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1、第第29讲讲直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和O相交_(2)直线l和O相切_(3)直线l和O相离_dr 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 圆的切线圆的切线 切线的性质圆的切线_过切点的半径推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过_；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过_切线的判定(1)和圆有_公共点的直线是圆的切线(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的_，那么这条直线是圆的切线(3)经过半径的外端并且_这条半径的直线是圆
2、的切线常添辅助线连接圆心和切点垂直于垂直于 切点切点 圆心圆心 唯一唯一 半径半径 垂直于垂直于 考点考点3 3切线长及切线长定理切线长及切线长定理 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_，圆心和这一点的连线_两条切线的夹角基本图形如图所示，点P是O外一点，PA、PB切O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PAPB；(2)APOBPOOACOBC，AOPBOPCAPCBP相等相等 平分平分 考点考点4 4 三角形的内切圆三角形的内切圆 第第29讲讲 考点聚焦考
3、点聚焦三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心它是三角形_的交点，三角形的内心到三边的_相等三条角平分线三条角平分线 距离距离 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦第第29讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一直线和圆的位置关系的判定类型之一直线和圆的位置关系的判定 命题角度：命题角度：1. 定义法判定直线和圆的位置关系；定义法判定直线和圆的位置关系；2. d、r比较法判定直线和圆的位置关系比较法判定直线和圆的位置关系D 例例1 2012无锡无锡已知已知 O的半径为的半径为2，直线，直线l上有一点上有一点
4、P满足满足PO2，则直线，则直线l与与 O的位置关系是的位置关系是()A相切相切 B相离相离C相离或相切相离或相切 D相切或相交相切或相交第第29讲讲 归类示例归类示例 解析解析 分分OPOP垂直于直线垂直于直线l l，OPOP不垂于直线不垂于直线l l两种情况讨论两种情况讨论当当OP垂直于直线垂直于直线l时，即圆心时，即圆心O到直线到直线l的距离的距离d2r， O与与l相切；相切；当当OP不垂直于直线不垂直于直线l时，即圆心时，即圆心O到直线到直线l的距离的距离d2r， O与直线与直线l相交相交故直线故直线l与与 O的位置关系是相切或相交的位置关系是相切或相交第第29讲讲 归类示例归类示例
5、在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法题目的已知条件选择正确的方法 类型之二类型之二圆的切线的性质圆的切线的性质 命题角度：命题角度：1. 1. 已知圆的切线得出结论；已知圆的切线得出结论；2. 2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明 第第29讲讲 归类示例归类示例例例2 2 20122012湛江湛江 如图如图291，已
6、知点，已知点E在直角在直角ABC的斜边的斜边AB上，以上，以AE为直径的为直径的O与直角边与直角边BC相切于点相切于点D.(1)求证：求证：AD平分平分BAC；(2)若若BE2，BD4，求，求O的半径的半径图图29291 1第第29讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)先连接先连接ODOD，则，则ODBCODBC，且，且ACBCACBC，再由平，再由平行从而得证；行从而得证；(2)(2)设圆的半径为设圆的半径为R R，在，在RtRtBODBOD中利用勾股定理即可求出中利用勾股定理即可求出半径半径 解：解：(1)(1)证明：证明： 连接连接ODOD，BCBC与与OO相切于点相切于点D
7、D，ODBC.ODBC.又又CC9090，ODACODAC，ODAODADAC.DAC.而而ODODOAOA，ODAODAOADOAD，OADOADDACDAC，即即ADAD平分平分BAC.BAC.(2)(2)设圆的半径为设圆的半径为R R，在，在RtRtBODBOD中，中，BO2BO2 BD2 BD2 OD2OD2，BEBE2 2，BDBD4, (BE4, (BEOE)2OE)2 BD2 BD2 OD2OD2，即即(2(2R)2R)24242R2R2，解得，解得R R3 3，故故OO的半径为的半径为3.3.第第29讲讲 归类示例归类示例 “圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径
8、”，所以连接切点，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法的常用方法第第29讲讲 归类示例归类示例 类型之三类型之三 圆的切线的判定方法圆的切线的判定方法 例例3 3 20122012临沂临沂 如图如图292，点，点A、B、C分别是分别是O上的点，上的点，B60，AC3，CD是是O的直径，的直径，P是是CD延长线上的一点，且延长线上的一点，且APAC.(1)求证：求证：AP是是O的切线；的切线；(2)求求PD的长的长第第29讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条利用
