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1、一一.全等三角形全等三角形：1 1：什么是全等三角形？一个三角形经过：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？哪些变化可以得到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。它的全等形。（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线
2、、）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。高线分别相等。 全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（可简写成可简写成“SSS”SSS”) )边角边边角边:两边两边和和它们的夹角对应相等两个三角形全等（它们的夹角对应相等两个三角形全等（可可简写成简写成“SAS”)角边角角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成可简写成“ASA”)角角边角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（等（可简写成可简写
3、成“AAS”)斜边斜边.直角边：直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成角形全等（可简写成“HL”)HL”)知识回顾：知识回顾：一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长分析：由于两个三角
4、形完全重合，故面积、周长相等。至于相等。至于D，因为，因为AD和和BC是对应边，因此是对应边，因此ADBC。C符合题意。符合题意。说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角错对应角 。例题精析：例题精析：C分析：已知分析：已知ABC A1B1C1 ，相当于已，相当于已知它们的对应边相等知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系要，选取其中一部分相等关系.例例2已知：如图已知：如图3，ABC A1B1C1，A
5、D、A1D1分别是分别是ABC和和A1B1C1的高的高.求证：求证：AD=A1D1图图3证明：证明：ABC A1B1C1（已知）（已知）AB=A1B1，B=B1（全等三角形的对应边、（全等三角形的对应边、对应角相等）对应角相等）AD、A1D1分别是分别是ABC、A1B1C1的高（已知）的高（已知）ADB=A1D1B1= 90. 在在ABC和和A1B1C1中中B=B1（已证）（已证）ADB=A1D1B1（已证）（已证）AB=A1B（已证）（已证）ABC A1B1C（AAS）AD=A1D1（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）说明：本题为例说明：本题为例2的一个延伸题目，关键是利用三
6、的一个延伸题目，关键是利用三角形全等的性质及判定找到相等关系角形全等的性质及判定找到相等关系.类似的题目还类似的题目还有角平分线相等、中线相等有角平分线相等、中线相等.方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边- 找第三边找第三边 (SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角 (HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角 (AAS)找一角找一角(
7、AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)练习说明：本题的解题关键是证明说明：本题的解题关键是证明 ，易，易错点是忽视证错点是忽视证OEOF，而直接将证得的，而直接将证得的AOBO作为证明作为证明 的条件的条件.另外注意格式书写另外注意格式书写.分析：分析：AB不是全等三角形的对应边，不是全等三角形的对应边，但它通过对应边转化为但它通过对应边转化为ABCD，而使，而使AB+CDADBC，可利用已知的，可利用已知的AD与与BC求得。求得。说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，
8、说明：解决本题的关键是利用三角形全等的性质，得到对应边相等。得到对应边相等。例例6：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。两个直角三角形全等。分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。已知：已知： 如图，在如图，在RtABC、Rt 中，中，ACB= =Rt，BC= ，CDAB于于D， 于于 ，CD= 求证：求证：RtABC Rt证明：在证明：在RtCDB和和Rt 中中 RtCDB Rt （HL）
9、由此得由此得B= 在在ABC与与 中中 ABC （ASA）说明：说明：文字证明题文字证明题的的书写格式要标准书写格式要标准。1.如图如图1：ABF CDE，B=30， BAE= DCF=20 .求求EFC的度数的度数.练习题：练习题：2 、如图、如图2，已知：，已知：AD平分平分BAC，AB=AC，连接，连接BD，CD，并延长相，并延长相交交AC、AB于于F、E点则图形中有点则图形中有（ ）对全等三角形）对全等三角形.A、2B、3C4D、5C图图1图图2503、如图、如图3，已知：，已知：ABC中，中，DF=FE，BD=CE，AFBC于于F，则此图中全等三角形共有（，则此图中全等三角形共有（
10、）A、5对对B、4对对C、3对对D2对对 4、如图、如图4，已知：在，已知：在ABC中，中，AD是是BC边上的高，边上的高，AD=BD，DE=DC，延长，延长BE交交AC于于F，求证：求证：BF是是ABC边边AC上的高上的高.提示：关键证明提示：关键证明ADC BDEB5、如图、如图5，已知：，已知：AB=CD，AD=CB，O为为AC任一点，过任一点，过O作直线作直线分别交分别交AB、CD的延长线于的延长线于F、E，求，求证：证：E=F.提示：由条件易证提示：由条件易证ABC CDA 从而得知从而得知BACDCA ，即：，即：ABCD.到角的两边的距离相等的点在角的平到角的两边的距离相等的点在
11、角的平分线上。分线上。 QDOA，QEOB，QDQE（已知）点Q在AOB的平分线上（到角的两边的距到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）离相等的点在角的平分线上）角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等）边的距离相等）二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分
12、线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, , PDAB于于D，PEBC于于EABCPMNDEFPD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距角平分线上的点到这个角的两边距离相等离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即即点点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F3.3.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相的平分线相交于点交于点F F，求证：点，求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上
13、证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM（角平分线上的点到这个角角平分线上的点到这个角的的两边距离相等）两边距离相等）.又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.FGFH（等量代换）点F在DAE的平分线上例题选析例题选析例例1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABE ACD的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=ACB例例2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对 D例例3:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=ABC例例4：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEH CEB。BE=EH