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1、 圆的对称性圆的对称性(1)(1) - -垂径定理垂径定理 想一想想一想1. 1.圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的你是用什么方法解决这个问题的? ?圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .其对称轴是任意一条过圆心的直线其对称轴是任意一条过圆心的直线. .如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?用用折叠的折叠的方法方法即可解决这个问题即可解决这个问题. .你能找到多少条对称轴你能找到多少条对称轴? ?O n圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB)
2、.On经过圆心的经过圆心的弦弦叫做叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用两个字母用两个字母).ADBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCD 相关概念相关概念如图如图,CD是是直径直径, AB弦弦, CDAB,垂足为垂足为M 。你能发现图中有哪些等量关系？你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由。请你说说它们相等的理由。OCDABMAM=BM，AC=BC，AD=BD 探求不断探求不断连接连接O
3、A,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.CDAB于于M证明：证明：已知：已知：CD是是 O的直径，的直径，AB是是 O的弦，的弦， 且且CDAB于于M，求证：求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD垂径定理垂径定理n定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的并且平分弦所的两条弧两条弧.OABCDMCDAB, CD是直径是直径, A
4、M=BM, AC = BC, AD = BD.条件条件一条直径一条直径垂直于弦垂直于弦直径平分弦直径平分弦平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧结论结论平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABcOEDCAB 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求 O的半径。的半径。E.ABO解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E21则则AEBE AB 84厘米厘米在在RtAOE中，中，OE=3厘米，根据勾股定理厘米，根据勾股定
5、理OA21 O的半径为的半径为5厘米。厘米。543OEAE2222 厘米厘米若若E为弦为弦AB上一动点，则上一动点，则OE取值范围是取值范围是_。如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中即图中 ，点，点o是是 的圆的圆 心心)，其，其中中CD=600m,E为为 上一点，且上一点，且OECD ，垂足为，垂足为F，EF=90m,求这段求这段弯路的半径。弯路的半径。CDE FOCDCDCD A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM1.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB为直径，为直径，则下列结论不正确的是（则下列结论不正确的是（ ）2.已知
6、已知 O的直径的直径AB=10，弦，弦CD AB，垂足为垂足为M，OM=3，则，则CD= .3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB为直径，为直径，若若CD=10，AM=1，则，则 O的半径是的半径是 . OCDABMC813CDAB,垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理nAB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.n你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同与同伴说说你的想法和理由伴说说你的想法和理由. 做一做做一做n过点过点M作直径作直径CD.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:CDn由由 C
7、D是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB CDAB,垂径定理的逆定理OCD CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC, AD=BD. AB平分平分弦（不是直径）的弦（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.被平分的这条被平分的这条弦弦不是直径不是直径M 判断：判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧的两条弧. （ ）平分弦的直径一定垂直于这条弦平分弦的直径一定垂直于这条弦. （ ）(3)弦的垂直平分线一定经过圆心弦的垂直平分线一定经过圆心. （ ）课堂小
8、结：课堂小结：1.请说出本节所学习的主要内容。请说出本节所学习的主要内容。2.还有什么疑惑请提出来还有什么疑惑请提出来 已知如图，在以已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点。两点。 求证：求证：AC=BD o oABCDE证明：过证明：过O作作OEAB于于E，解后指出解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出要作出“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。往往只需从圆心作弦的垂线段。则则 AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即
9、即AC=BDOABCD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么弧相等吗？为什么?EFMN挑战自我挑战自我 做一做做一做挑战自我挑战自我 画一画画一画n如图如图,M,M为为O O内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=6，CE=2，求弦求弦AB的长。的长。FEDOCAB挑战自我挑战自我 做一做做一做n反思小结：n布置作业：布置作业： 1、对垂径定理的理解、对垂径定理的理
10、解(1)证明定理的方法是典型的证明定理的方法是典型的“叠合法叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在点都集中在“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问注意把问题化为解直角三角形的问题题 3、思考题、思考题已知：在以已知：在以O点为圆心点为圆心的两个同心圆中。大的两个同心圆中。大圆的弦圆
11、的弦CD交小圆于交小圆于E、F，OE、OF的延长线的延长线交大圆于交大圆于AB。 求证：求证：。OCAEBDF AC=BD.1 3、思考题、思考题已知：在以已知：在以O点为圆心点为圆心的两个同心圆中。大的两个同心圆中。大圆的弦圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D. 求证：求证：ACDB。OACBDEn如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGHMN垂径定理的应用垂径定理的应用n在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示示.若油面宽若油面宽AB = 600
12、mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAOED 600垂径定理的应用垂径定理的应用n在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示面如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最大深，求油的最大深度度. BAO600 650DC赵州石拱桥赵州石拱桥n1.13001.1300多年前多年前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的的桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为37.4m,37.4m,拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, ,也
13、叫弓形高也叫弓形高) )为为7.2m,7.2m,求桥求桥拱的半径拱的半径( (精确到精确到0.1m).0.1m).赵州石拱桥赵州石拱桥解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾
14、股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2练习练习:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。10DCEOABr4r-4 .AOBECDF思考题思考题已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDFn圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .O例例
15、：如图，已知圆：如图，已知圆O的直径的直径AB与弦与弦CD相交于相交于G，AECD于于E，BFCD于于F，且圆，且圆O的半的半径为径为10，CD=16 ，求，求AE-BF的长。的长。GEFAOBCD船能过拱桥吗船能过拱桥吗n2 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗n解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所
16、在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥. n练习练习n已知：如图，已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径OA.DOABC