《高中数学数列基础知识点总结(精华).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学数列基础知识点总结(精华).pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、0 考纲要求：? 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；? 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；? 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。? 数列的概念1数列的概念： 数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下， 数列是定义域为正整数N*或其子集 1 ，2， 3， n 的函数 f(n) 数列的一般形式为a1， a2， ，an，简记为 an， 其中 an是数列 an的第项2数列的通项公式一个数列 an的与之间的函数关系，
2、如果可用一个公式anf(n) 来表示， 我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式3在数列 an 中，前 n 项和 Sn与通项 an的关系为：4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差( 公比 )确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例 1.根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式 312，534，758，9716； 1
3、 ，2， 6，13， 23，36，； 1 ，1， 2，2，3，3，解： an( 1)n) 12)(12(12nnn an) 673(212nn（提示： a2a11，a3a24，a4 a37，a5a410， anan11 3(n2)=3n 5各式相加得 将 1，1，2，2，3，3，变形为,213,202,2114)1(1222)1(111nnnnna变式训练1. 某数列 an 的前四项为0，2， 0，2，则以下各式： an221 ( 1)n ann)( 11 an)(0)(2为奇数为偶数nn其中可作为 an的通项公式的是（）AB典型例基础过精品资料精品学习资料第 1 页，共 15 页1 CD 解
4、：D 例 2.已知数列 an的前 n 项和 Sn，求通项 Sn3n2 Snn23n1 解 anSnSn1 (n 2) a1S1解得： an) 1(1)2(321nnn an)2(22)1(5nnn变式训练2：已知数列 an的前 n 项的和 Sn满足关系式lg(Sn 1) n， (n N*) ，则数列 an 的通项公式为解：, 110101)1lg(nnnnnSSnS当 n1 时，a1S111；当 n2 时，anSnSn110n10n19 10n1故 an)2(109)1(111nnn例 3. 根据下面数列 an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an 11 (n2) a11，an1
5、13nna (n2) a11，an11nann (n2) 解： an2an11(an 1)2(an11)(n 2) ， a112故： a112n， an2n1an（ an an1）（ an1an2）（ a3a2）（ a2a1） a13n13n2 33 31) 13(21n(3) nnaann11an12111232211nnnnaaaaaaaaannnnnn变式训练3. 已知数列 an中， a11，an 122nnaa(n N*)，求该数列的通项公式解：方法一 ：由 an122nnaa得21111nnaa， na1 是以111a为首项，21为公差的等差数列na11(n1) 21, 即 an12
6、n方法二： 求出前 5 项，归纳猜想出an12n，然后用数学归纳证明例 4. 已知函数)(xf 2x 2x，数列 an满足)(log2naf 2n，求数列 an通项公式解：nafnanan222)(log2log2log2naann21得nnan12变式训练4. 知数列 an 的首项 a1 5前 n 项和为 Sn且 Sn12Snn5（n N*）(1) 证明数列 an1 是等比数列；精品资料精品学习资料第 2 页，共 15 页2 (2) 令 f (x)a1xa2x2 anxn，求函数f (x)在点 x1 处导数 f 1 (1) 解： (1) 由已知 Sn1 2Snn5， n 2 时， Sn2Sn
7、1n4，两式相减，得：Sn1Sn2(SnSn1) 1，即 an 12an 1 从而 an11 2(an1) 当 n 1 时， S22S115， a1a22a16, 又 a15， a211 111nnaa2，即 an1 是以 a116 为首项， 2 为公比的等比数列. (2) 由(1) 知 an32n1 )(xfa1xa2x2 anxn)( xfa12a2x nanxn1从而) 1 ( fa12a2 nan(3 2 1)2(3 221) n(3 2n1) 3(2 222 n2n) (1 2 n) 3n 2n1(2 2n) 2) 1(nn3(n 1) 2n12) 1(nn6 1根据数列的前几项，写
8、出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等. 2由 Sn求 an时，用公式anSnSn1要注意 n2 这个条件， a1应由 a1 S1来确定，最后看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1an f(n) ，nnaa1 f(n) ，an1panq，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）数列的概念与简单表示法三维目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与na的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。情感态度与价值观：通过本节课的
