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1、 第二次诊断理科数学答案 第 1 页（共 6 页） 2022年甘肃省第二次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. D 2. C 3.B 4. A 5.B 6.D 7. C 8. C 9.A 10.D 11.C 12.A 12.提示：设切点211( ,)4xA x，222(,)4xB x,则切线1l的方程为：2111()42xxyxx，切线2l的方程为：2222()42xxyxx，联立12l l ,方程解得交点1212(,)24xxx xP.又焦点为(0,1)F，故直线l方
2、程为：112yx， 代入24xy， 化简得2240 xx， 由此可得122xx，124x x ，所以(1,1)P，由两点距离公式得5PF .故选 A. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.15 14.16 15.4043 16. 16.提示：对于，易知当P为AC的中点时，此时11B PD的高最小，所以11B PD面积最小成立；对于，因为1BD 平面1ACB，且1B P 平面1B AC，所以11B PBD成立；对于，11cosB PD的取值范围是1 13 2，故不存在一点P，使得111cos4B PD=；对于，/ /AC平面11AC D，所以三棱锥11DPAC的
3、体积为定值成立.故选. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 17. (本题满分 12 分) 解： （1）因为ACB,CBA,BAC依次成等差数列，所以2ACBBACCBA ,又ACBBACCBA+ + = ，所以CBA3. 又2AB ，4BC ，则由余弦定理得2222cos12ACABBCAB BCCBA，所以2 3AC . 6分 （2）由圆内接四边形性质及CBA3，知ADC32. 第二次诊断理科数学答案 第 2 页（共 6 页） 在AD
4、C中，由余弦定理得 2222cosACADDCAD DCCDA2ADDCAD DC=(). 又因为2()4ADDCAD DC+（当且仅当ADDC时“=”成立） ， 所以223)124ADDCAC（，即4ADDC，则四边形ABCD周长最大值 10. 12 分 18. (本题满分 12 分) 解： （1）因为6113.56iixx，6119546iiyy， 62170)2iixx（，621)200 70iiyy（, 所以相关系数670067000.96700070200 702r ， 因为相关系数0.960.75r ，所以y与x具有线性相关关系，且正相关很强.6 分 （2）设y关于x的线性回归方程
5、为ybxa， 其中121()()()niiiniixx yybxx12212673420034382.8617.5niiiniix ynxyxnx， 954382.863.5386.01aybx， 所以y关于x的线性回归方程为382.86386.01yx. 把8x 代入得2677y（亿元）. 故据此预测 2022 年中国人工智能教育市场规模将达到约2677亿元. 12 分 19. (本题满分 12 分) （1）证明：因为PO为圆锥的高，所以POOB. 又OAOB，POOAO，所以OB 平面POA. 因为PA平面POA,所以OBPA. 因为OH 平面PAB,又PA平面PAB,所以OHPA，又因为
6、OHOBO，所以PA平面OHB,所以BHPA. 6 分 （2）如图，以O原点，OA为x轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，得(0,0,0)O，(2 3,0,0)A,( 3,3,0)B，(0,0,2)P，所以 ( 2 3,0,2)AP ，( 3,3,2)PB ,(0,0,2),( 3,3,0)OPOB . 设平面PAB的一个法向量为()111,x y z=n，则 第二次诊断理科数学答案 第 3 页（共 6 页） 111112 320,3320.APxzPBxyz= +=+= nn则可取( 3,1,3)n. 设平面POB的一个法向量为()222,xyz=m，则22220,330.OPzOBxy=+=
7、 mm则可取( 31, ),- 0m.所以331 13 013cos,13132 + =n mn mn m. 故所求二面角APBO的余弦值为1313. 12 分 20.(本题满分 12 分) 解： （1）设椭圆上下顶点分别为12(0, ),(0,)Bb Bb，左焦点为1(,0)Fc，则121B B F是等边三角形，所以222bcba=+=，则椭圆方程为222214xybb+=，将31,2M代入椭圆方程，可得2213144bb+=，解得1b =，所以椭圆方程为2214xy+=5 分 （2）设1122(,), (,)A x yB xy，则11(,)Rxy， 将直线()302yxm m=+代入椭圆方
