻将该粒子从板内 a 孔处静止释放，求其第二次加速后从 b 孔射出时的动能； 现要利用一根长为 L 的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响） ，使图 1 中实线轨迹（圆心为 O）上运动的粒子从 a 孔正下方相距 L 处的 c 孔水平射出，请在答题卡图上的相应位置处画出磁屏蔽管； 若将电压 uab的频率提高为原来的 2 倍，该粒子应何时由板内 a 孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？ OuabU0-U0
11、T02T03T0t图 2LL磁屏蔽管图 1abc 江苏高考题看似加的是一个变化的电场，与回旋加速器类似，但实际上，两者有着本质区别，回旋加速器粒子是在两狭缝之间加速的，粒子没有跑出作为极板的 D 形盒；而江苏高考题，粒子却跑出了极板所在区域，那么，电容器的边缘效应就必须考虑了，也就是电容器外部的电场对粒子的作用不可忽略了。 下面是继之而来的 2014 年天津卷。 【例例3】 （2014年理综天津卷）年理综天津卷）同步加速器在粒子物理研究中有重要的应用，其基本原理简化为如图所示的模型 M、N 为两块中心开有小孔的平行金属板 质量为 m、 电荷量为+q 的粒子 A（不计重力） 从 M 板小孔飘入板
12、间，初速度可视为零每当每当 A 进入板间，进入板间，两板的电势差变为两板的电势差变为 U，粒子得到加速，粒子得到加速，当当 A 离离开开 N 板时板时，两板的电荷量均立即变为零两板的电荷量均立即变为零两板外部存在垂直纸面向里的匀强磁场，A 在磁场MNvqR作用下做半径为 R 的圆周运动， R 远大于板间距离 A 经电场多次加速， 动能不断增大， 为使 R 保持不变， 磁场必须相应地变化不计粒子加速时间及其做圆周运动产生的电磁辐射，不考虑磁场变化对粒子速度的影响及相对论效应求 （1）A 运动第 1 周时磁场的磁感应强度 B1的大小； （2）在 A 运动第 n 周的时间内电场力做功的平均功率； n
13、P（3）若有一个质量也为 m、电荷量为+kq（k 为大于 1 的整数）的粒子 B（不计重力）与 A 同时从 M板小孔飘入板间，A、B 初速度均可视为零，不计两者间的相互作用，除此之外，其他条件均不变下图中虚线、实线分别表示 A、B 的运动轨迹在 B 的轨迹半径远大于板间距离的前提下，请指出哪个图能定性地反映 A、B 的运动轨迹，并经推导说明理由 显然，天津高考题回避了江苏高考题和重庆高考题的问题粒子出极板后，电场消失，当然就不存在电容器外部电场的影响了。不过，江苏高考题、天津高考题引入了变化的电场，这其实会在整个空间产生磁场，甚至电磁辐射，这对粒子的运动也会构成影响。命题人更没有注意到这个问题
14、了。 那么，人教版高中物理 选修 3-1第一章“静电场”第九节“示波管的原理”如何理解呢？稍微仔细一点儿会发现，课本上并没有设计电子出了平行金属板后的运动轨迹计算问题， “思考与讨论”里面也只进行了定性讨论，并没有定量化。倒是人教版高中物理 选修 3-5第三章“原子结构”第一节课后习题第 4 题设计了这样一个问题：电子离开平行金属板后做匀速直线运动。这么看，教材习题编写也存在不完美之处。不过，只要粒子不转回去，问题就显得没有那么严重，重庆高考题让粒子转回极板间去了！ 【例例 4】 （人教版高中物理（人教版高中物理 选修选修 3-5第三章第三章“原子结构原子结构”第一节课后习题第第一节课后习题第
15、 4 题）题）一种测定电子比荷的实验装置如图所示真空玻璃管内，阴极 K 发出的电子经阳极 A 与阴极 K 之间的高压加速后，形成一细束电子流，以平行于平板电容器极板的速度进入两极板 C、D 间的区域，若两极板 C、D 间无电压，电子将打在荧光屏上的 O 点，若在两极板间施加电压 U，则离开极板区域的电子将打在荧光屏上的 P 点；若再在极板间施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场，则电子在荧光屏上产生的光点又回到 O已知极板的长度 l=5.00cmC、D 间的距离d=1.50cm， 极板区的中点 M 到荧光屏中点 O 的距离为 L=12.50cm，U=200V，B=6.310-
