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1、5 5 对数函数对数函数5.1 5.1 对数函数的概念对数函数的概念1. 1. 掌握对数函数的概念。掌握对数函数的概念。2. 2. 知道对数函数与指数函数互为反函数，并知道对数函数与指数函数互为反函数，并且会求它们的反函数。且会求它们的反函数。学习目标问题导引 在在1 1正整数指数函数中，我们讨论了正整数指数函数中，我们讨论了细胞分细胞分裂问题，得到细胞分裂的个数裂问题，得到细胞分裂的个数y和分裂次数和分裂次数x的函数的函数关系式：关系式：y= 2x 在在3指数函数中，我们又把它推广到实数指指数函数中，我们又把它推广到实数指数函数，即把上面函数中的自变量数函数，即把上面函数中的自变量x的取值范
2、围扩的取值范围扩大到了全体实数。大到了全体实数。 现在，我们来研究相反的问题，要求一个这样现在，我们来研究相反的问题，要求一个这样的细胞经过多少次分裂，大约可以得到的细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞，万个细胞，或或10万个细胞万个细胞. 这样就需要得到分裂次数这样就需要得到分裂次数x和细胞个数和细胞个数y之间之间的函数关系。的函数关系。 某种细胞分裂次，得到的细胞的个某种细胞分裂次，得到的细胞的个数与的函数关系式是：数与的函数关系式是： y = 2y = 2x x 此时把此时把 x x、y y 互换，即由指数式化为互换，即由指数式化为对数式可以得到：对数式可以得到： x = logx
3、 = log2 2y y 这就是分裂次数这就是分裂次数x和细胞个数和细胞个数y之间的之间的函数关系。这时，函数关系。这时，y是自变量，是自变量，x是是y的函的函数。数。 那么对于一般的指数函数那么对于一般的指数函数 y = ay = ax x (a0,a 1)中的两个变量，能否把中的两个变量，能否把y y当作自变当作自变量量, ,使得使得 x x 是是 y y 的函数呢的函数呢? ? 我们知道，指数函数我们知道，指数函数 y = ay = ax x (a (a0,a 1) 0,a 1) 反映了反映了数集数集 R R 与数集与数集 y | y y | y 0 0 之间是一种一一对应关系。之间是一
4、种一一对应关系。 可见在这个关系式中可见在这个关系式中, , 对于任意的对于任意的 y y (0,+ (0,+) ) 都都有唯一确定的有唯一确定的 x x 值与之对应值与之对应, ,若把若把 y y 当作自变量当作自变量, ,则则 x x 就是就是 y y 的函数的函数. . 由由4 4可以知道，这个函数就是可以知道，这个函数就是 (a(a0,a 0,a 1) 1) 函数函数 (a(a0,a 10,a 1)叫做叫做对数函数对数函数. .这里这里a0,a 1，自变量，自变量y 0 习惯上，习惯上，自变量用自变量用x x表示，表示，y y表示函数，所以这个函表示函数，所以这个函数就写成数就写成 y
5、= logax (a0,a 1)log=axy分析理解分析理解log=axy 我们把函数我们把函数 y= logax (a0,a 1)叫作对数函数，其中，叫作对数函数，其中，x x是自变量，是自变量， 函函数的定义域是数的定义域是(0,+(0,+) )， a a 叫作对数函叫作对数函数的底数（通常简称为底）数的底数（通常简称为底）. . 对数函数的概念：对数函数的概念： 特别地， 我们把以10为底的对数函数y=lgx 称为常用对数函数。 把以无理数e为底的对数函数y=lnx 称为自然对数函数。 试判断下列函数是对数函数的是（试判断下列函数是对数函数的是（ ）A A、y=logy=log2 2(
6、3x-2) (3x-2) B B、y=logy=log(x-1)(x-1)x xC C、y=logy=log1/31/3x x2 2 D D、y=lnxy=lnxD D巩固新知例1计算：计算：（1 1）计算对数函数）计算对数函数y =logy =log2 2x x 对应于对应于x x取取1,2,41,2,4时的函数值；时的函数值；（2 2）计算常用对数函数）计算常用对数函数y =lgx y =lgx 对应于对应于x x取取1,10,100,0.11,10,100,0.1时的时的函数值函数值. .解：解：（1 1）当）当x=1x=1时，时，y=logy=log2 2x x=log=log2 21
