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1、圆心角、弧、弦、弦心距间关系教案教学目标：1使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律教学重点和难点：重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系；难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系教学过程：一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形圆的这一性质， 帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性1动态演示，发现规律投影出示图，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转
2、 180 后问： ( 1) 结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合( 2) 这样的图形叫做什么图形？学生答：中心对称图形投影出示图 748，并动态显示：O绕圆心 O旋转 180 由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形投影继续演示如图7 49，让直径 AB两个端点 A，B绕圆心旋转 30 ，45 ，90 ，让学生观察发现什么结论？得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度 ，你发现什么？学生答：仍然与原来的图形重合于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性即圆绕圆心旋转任意一个角度 ，都能够与原来的图形重合2圆心角，弦心
3、距的概念我们在研究圆的旋转不变性时，O绕圆心 O旋转任意角度 后，出现一个角AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图750( 如有条件可电脑闪动显示图形) 学习资料精品学习资料第 1 页，共 5 页在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书顶点在圆心的角叫做圆心角再进一步观察，AB是 AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角 AOB也是 AB所对的弦请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么？学生答：过圆心O作弦 AB的垂线在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段 OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距 (
4、教师板书定义 ) 最后指出： 这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系( 引出课题 ) 二、大胆猜想，发现定理再画一圆心角A OB，如果 AOB=AOB ，(变化显示两角相等) 再作出它们所对的弦AB，AB和弦的弦心距OM，OM，请大家大胆猜想，其余三组量与，弦AB与AB ，弦心距OM与OM的大小关系如何？学生很容易猜出：AB=AB，OM=OM教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到=，怎样证明弧相等呢？让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么？学生：在同圆或等圆中，能够完全
5、重合的弧叫等弧请同学们想一想，你用什么方法让和重合呢？学生：旋转下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明把 AOB连同旋转，使OA与OA重合，电脑开始显示旋转过程教师边演示边提问我们发现射线OB与射线 OB也会重合，为什么？学生：因为AOB=AOB，所以射线 OB与射线 OB重合要证明与重合，关键在于点A与点A，点B与点B是否分别重合这两对点分别重合吗？学生：重合你能说明理由吗？学生：因为 OA=OA，OB=OB，所以点 A与点 A重合，点 B与点 B 重合当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢？学生：与重合，弦AB与AB重合， OM与 OM 重合为什么 OM也与 OM重合呢？学习资
6、料精品学习资料第 2 页，共 5 页学生：根据垂线的唯一性于是有结论：AB=A B ，OMOM以上证明运用了圆的旋转不变性得到结论后， 教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题教师板书定理定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等教师引导学生补全定理内容投影显示如图753， O与 O 为等圆， AOB=AOB， OM与O M分别为 AB与A B的弦心距，请学生回答与AB与 A B ，OM与 O M还相等吗？为什么？在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆 ( 投影显示叠合过程) 这样通过叠合，把等圆转化
7、成了同圆，教师把定理补充完整然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等请同学们思考， 在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗？如何证明？在学生讨论的基础上，简单地说明证明方法最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论请学生归纳，教师板书推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等三、例题解析例1已知：如图 24- 26，等边三角形 ABC的三个顶点都在O上求证： AOB=B
8、OC=COA=120证明：连接 OA，OB，OCAB=BC=CA， AOB=BOC=COA学习资料精品学习资料第 3 页，共 5 页=13360 =120 例2已知： 如图24- 27，点O是 A平分线上的一点，O分别交 A两边于点 C、D和点 E，F求证： CD=EF证明过点 O作OKCD、OK EF，垂足分别为K，KOK=OK( 角平分线性质) ，CD=EF例3如图 24- 28，AB，CD为 O的两条直径， CE为 O的弦，且 CEAB，为 40，求BOD的度数解连接 OECE为40， COE=40四、师生共同小结教师提问：( 1) 这节课学习了哪些具体内容？( 2) 本节的定理和推论是
9、用什么方法证明的？( 3) 应注意哪些问题？在学生回答的基础上，教师总结( 1) 这节课主要学习了两部分内容：一是证明了圆是中心对称图形得到圆的特性圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距之间的关系定理及推论这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、 角相等的重要依据(2) 本节通过观察猜想论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，学习资料精品学习资料第 4 页，共 5 页同时遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想( 3) 在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件学习资料精品学习资料第 5 页，共 5 页