16、4TP 点到 O 点的距离 y=3.0cm，试求电子的比荷 二、有界电场与理想边界电场问题二、有界电场与理想边界电场问题 任何一个电荷都会在在周围空间激发电场，电场从电荷向四周可以延伸到无穷远；当空间同时存在多个电荷，则周围空间的电场为各个电荷单独存在时的电场的叠加（电场强度矢量叠加，电势标量叠加） ；对于带电体，可以将其微分成一些小块，从而按空间同时存在多个电荷的情况来处理。如果在静电场中放置实心导体，在静电力的作用下，导体中的自由电荷迅速定向移动并达到静电平衡，此时导体内部的合电场强度为零，电势处处相等。 有时候，我们并不对带电粒子在整个电场中的运动感兴趣，而只对带电粒子在某一指定区域内的
17、运动感兴趣，这时，把电场中的该区域划定出边界而隔离出来（当然不是把这个区域原封不动的拿走，也拿不走，而是只关注这个区域而已） ，只研究粒子在该区域的运动这就是带电粒子在有界电场中的运动问题。类似的，带电粒子在有界磁场中的运动，也是如此处理。 高中很多资料和试卷上的题目有这样的设计：在指定区域内有电场，而指定区域外，却没有电场也就是认为存在着有着理想边界的电场，并认为粒子出了该有界电场后，将不再受到该电场的力的作用。问题是，有这样的存在理想边界的电场吗？如果有这样的电场，会存在怎样的一些特异的性质呢？ 前面的重庆平行板永动机问题，就是一个典型的错题；下面我们再来看看另一个模型：如右图所示，水平面
18、 MN 以下区域存BACDMNO在着水平向右的匀强电场，MN 以上没有电场。将两个的带正电小球固定在一轻质细杆的两端，细杆可以绕其位于 MN 平面上方的垂直电场的水平转轴 O 自由转动。 现让其中一个小球处在电场中并由静止释放。明眼人一下子就可以看出来，我们利用这个理想边界电场制作出了一个永动机球杆系统将在静电场的作用下持续不断的加速转动下去，静电场却不发生任何变化！ 下面就是 2017 年全国卷的理想边界电场题，正好就是上述这个永动机电场： 【例例 5】 （2017 年全国年全国新课标卷新课标卷 2）如图，两水平面（虚线）之间的距离为 H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的
19、 A 点将质量为 m、电荷量分别为 q 和q（q0）的带电小球 M、N 先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。 小球在重力作用下进入电场区域， 并从该区域的下边界离开。已知 N 离开电场时的速度方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为 N 刚离开电场时动能的 1.5 倍。不计空气阻力，重力加速度大小为 g。求： （1）M 与 N 在电场中沿水平方向的位移之比； （2）A 点距电场上边界的高度； （3）该电场的电场强度大小。 类似的还有 2014 年全国大纲卷： 【例例 6】 （2014 年全国大纲卷理综年全国大纲卷理综第第 25 题题）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应
20、强度方向垂直于纸面(xy 平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿 x 轴负向。在 y 轴正半轴上某点以与 x 轴正向平行、大小为 v0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d， 0)点沿垂直于 x轴的方向进入电场。不计重力。若该粒子离开电场时速度方向与 y 轴负方向的夹角为 ，求： 电场强度大小与磁感应强度大小的比值； 该粒子在电场中运动的时间。 基于上述辨析，笔者认为，对于有界电场，理应如此定义：某电场中指定区域内的部分电场。如果要考查有界电场中带电粒子的运动，则不应该进一步要求处理粒子出了该电场区域后的运动情况，当然更不能认为出了该区域后粒子就不受电场力做匀速直线运动了。而所谓组合场问题某边界左侧是电场，右侧是磁场或另一场强的电场，更是不能命题！