7、 1=0,=0, 当当x=2x=2时，时，y=logy=log2 2x x=log=log2 22 2=1,=1, 当当x=4x=4时，时，y=logy=log2 2x x=log=log2 24 4=2=2, (2)(2)当当x=1x=1时，时，y=lgx=lg1=0,y=lgx=lg1=0, 当当x=10 x=10时，时，y=lgx=lg10=1,y=lgx=lg10=1, 当当x=100 x=100时，时，y=lgx=lg100=2,y=lgx=lg100=2, 当当x=0.11x=0.11时，时，y=lgx=lg0.1=-1y=lgx=lg0.1=-1例题讲解例题讲解: 指数函数指数函
8、数 和对数函数和对数函数 刻画的是同刻画的是同一对变量一对变量x, yx, y之间的函数关系，之间的函数关系， 所不同的是在指数函数所不同的是在指数函数 中，中，x x是自变量，是自变量，y y 是是 x x 的函数，其定义域是的函数，其定义域是R R， 值域是值域是 (0, +(0, +) )； 在对数函数在对数函数 中，中，y y是自变量，是自变量，x x 是是 y y 的函的函数，其定义域是数，其定义域是 (0, +(0, +) ) ，值域是，值域是R R。像这样的两个函数叫像这样的两个函数叫互为反函数互为反函数。 指数函数指数函数y=ay=ax x是对数函数是对数函数x=logx=lo
9、ga ay y的反函数，的反函数， 对数函数对数函数x=logx=loga ay y也是指数函数也是指数函数y=ay=ax x的反函数的反函数. . 指数函数指数函数 和对数函数和对数函数 有什么关系？有什么关系？xya=aylog x(a0,a1)=xya=yalogx xay axlog y=知识探究反函数定义反函数定义 指数函数指数函数 y=ay=ax x (a (a0,a 1) 0,a 1) 是对数函数是对数函数 y=logy=loga ax x (a (a0,a 1)0,a 1)的反函数。的反函数。 同时同时, ,对数函数对数函数 y=logy=loga ax x (a(a0,a 1
10、) 0,a 1) 也是也是指数函数指数函数 y = ay = ax x (a0,a 1) 的反函数。的反函数。通常情况下，通常情况下，x x表示自变量，表示自变量，y y表示函数表示函数, ,所以，对数所以，对数函数函数应该表示为应该表示为y=logax (a0,a 1) ，指数函数为y=ax (a0,a 1) 。互为反函数的两个函数的图像关于直线互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。对称。例题讲解例例2 2 写出下列对数函数的反函数：写出下列对数函数的反函数：（1 1）y=lgx (2)y=lgx (2)13logyx解解: : （1 1）对数函数）对数函数y=lgx,y=lgx,它
11、的底数是它的底数是1010，它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数 y=10y=10 x x(2)(2)对数函数对数函数 ，它的底数是，它的底数是 ，它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数 13logyx131( )3xy (2) (2) (1) y(1) y5 5x x 例例3 3： 求求下列函数的反函数下列函数的反函数5logyx23logyx23xy （ ）解解: :（1 1）指数函数）指数函数y y5 5x x 的的底数是底数是5 5，它的反函数就是对数函数它的反函数就是对数函数（2 2）指数函数）指数函数 ， 底数是底数是 ，它的反函数就是对数函数它的反函数就是对数函数23xy （ ）23 P91 P91 练习练习 1 1、2 2、3 3、4 4课堂练习l小结l1、对数函数定义l2、互为反函数l3、对数函数与指数函数的关系作业 ：练习44l一、对数函数的图象过点M（16，4），求此对数函数的解析式。 l二、 P97 习题3-5 1、2l解：设对数函数解析式为y=logax（a0，a1，x0）函数的图象过点M（16，4）loga16=4a4=16又a0a=2此对数函数的解析式为y=log2x