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1、第三课时第三课时课题引入课题引入 立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题角问题是立体几何研究的重要问题. 空间的运算，特别是数量积涉及向量的模以及向量空间的运算，特别是数量积涉及向量的模以及向量之间的夹角之间的夹角.像前面说的那样，我们可以把点、直线、平像前面说的那样，我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算面
2、用向量表示，然后利用向量的运算(特别是数量积特别是数量积) 解解决点、直线、平面之间的夹角与长度等问题决点、直线、平面之间的夹角与长度等问题.课题引入课题引入（1 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题向量问题( (还常建立坐标系来辅助还常建立坐标系来辅助) )；（2 2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；以及它们之间距离和夹角等问题；（3 3）把
3、向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义. .（化为向量问题或向量的坐标问题）（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）类似用平面向量解决平面几何问题的类似用平面向量解决平面几何问题的“三步曲三步曲”，我们，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”：合作探究合作探究 例例1 1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A A为为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都
4、是6060, ,那么以这那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1分析：分析：由于平行六面体的棱之间具有平由于平行六面体的棱之间具有平行关系，所以以行关系，所以以A A为起点的三个向量可以为起点的三个向量可以将各棱用向量形式表示将各棱用向量形式表示. .根据题设，不妨根据题设，不妨设这三个向量的模都等于设这三个向量的模都等于1,1,为了求出对为了求出对角线角线ACAC1 1的长，可以将的长，可以将 用与棱有关的用与棱有关的向量表示出来向量表示出来. .1AC 例例1 1如图，一个结晶体的形状为平行六面
5、体，其中，以顶点如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A A为为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是6060, ,那么以这那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD解解:如图如图,设设11 ABAAAD，1160BAADAA BAD依据向量的加法法则依据向量的加法法则，11ACABADAA 化为向量问题化为向量问题2211()ACABADAA 2221112()ABADAAAB ADAB AAAD AA 1112(cos60cos60cos60 )6
6、 所以所以1|6AC 进行向量运算进行向量运算回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 ACAC1 1 的长是棱长的的长是棱长的 倍倍。6合作探究合作探究空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模的向量的模.向量向量 的模满足关系式的模满足关系式u22|uuuu 立体几何中有关距离的问题，经常用空间向量的数量立体几何中有关距离的问题，经常用空间向量的数量积解决积解决.思考？思考？若已知两点的坐标，如何求距离？若已知两点的坐标，如何求距离？合作探究合作探究思考思考1 1？本题中平行六面体的对角线本题中平行六面体的对角
7、线BDBD1 1的长与棱长有什么的长与棱长有什么关系？关系？A1B1C1D1ABCD11BDBABCBB 11 120 60ABCABBB BC 其其中中，易知对角线易知对角线BDBD1 1的长与棱长的关系的长与棱长的关系. .11BDADAAAB 合作探究合作探究思考思考2 2？如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , , 那么由这个平那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗行六面体的对角线的长可以确定棱长吗? ?A1B1C1D1ABCD 1111 DAABAABADxA
8、AADABaAC，设设11 ACABADAA 由由222211112()ACABADAAAB AD AB AAAD AA 222 32(3cos)axx 即即1 36cosxa 这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长. .合作探究合作探究思考思考3 3？本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? (? (提示：提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）距离）A1B1C1D1ABCD分析：分析：面面距离转化为点面距离来求面面距离转
9、化为点面距离来求. 11HACHAA：于点平面点作过解. 1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH22()112cos603 3ACABBCAC 1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC 1111cos3| |AAACA ACAAAC 36sin 1ACA36sin 111ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是6 .3如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离?合作探究合作探究思考？思考？如何用向量法求点到平面的距离如何用向量法求点到平面的距离? ?如图如图
10、AA , ,空间一点空间一点P P到平面到平面 的距离为的距离为d d, ,已知平面已知平面 的一个法向的一个法向量为量为 , ,且且 与与 不共线不共线, ,能否用能否用 与与 表示表示d?d?nnnAP AP n A P O 分析分析: :过过P P作作P POO 于于O,O,连结连结OAOA 这个结论说明这个结论说明, ,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点平面上的任一点( (常选择一个特殊点常选择一个特殊点) )的向量在平面的法向量的向量在平面的法向量上的投影的绝对值上的投影的绝对值. .合作探究合作探究补例补例1 1 如图，已知正方形