9、圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；直线是圆的切线；2. 利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线判定这条直线是圆的切线图图29292 2第第29讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)首先连接首先连接OAOA，利用圆周角定理，即，利用圆周角定理，即可求得可求得AOCAOC的度数，利用等边对等角求得的度数，利用等边对等角求得PAOPAO9090，则可证得，则可证得APAP是是OO的切线；的切线；(2)(2)由由CDCD是是OO的直径，即可得的直径，即可得DACDAC9090，然后利，然后利用
10、三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PDPD的长的长 第第29讲讲 归类示例归类示例第第29讲讲 归类示例归类示例变式题变式题 20112011安顺安顺 已知：如图已知：如图29293 3，在，在ABCABC中，中，BCBCACAC，以，以BCBC为直径的为直径的O O与边与边ABAB相交于点相交于点D D，DEDEACAC，垂足为点，垂足为点E E. .(1)(1)求证：点求证：点D D是是ABAB的中点；的中点；(2)(2)判断判断DEDE与与O O的位置关系，并证明你的结论的位置关系，并证明你的结论图图29293 3第第29讲讲 归类示例归类
11、示例 解析解析 (1)连接连接CD，利用等腰三角形底边上的高也是底，利用等腰三角形底边上的高也是底边上中线证明边上中线证明 解：解：(1)证明：连接证明：连接CD，因为，因为BC为为 O的直的直径，径，则则CDAB.AC BC，AD BD，即，即点点D是是AB的中点的中点(2)DE是是 O的切线的切线 . 证明：连接证明：连接OD, 则则DO是是ABC的中位线，的中位线，DOAC.又又DEAC，DEDO，即，即DE是是 O的切线的切线 在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果证明一条直线是圆的切线，常常需要
12、作辅助线如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径等于半径第第29讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 切线长定理的运用切线长定理的运用 命题角度：命题角度：1. 利用切线长定理计算；利用切线长定理计算；2. 利用切线长定理证明利用切线长定理证明第第29讲讲 归类示例归类示例 例例4 4 20122012绵阳绵阳 如图如图29294 4，PAPA、
13、PBPB分别切分别切O O于于A A、B B两点，连接两点，连接POPO、ABAB相交于相交于D D，C C是是O O上一点，上一点，C C6060. .(1)(1)求求APBAPB的大小；的大小；(2)(2)若若POPO20 cm20 cm，求，求AOBAOB的面积的面积图图29294 4解析解析 (1)由切线的性质，即可得由切线的性质，即可得OAPA，OBPB，又由圆周角定理，求得，又由圆周角定理，求得AOB的度数，继的度数，继而求得而求得APB的大小；的大小；(2)由切线长定理，可求得由切线长定理，可求得APO的度数，继而求得的度数，继而求得AOP的度数，易得的度数，易得PO是是AB的垂
14、直平分线，然后利的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得用三角函数的性质，求得AD与与OD的长的长 第第29讲讲 归类示例归类示例第第29讲讲 归类示例归类示例(1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法切线的长相等，是解题的基本方法(2)利用利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连理，圆的半径相等紧密相连第第29讲讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 三角形的内切圆三角形的内切圆命题角度：命题角度：1. 三角形的内切圆的定义；三角形的内切圆的定义；2. 求三角形
15、的内切圆的半径求三角形的内切圆的半径第第29讲讲 归类示例归类示例 例例5 5 20122012玉林玉林 如图如图29295 5，RtRtABCABC的内切圆的内切圆O O与两直角边与两直角边ABAB，BCBC分别相切于点分别相切于点D D，E E，过劣弧，过劣弧DEDE( (不包括不包括端点端点D D，E E) )上任一点上任一点P P作作O O的切线的切线MNMN，与，与ABAB，BCBC分别交于分别交于点点M M，N N，若，若O O的半径为的半径为r r，则，则RtRtMBNMBN的周长为的周长为( () )图图29295 5C 第第29讲讲 归类示例归类示例 解析解析 连接连接ODO
16、D、OEOE，则，则ODBODBDBEDBEOEBOEB9090，推出四边形，推出四边形ODBEODBE是正方形，得出是正方形，得出BDBDBEBEODODOEOEr.r.根据切线长定理得出根据切线长定理得出MPMPDMDM，NPNPNE, NE, RtRtMBNMBN的周长为：的周长为：MBMBNBNBMNMNMBMBBNBNNENEDMDMBDBDBEBEr rr r2r2r，故选，故选C C. . 解三角形内切圆问题，主要是切线长定解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用解决此类问题，常转化到直角三理的运用解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决及三角函数等解决第第29讲讲 归类示例归类示例