9、学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点理解递推公式与通项公式的关系1、 通项公式法如果数列na的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。如数列的通项公式为；? 的通项公式为；归纳小结精品资料精品学习资料第 3 页，共 15 页3 的通项公式为；2、 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例， 做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，
10、而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一： 自上而下：第 1 层钢管数为4；即： 141+3 第 2 层钢管数为5；即： 252+3 第 3 层钢管数为6；即： 363+3 第 4 层钢管数为7；即： 474+3 第 5 层钢管数为8；即： 585+3 第 6 层钢管数为9；即： 696+3 第 7 层钢管数为10；即： 7107+3 若用na表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3nan n7）运用每
11、一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。即41a；114512aa；115623aa依此类推：11nnaa（2n7）对于上述所求关系，若知其第1 项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。定义：递推公式：如果已知数列na的第 1 项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数
12、列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5， 8，13， 21，34，55，89 递推公式为：)83(,5, 32121naaaaannn数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图精品资料精品学习资料第 4 页，共 15 页4 象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，用表示第项，依次写出成为4、列表法简记为 范例讲解 例 3 设数列na满足11111(1).nnaana写出这个数列的前五项。解：分析：题中已给出na的第 1 项即11a，递推公式：111nnaa解：据题意可知：3211,211,
13、123121aaaaa，58,3511534aaa 补充例题 例 4 已知21a，nnaa21写出前 5 项，并猜想na法一：21a22222a323222a，观察可得nna2法二：由nnaa2112nnaa即21nnaa112322112nnnnnnnaaaaaaaannnaa2211 补充练习 1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 1a0, 1nana(2n 1) (n N)；(2) 1a1, 1na22nnaa (n N)；(3) 1a3, 1na3na 2 (n N). 解： (1) 1a0, 2a1, 3a4, 4a9, 5a16, na(n 1)2
14、; (2) 1a1,2a32,3a4221, 4a52, 5a6231, na12n; 精品资料精品学习资料第 5 页，共 15 页5 (3) 1a31+203, 2a71+213, 3a19 1+223, 4a551+233, 5a1631+243, na1231n; .课时小结本节课学习了以下内容：1递推公式及其用法；2通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy， ，成等差数列2Axy前n项和11122nnaann nSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则m
15、npqaaaa ；（2）数列12212,nnnaaa仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，仍为等差数列，公差为dn2；（3）若三个成等差数列，可设为adaad， ，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为0 的二次函数）nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出na中的正、负分界项，即：当100ad，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值 . 当100ad，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值. (6) 项数为偶数n2的等差数列na，有ndSS奇偶，1n
16、naaSS偶奇. 精品资料精品学习资料第 6 页，共 15 页6 （7）项数为奇数12n的等差数列na，有)()12(12为中间项nnnaanS，naSS偶奇，1nnSS偶奇. 等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa（2）232nnnnnSSSSS，仍为等比数列, 公比为nq. 注意 ：由nS求na时应注意什么？1n时，11aS；2n时，1nnnaSS.求数列通项公式的常用方法（ 1）求差（
17、商）法如：数列na，12211125222nnaaan，求na解1n时，112 152a，114a2n时，1212111121 5222nnaaan得：122nna，12nna，114(1)2(2)nnnan练习数列na满足111543nnnSSaa，求na精品资料精品学习资料第 7 页，共 15 页7 注意到11nnnaSS，代入得14nnSS；又14S，nS是等比数列，4nnS2n时，113 4nnnnaSS（2）叠乘法如：数列na中，1131nnanaan，求na解321211 212 3nnaaanaaan ，11naan又13a，3nan. （3）等差型递推公式由110( )nnaa