11、如图，已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的的中点，中点，GCGC平面平面ABCDABCD，且，且GCGC2 2，求点，求点B B到平面到平面EFGEFG的距离的距离. . DABCGFExyz分析分析: :用几何法做相当困难用几何法做相当困难, ,注意到坐注意到坐标系建立后各点坐标容易得出标系建立后各点坐标容易得出, ,又因又因为求点到平面的距离可以用法向量来为求点到平面的距离可以用法向量来计算计算, ,而法向量总是可以快速算出而法向量总是可以快速算出. . 果断地用坐标法处理！果断地用坐标法处理！合作探究合作探究补例补例1 1 如图
12、，已知正方形如图，已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的的中点，中点，GCGC平面平面ABCDABCD，且，且GCGC2 2，求点，求点B B到平面到平面EFGEFG的距离的距离. . DABCGFExyz(2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG |BE|2 11.11ndn 1 1(,1),3 3n B(2,0,0)E 设平面设平面EFGEFG的一个法向量为的一个法向量为( , , )nx y z nEF nEG ，2202420 xyxy 合作探究合作探究思考？思考？你能用上述方法再求一下思考你能用上述方法再求一下思考3 3吗
13、？吗？已知平行六面体已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1=AB=AD=1=AB=AD=1且且BAD=BAABAD=BAA1 1=DAA=DAA1 1=60=60, ,求点求点A A1 1到底面到底面ABCDABCD的距离的距离. .A1B1C1D1ABCDn 分析分析: :有现成的有现成的 , ,只要再找出平面只要再找出平面ABCDABCD的一个法向量即可的一个法向量即可! ! 1AA 注意到任一向都可以用基向量注意到任一向都可以用基向量 来表来表示示,可考虑用待定系数法找一个法向量可考虑用待定系数法找一个法向量.1、 AAAB
14、AD 合作探究合作探究zxyABCC1),4,2,2(),0, 1 , 1(1BAEC100n CEnAB 即即02240 xyxyz 取取x=1,zx=1,z则则y=-1,z=1,y=-1,z=1,所以所以)1 , 1, 1 ( n1|23.|3n CACEABdn 与与的的 距距 离离EA1B1补例补例2 2 已知直三棱柱已知直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的侧棱的侧棱AAAA1 1=4,=4,底面底面ABCABC中中,AC=BC=2, ,AC=BC=2, BCA=90BCA=90,E,E是是ABAB的中点的中点, ,求异面直线求异面直线CECE与与ABAB1 1
15、的距离的距离. .解：建立如图所示的直角坐标系解：建立如图所示的直角坐标系C-xyz,C-xyz,则则C(0,0,0),E(1,1,0),A(2,0,0),B(0,2,4)C(0,0,0),E(1,1,0),A(2,0,0),B(0,2,4)设设 的公垂线的方向向量为的公垂线的方向向量为 ，则，则1, ABCE),(zyxn AC,在两直线上各取点).0,0, 1 (,AC合作探究合作探究1.1.如图如图,ABCD,ABCD是矩形是矩形,PD,PD平面平面ABCD,PD=DC=a, ,MABCD,PD=DC=a, ,M、N N分别分别是是ADAD、PBPB的中点的中点, ,求点求点A A到平面
16、到平面MNCMNC的距离的距离. . 2ADa 深化提高深化提高DMPNAxCBz解：如图解：如图, ,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )2aa2aaa211(,)222Naaa022aan MNyz 2.2.如图，正方体如图，正方体ACAC1 1的棱长为的棱长为1 1，点，点M M是棱是棱AAAA1 1的中点，点的中点，点O O是是BDBD1 1的中点，求证：的中点，求证
17、：OMOM是异面直线是异面直线AAAA1 1与与BDBD1 1的公垂线，并求的公垂线，并求OMOM的长的长. .A D C B A1D1B1C1MO深化提高深化提高3.3.四面体四面体SABCSABC中，三角形中，三角形ABCABC是等腰三角形，是等腰三角形，AB=BC=2a,SA=3aAB=BC=2a,SA=3a，ABCABC为为1201200 0，SAABCSAABC，求点，求点A A到面到面SBCSBC的距离的距离SABCxyz深化提高深化提高4.4.已知正方形已知正方形ABCDABCD，边长为，边长为1 1，过，过D D作作PDPD平面平面ABCDABCD，且，且PD=1PD=1，E
18、E，F F分别是分别是ABAB，BCBC的中点的中点, ,（1 1）求直线）求直线ACAC到平面到平面PEFPEF的距离的距离（2 2）求）求D D到平面到平面PEF PEF 的距离的距离PDCBAEFXZY直线直线到与它平行到与它平行平面平面的距离转化为的距离转化为点点到到平面平面的距离的距离两个两个平行平行平面平面的距离转化为的距离转化为点点到到平面平面的距离的距离深化提高深化提高5. 5. 已知正四棱柱已知正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面边长为的底面边长为1 1，侧棱长为，侧棱长为2 2，点，点E E为棱为棱CCCC1 1的中点，求点的中点，
19、求点D D1 1到平面到平面BDEBDE的距离的距离. .A A1 1B B1 1C C1 1A AB BC CD D1 1D DE Ez zx xy y1|233|n DDdn 深化提高深化提高当堂检测当堂检测1.1.如图，如图，6060的二面角的棱上有的二面角的棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分别在这分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直个二面角的两个半平面内，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长的长. . BACD 2 17CD 答答: CD: CD的长为的长为 . .2 172.2.如图，已知两条异面
20、直线所成的角为如图，已知两条异面直线所成的角为，在直线，在直线a a、b b上分别上分别取取 ,E,E和和A,FA,F，使，使 且且 ( ( 称为异面直线称为异面直线a,ba,b的公的公垂线垂线) )，已知，已知 ，AF=nAF=n，EF=EF=l l，求公垂线，求公垂线 的长的长d.d.AaAA, bAAmEAAA AA AFAAEAEF解：解：)()(2AFAAEAAFAAEAEF.AFAFAAAFEAAFAFAAAAAAEAAAAFEAAAEAEAEA AFAAEAAA,)(,或AFEAAFEAAFAAEAl 222222222cosmdnmn 当当E,FE,F在公垂线同一侧时取负号，当
21、在公垂线同一侧时取负号，当d d等于等于0 0是即为是即为“余弦定理余弦定理”. . 2222cosdlmnmn 当堂检测当堂检测课堂小结课堂小结各种距离的求法：各种距离的求法：转化思想：转化思想：课后作业课后作业课本第课本第111111页习题页习题3.2A3.2A组第组第5 5、9 9题题课堂小结课堂小结平面的法向量的求法：平面的法向量的求法：设平面的法向量为设平面的法向量为( , , )nx y z 找出找出(求出求出)平面内的两个不共线的向量：平面内的两个不共线的向量：111222(,),(,)aa b cba b c 根据法向量的定义建立关于根据法向量的定义建立关于x,y,zx,y,z的方程组的方程组00n an b 解方程组解方程组,取其中的一个解取其中的一个解,即得法向量即得法向量.