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1、 例1 若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数a的取值范围.1) 1(2131)(23xaaxxxf解：函数 的导数 )(xf. 1)(2aaxxxf 令 ，解得 0)( xf. 11axx或不合题意上是增函数在函数时即当,), 1 ()(,211xfaa,) 1 ,()(,211上为增函数在函数时即当xfaa.), 1(,)1, 1(为增函数在内为减函数在aa依题意应有 当. 0)(,), 6(, 0)(,)4 , 1 (xfxxfx时当时所以 解得 . 614 a. 75 a故a的取值范围是5，7. 例2 已知 在R上是减函数，求a的取值范围.13)(23
2、xxaxxf解：函数f(x)的导数： . 163)(2xaxxf（）当 （ ）时， f(x)是减函数. 0)( xfRx)(01632Rxxax012360aa且. 3 a所以，当 是减函数； )(,0)(,3Rxxfxfa知由时（II）当 时， =3a133)(23xxxxf,98)31(33x 由函数 在R上的单调性，可知3xy 当 时， ）是减函数； 3aRxxf)(（）当 时，在R上存在一个区间，其上有 3a, 0)( xf 所以，当 时，函数 不是减函数.3a)(Rxxf综上，所求a的取值范围是（ .3, 例3 如图，已知曲线C1：y=x3(x0)与曲线C2:y=2x3+3x(x0)
3、交于O，A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于B，D.（）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);（）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.OtxyDBAC1C2B解：（）由 得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.,3233xxyxy),33(21|21|01|21)(3ttBDBDSStfOBDABO即 ).10().(23)(3ttttf（） 令 解得 .2329)(2ttf0)( tf.33t 当 从而 在区间 上是增函数；,0)(,330tft时)(tf)33,0( 当 从而 在区间 上是减函数；,0)(,133tft时)(tf)1 ,33(
4、 所以当 时， 有最大值为 33t.33)33(f)(tf 例4 设函数 （a、b、c、dR）图象关于原点对称，且x=1时， 取极小值 （1）求a、b、c、d的值； （2）当 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； （3）若 时，求证： .dcxbxaxxf42)(23)(xf.32 1 , 1x 1 , 1,21xx34| )()(|21xfxf 例5 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知ABBC，OA/BC，且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km2）.