18、f naa，求na，用迭加法2n时，21321(2)(3)( )nnaafaafaaf n 两边相加得1(2)(3)( )naafff n0(2)(3)( )naafff n练习数列na中，111132nnnaaan，求na答案 ：1312nna（4）等比型递推公式1nnacad（cd、为常数，010ccd，）可转化为等比数列，设111nnnnaxc axacacx令(1)cxd，1dxc，1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列1111nnddaaccc，1111nnddaaccc（5）倒数法如：11212nnnaaaa，求na精品资料精品学习资料第 8 页，共 15 页8 由已知得
19、：1211122nnnnaaaa，11112nnaa1na为等差数列，111a，公差为12，11111122nnna，21nan( 附：公 式 法 、 利 用1(2)1(1)nnSSnS nna、 累 加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等 比1nnapaq或1( )nnapaf n、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：na是公差为d的等差数列，求111nkkka a解： 由11111110kkkkkkdaaaaddaa111112231111111111
20、11nnkkkkkknna adaadaaaaaa练习求和：111112123123n（2）错位相减法若na为等差数列，nb为等比数列，求数列nna b（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为nb的公比 . 如：2311234nnSxxxnx23412341nnnx Sxxxxnxnx2111nnnx Sxxxnx1x时，2111nnnxnxSxx，1x时，11232nn nSn精品资料精品学习资料第 9 页，共 15 页9 （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121121nnnnnnSaaaaSaaaa相加12112nnnnSaaaaaa练习已知22
21、( )1xf xx，则由2222222111( )111111xxxf xfxxxxx原式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1 323422fffffff( 附：a. 用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列 an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b. 用公式法求数列的前n 项和对等差数列、等比数列，求前n 项和 Sn可直接用等差、等比
22、数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c. 用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d. 用错位相减法求数列的前n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中， an成等差数列，bn 成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。e. 用迭加法求数列的前n 项和迭加法主要应用于数列an 满足 an+1=an+f(n) ，其中f(n)是等差数列或等比
23、数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n) ，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出 Sn。f. 用分组求和法求数列的前n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g. 用构造法求数列的前n 项和精品资料精品学习资料第 10 页，共 15 页1 0所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n 项和。 ) 数列的综合应用高考要求(1) 理解数列的概念，了
24、解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳1. 通项与前n 项和的关系：)2( ,)1( ,11nSSnaaSnnnn2. 迭加累加法：1( ),(2)nnaaf nn若，)2(12faa则，)3(23faa，)(1nfaann3. 迭乘累乘法：)(1ngaann若，)2(12gaa则，)3(23gaa，)(1ngaann4. 裂项相消法：)11(1)(1CAnB
25、AnBCCAnBAnan5. 错位相减法：nnncba, nb是公差 d0 等差数列，nc是公比 q1 等比数列所以有13211)()1(nnnncbdccccbSq6. 通项分解法：nnncba7. 等差与等比的互变关系：8. 等比、等差数列和的形式：9. 无穷递缩等比数列的所有项和：题型讲解例 1 等差数列 an 的首项 a10, 前 n 项和为 Sn,若 Sm=Sk(mk), 问 n 为何值时， Sn最大？解：根据BnAnSBAnaannn2成等差数列，首项 a10, 若 m+k为偶数 , 则当 n=(m+k)/2时， Sn最大；精品资料精品学习资料第 11 页，共 15 页1 1若 m
26、+k为奇数，当n=(m+k1)/2或 n=(m+k+1)/2 时， Sn最大例 2 已知关于n 的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)32)1(log121aa对于一切大于1 的自然数n 都成立，求a 的取值范围解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式f(n)1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n) f(n+1) f(n) 1/(n+2)+1/(n+3)+ +1/(2n+2) 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n) 1/(2n+2) +1/(2n+1) 1/(n+1) 1/(2n+1) 1/(2n
