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1、【教学目标教学目标】正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题运用它解决有关垂直问题 【知识梳理知识梳理】1斜线长定理斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；较长；垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短2重要公式重要公式如图，已知如图，已知OB 平面平面 于于B
2、，OA是平面是平面 的斜线，的斜线，A为斜为斜足，直线足，直线AC 平面平面 ，设，设 OAB= 1，又，又 CAB= 2， OAC= 那么那么cos =cos 1 cos 2CDABO【知识梳理知识梳理】3直线和平面所成的角直线和平面所成的角平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角或斜线和平面的夹角)如果直如果直
3、线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是所成的角是0 的角的角【知识梳理知识梳理】 4三垂线定理和三垂线定理的逆定理三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称名称语言表述语言表述字母表示字母表示应应 用用三垂三垂线定线定 理理在平面内的一条在平面内的一条直线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线的射影垂直线的射影垂直,那么它也和这条那么它也和这条斜线垂直斜线垂直.证两直线垂证两直线垂直直作点线距作点线距作二面角作二面角 的平面
4、角的平面角三垂三垂线定线定理的理的逆定逆定理理在平面内的一条在平面内的一条直线直线,如果和这如果和这个平面的一条斜个平面的一条斜线垂直线垂直,那么它那么它也和这条斜线的也和这条斜线的射影垂直射影垂直.同同 上上POaAOaaPAAOaPOaaPA【知识梳理知识梳理】 重要提示重要提示三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂角在应用这
5、两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键一个平面四条线，线面垂直是关键”【点击双基】【点击双基】 1下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是( )(A)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行(B)平行于同一平面的两条直线平行平行于同一平面的两条直线平行(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线(D)a、b在平面外，若在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直在平面内的射影是两条相交直线，则线，则a、b也是相交直线也是相交直线2直线直线a、b在平面在平面 内的射影分别为直线内的
6、射影分别为直线a1、b1，下列，下列命题正确的是命题正确的是( )(A)若若a1 b1，则，则a b(B)若若a b，则，则a1 b1(C)若若a1 b1，则，则a与与b不垂直不垂直(D)若若a b，则，则a1与与b1不垂不垂直直【点击双基】【点击双基】 3直线直线a、b在平面外，若在平面外，若a、b在平面内的射影是一个在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则点和不过此点的一条直线，则a与与b是是( )(A)异面直线异面直线 (B)相交直线相交直线(C)异面直线或相交直线异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线异面直线或平行直线4P是是ABC所在平面外一点，若所在平面外一点，若P点到
7、点到ABC各顶点各顶点的距离都相等，则的距离都相等，则P点在平面点在平面ABC内的射影是内的射影是ABC的的( )(A)外心外心 (B)内心内心 (C)重心重心 (D)垂心垂心5P是是ABC所在平面外一点，若所在平面外一点，若P点到点到ABC各边的各边的距离都相等，且距离都相等，且P点在平面点在平面ABC内的射影在内的射影在ABC的内的内部，则射影是部，则射影是ABC的的 ( )(A)外心外心 (B)内心内心 (C)重心重心 (D)垂心垂心【点击双基】【点击双基】 6P是是ABC所在平面外一点，连结所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若，若PA BC，PB AC，则，则P点在平面点在平面AB
8、C内的射影是内的射影是ABC的的( )(A)外心外心 (B)内心内心 (C)重心重心 (D)垂心垂心7从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为的角为 这两条斜线段在平面内的射影成的角为这两条斜线段在平面内的射影成的角为 (90 180 )，那么，那么 与与 的关系是的关系是( )(A) (C) (D) 8已知直线已知直线l1与平面与平面 成成30 角，直线角，直线l2与与l1成成60 角，则角，则l2与平面与平面 所成角的取值范围是所成角的取值范围是( )(A)0 ,60 (B)60 ,90 (C)30 ,90 (D)0 ,90 【典例剖析
9、【典例剖析】 例例1如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直棱也互相垂直已知：四面体已知：四面体ABCD中，中，AB CD，AD BC；求证：求证：AC BD；DCOBAabC【典例剖析【典例剖析】 例例2如图，在三棱锥如图，在三棱锥P ABC中，中， ACB=90 ， ABC=60 ，PC 平面平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分分别是别是PA、PB的中点，设的中点，设MNC所在平面与所在平面与ABC所所在平面交于直线在平面交于直线l (1)判断判断l与与MN的位置关系，并进的位置关系，并进行证明；行证明； (2)求点求点M到直线到
10、直线l的距离的距离28APBDMNQl【典例剖析【典例剖析】 例例3.如图，如图，P 是是ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且PA平面平面ABC。若。若O和和Q分别是分别是ABC和和PBC的垂心，的垂心，试证：试证：OQ平面平面PBC。 【典例剖析【典例剖析】 例例4.如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面中，底面ABC是直是直角三角形，角三角形，ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，截面，截面ABC1与截面与截面A1B1C交交于于DE。（1）A1B1平面平面BB1C1C；（；（2）求证：）求证：A1CBC1；（3）求证
11、：）求证：DE平面平面BB1C1C。【典例剖析【典例剖析】 例例5如图如图P是是 ABC所在平面外一点，所在平面外一点，PAPB，CB 平面平面PAB，M是是PC的中点，的中点，N是是AB上的点，上的点，AN3NB（1）求证：）求证：MN AB；（；（2）当）当 APB90 ，AB2BC4时，求时，求MN的长。的长。（1）证明：取的中点，连结，）证明：取的中点，连结，是的中点，是的中点， N M P C B A【知识方法总结知识方法总结】 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足垂足”，如果如果“垂足垂足”，定了，那么，定了，那么“垂足垂足”和和“斜足斜足”的连的连线就是斜线在平面上的射影。线就是斜线在平面上的射影。