8、程2214xy+=，得22310 xmxm+ =， 其判别式22234(1)40mmm = +，即22m ， 123xxm+= ，2121x xm= 方法一方法一要证MPMQ=，只需证直线MR与直线MB的斜率互为相反数，即证0MRMBkk+=， 12122112123333()(1)()(1)2222=11(1)(1)MRMByyyxyxkkxxxx+=+ 1221123333()(1)()(1)2222=(1)(1)xmxxmxxx+ 1 212123()3=0(1)(1)x xm xxxx+=+，所以MPMQ=. 12 分 方法二方法二设(0,),(0,)PQPyQy，要证MPMQ=，即证
9、3=22PQyy+. 直线MR的方程为11332(1)21yyxx+=，令0 x =，得1133212Pyyx+=+， 第二次诊断理科数学答案 第 4 页（共 6 页） 直线MB的方程为22332(1)21yyxx+=，令0 x =，得2233212Qyyx=.则12122112123333()(1)()(1)222211(11,)(333)PQyyyxyxyyxxxx+= = 即3=22PQyy+.所以MPMQ=. 12 分 21.(本题满分 12 分) 解：（1）( )f x的定义域(0,). 22221(1)(1)(1)( )1aaxaxaxaxfxxxxx . 当1a时，10a ，所以
10、(1)0 xa恒成立，所以( )f x在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增； 当1a时，分下面三种情况讨论： 当2a 时，22(1)( )0 xfxx恒成立，所以( )f x在(0,)单调递增； 当2a时，(1)1a，令( )0fx ，得01x,或(1)xa，所以( )f x在(0,1)和(1,)a 单调递增，在(1,1)a 单调递减； 当21a 时，(1)1a，令( )0fx ，得0(1)xa,或1x，所以( )f x在(0,1)a 和(1,)+单调递增，在(1,1)a 单调递减. 综上， 当2a时，( )f x在(0,1)和(1,)a 为增函数， 在(1,1)a 为减函数；2a 时，(
11、 )f x在(0,+)为增函数； 当21a 时，( )f x在(0,1)a 和(1,)+为增函数，在(1,1)a 为减函数；当1a时，( )f x在(0,1)为减函数，在(1,)为增函数. 6 分 （ 2 ） 当1a 时 ， 要 证 明2ln( )xxf xx11( )(0)exg xxx， 即 证2ln1exxxxx . 设( )(0)exxG xx，易知( )exxG x 在(0,1)为增函数，在(1,)+为减函数，所以max1( )(1)eG xG； 第二次诊断理科数学答案 第 5 页（共 6 页） 设2( )ln1F xxxx， 则( )ln21F xxx， 又函数( )yF x在(0
12、,+)为增函数，而12( )0eeF，2212()10eeF ，所以存在021 1(, )eex ，使得0()0F x，且有00ln12xx ，所以( )F x在0(0,)x为减函数，在0(,)x 为增函数. 所以min0( )()F xF x22200000000ln1( 21)11xxxxxxxx ， 设2( )1H xxx，显然在21 1(, )ee为减函数， 所以20001()( ),1eH xHxx即 2111ee，而2111ee1e， 所以2001xx1e， 即min0( )()F xF x1emax( )G x， 故当0 x时，( )( )F xG x恒成立，所以( )( )f
13、xg x成立. 12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22. (本题满分 10 分) 解解:（1）因为2 cos()104+ =，所以cossin10+ =， 将cos ,sinxy=代入可得1C的直角坐标方程为01=+ yx. 消去2cossinxy=中的参数得2C的普通方程为2214xy+=. 5分 （2）1C的参数方程为21222+2xtyt= = （t为参数） ，将曲线1C的参数方程代入2C的普通方程得2518 22
14、60tt+=，令1MAt=，2MBt=，由韦达定理121 218 25265ttt t+=， 则有121218 2| | |+|5MAMBtttt+=+=. 10 分 第二次诊断理科数学答案 第 6 页（共 6 页） 23. (本题满分 10 分) 证明： （1）a,b是正实数，mab=，222abn+=， 222abmnabababab+=（当且仅当ab=时“=”成立） 5 分 （2）a,b是正实数，222abmnab+=+， 要证mnab+， 只需证22mnab+（） （）， 即222222()22ababababab+， 即222()222ababab+， 即2248()()ab abab+， 而4224()8()()0abab abab+= 22()()mnab+， mnab+（当且仅当ab=时“=”成立）. 10 分