27、+2) 0 f(n+1) f(n) 函数 f(n) 是增函数，故其最小值为f(2)=7/12, 7/1232)1(log121aa, 解得： 1aq且 q1, p1, 设 Cn=an+bn,Sn为数列 Cn 的前 n 项和，求1limnnnSS解：)1)(1() 1)(1() 1)(1() 1)(1(1111111nnnnnnqpbpqaqpbpqaSS,以下分两种情况讨论：(1) 当 p1时 , pq0, 0q/p1nnpq)(lim=0,nnp)1(lim=0, 两边同除以pn, 得：1limnnnSS=p; (2) 当 pqo, 0qp0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r?的取值
28、范围证明：根据)2( ,)1( ,11nSSnaaSnnnn得 an=a+(n1) 2b, an 是等差数列，首项为a, 公比为 2b 由 x=an=a+(n 1) 2b, y=Sn/n 1=a+(n 1)b 两式中消去n, 得： x 2y+a2=0, （另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r 1)2+r2r2; (r2)2+(r 1/2)2r2; (r3)2+(r 1)2r2 r的取值范围是(1,5/2 2) (0,1) (4+6,+ ) 例 7 已知数列an 满足条件a1=1,a2=r(r0),且 anan+1 是公比
29、为q (q0)的等比数列，设bn=a2n 1+a2n(n=1,2,3, ) 求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3 (n N) 成立的 q 的取值范围；求 bn和nnS1lim, 其中 Sn为数列 bn的前 n 项的和；设 r=21921,q=05, 求数列 nnbb212loglog的最大项和最小项的值精品资料精品学习资料第 13 页，共 15 页1 3解： rqn1+rqnrqn+1, q0 0q(1+5)/2; qaaaaaannnnnn2121nnnnnnnnnnaaqaqaaaaabb21221221222121=q0 bn是首项为1+r, 公比为 q 的等比数列
30、，从而bn=(1+r)qn1, 当 q=1 时， Sn=n(1+r), nnS1lim=0; 当 0q1 时，nnS1lim=0; nnbb212loglog=f(n)=nn2 .202 .19=1+1/(n 202), 当 n 21 时， f(n) 递减， f(n)f(21)1f(n)4; 当 n=21 时，nnbb212loglog有最大值225; 当 n=20 时，nnbb212loglog有最小值 4 例 8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24 分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭
31、最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5 倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2, xn, 由已知 x2x1=x3 x2=x4x3=xnxn 1, xn为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n), 1)(24121nxxxnx1+x2+ +xn=24n; 即 n(x1+xn)/2=24n x1+xn=48, 又 xn=5x1 , xn=40 即最后一个水龙头放水时间是40 分钟例 9 某林场原有森林木材量为a，木材以每年25% 的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r, 为使经过20 年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x
32、（取 lg2=0 . 3) 解：用归纳法求解，第一年存量： 1. 25ax; 第二年存量： 1. 25(1 . 25ax) x=a 1. 252x(1+1 . 25); 第三年存量： 1. 25 a 1. 252x(1+1 . 25) x=a 1. 253x(1+1 . 25+1. 252); 精品资料精品学习资料第 14 页，共 15 页1 4第 20 年末存量： a 1. 2520 x(1+1 . 25+1. 252+ +1. 2519)=a 1. 25204x(1 1. 2520) 依题意： a 1. 25204x(1 1. 2520)=4a, 又设 y=1. 2520lgy=20lg1
33、 . 25=20(1 3lg2)=2 y=100, 即 1. 2520=100 x=8a/33 答：每年的最大砍伐量为8a/33 例 10 某地区现有耕地面积10000 公顷，规划10 年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？( 精确到 1 公顷 ) 解法一：以粮食单产比现在提高22% 为目标建立数学模型，设现有的人口为A人，人均粮食占有量为b 吨，平均每年减少耕地x 公顷，由题意可知：xbA1010)1 .01()01.01 (410)22.01(104Ab解得：22.110) 1.01()01.01 (10
34、)22.01(101044x, 再用二项式定理进行计算可得：x 4 解法二：以10 年后人均粮食占有量比现在提高10% 为目标建立数学模型，粮食单产为a 吨/ 公顷，可得：104)01.01 ()1010)(22.01(Axa%)101(104Aax 4 ( 公顷 ) 例 10 某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6% ，并且每年新增汽车数量相同. 为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解： 设 2001 年末的汽车保有量为1a，以后每年末的汽车保有量依次为.,32aa，每年新增汽车x万辆由题意得)06.0(94.006.094.011xaxaxaannnn即精品资料精品学习资料第 15 页，共 15 页