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1、峰口中心学校峰口中心学校 白崇福白崇福二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质的图像与性质y = ax2y = ax2 + k y = a(x - h )2y = a( x - h )2 + k上下平移上下平移左右平移左右平移上下平移上下平移左右平移左右平移结论结论: 一般地，抛物线一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与与y = ax2形状相同，位置不同形状相同，位置不同。各种形式的二次函数的关系各种形式的二次函数的关系 二次函数二次函数 yax2bx+c 的的图象和性质图象和性质 我们知道，像我们知道，像ya(x-h)2k这样的函数，容这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（易
2、确定相应抛物线的顶点为（h，k）,二次函数二次函数 y x26x21也能化成这样的形式吗？也能化成这样的形式吗？21配方得：配方得：y x26x2121 (x6)2321 由此可知，抛物线由此可知，抛物线 的顶点的顶点是点是点（6，3），对称轴是直线，对称轴是直线 x6.y x26x2121配方配方216212xxyy= (x6) +3212你知道是怎样配你知道是怎样配方的吗？方的吗？ (1)“提提”：提出二次项系数；：提出二次项系数；( 2 )“配配”：括号内配成完全平方；：括号内配成完全平方；（3）“化化”：化成顶点式。：化成顶点式。Oyx5105102015x6（6，3）（8，5）（4，
3、5）（0，21）（12，21）y (x6)2321y x26x2121怎样画二次函数怎样画二次函数yax2bxc（a0）的图象？的图象？怎样平移抛物线怎样平移抛物线y x2得到抛得到抛物线物线21y (x6)2321w配方配方: :cbxaxy2ccxabxa2提取二次项系数提取二次项系数acababxabxa22222配方配方:加上再加上再减去一次项系减去一次项系数绝对值一半数绝对值一半的平方的平方222442abacabxa整理整理:前三项化为平方形前三项化为平方形式式,后两项合并同类项后两项合并同类项.44222abacabxa化简化简:去掉中括号去掉中括号这个结果通常这个结果通常称为求
4、称为求顶点坐顶点坐标公式标公式.问题：如何把问题：如何把yax2bxc （a0）化成）化成ya(x-h)2k的形式？的形式？抛物线抛物线yax2bxc a(x )2 ab2abac442如果如果a0时，那么当时，那么当 ，y最小值最小值xab2abac442如果如果a0时，那么当时，那么当 ，y最大值最大值xab2abac442xab2对称轴：abacab44,22顶点坐标：二次二次函数函数y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(
5、a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0 B. 0 B. 0=0 D. 01xyo-17.7.若把抛物线若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移向右平移2 2个单位个单位, ,再向再向下平移下平移3 3个单位个单位, ,得抛物线得抛物线y=x2+bx+c, ,则（则（ ） A.bA.b=2 =2 c= 6 B.bB.b=-6 , c=6=-6 , c=6 C.bC.b=-8 =-8 c= 6 D.bD.b=-8 , c=18=-8 , c=18 B B-2ab4a4ac-b28.8.若一次函数若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四的图象经过第二、三、四象限，则二次
6、函数象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是的大致图象是 ( )( )9.9.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中, ,二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 与与一次函数一次函数y=ax+c的大致图象可能是的大致图象可能是 （ ）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC 的图像，利用函数图像回答：10. 画出2286yxx (1)x取什么值时，y0？(2)x取什么值时，y0？(3)x取什么值时，y0？(4)x取什么值时，y有最大值或最小值？（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）2286yxx 由图像知：由图像知：(1)
7、当当x1或或x3时，时， y0；(2)当当1x3时，时， y0；(3)当当x1或或x3时，时， y0；(4)当当x2时，时， y有最大值有最大值2。xy11. 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时
8、，y0，所以200407kk4022 1kba ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。224 1744044 1kkacba 12.已知二次函数已知二次函数y（x2a）2（a1）（）（a为常数），为常数），当当a取不同的值时，其图像构成一个取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系抛物线系”如图分别是当如图分别是当a1，a0，a1，a2时二次函数的图时二次函数的图象它们的顶点在
9、一条直线上，这条直线的解析式是象它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是121xy13. 已知抛物线已知抛物线 和和求证求证:不论不论m取何值取何值,抛物线抛物线y1的顶点总在的顶点总在y2抛物线上抛物线上;) 1(2)4(21mxmxy6422xxy（五）、学习回顾：抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2(a0)y=ax2+k(a0)y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2 +k(a0)y= ax2 +bx+c(a0)w1.相同点相同点: w(1)形状相同形状相同(图像都是抛物线图像都是抛物线,开口方向相同开口方向相同). w(2)都是轴对称图形都是轴对称图形. w(3)都有最
10、都有最(大或小大或小)值值.(4)a0时时, 开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时时,向右向右平移平移;当当 0时向上平移时向上平移;当当 0时时,向下平移向下平移)得到的得到的.小结 拓展回味无穷二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)与与=ax的关系的关系abacab44,22abx2直线ab2ab2ab2abac442abac442abac442abac442归纳归纳二次函数二次函数 y= x 6x +21图象的图象的画法画法：(1)“化
11、化” ：化成顶点式：化成顶点式 ；(2)“定定”：确定开口方向、对称轴、顶：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；点坐标；(3)“画画”：列表、描点、连线。：列表、描点、连线。212结束寄语探索是数学的生命线探索是数学的生命线. .1.1.指出抛物线指出抛物线: :254yxx 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与标、与y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x轴的交点坐轴的交点坐标。并画出草图。标。并画出草图。总结：总结：1、“五点五点”：顶点坐标顶点坐标与与y轴的交点坐标轴的交点坐标与与y轴的交点坐标关于对称轴的对称点轴的交点坐标关于对称轴的对称点与与x轴的交点坐
12、标（有交点时），轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。这样就可以画出它的大致图象。),(cab3222013222 x)(x)(xxy.的最大值和最小值的最大值和最小值数数分别在下列范围内求函分别在下列范围内求函)(cba),(P,x)a(cbxaxy.值为值为的的则则且经过点且经过点是是的对称轴的对称轴抛物线抛物线 0320324321142303212120211000421212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(xcbxaxy.的的个个数数为为其其中中正正确确下下列列结结论论：轴轴交交于于点点与与两两点点，且且轴轴交交于于
13、的的图图象象与与已已知知二二次次函函数数 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112345121 2 xy1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给出四个结论：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结论：问：给出四个结论： acabaabcb此抛物线的解析式
14、此抛物线的解析式，求，求全相同，又抛物线过点全相同，又抛物线过点完完的开口方向和开口大小的开口方向和开口大小线线上，并且它与抛物上，并且它与抛物抛物线抛物线的顶点在的顶点在已知抛物线已知抛物线),(Mxyxycbxaxy.2021836222 ？试证明你的结论？试证明你的结论为为，使它的周长，使它的周长是否存在这样的矩形是否存在这样的矩形的取值范围的取值范围的函数解析式，并求出的函数解析式，并求出关于自变量关于自变量周长周长的的，试求矩形，试求矩形的坐标为的坐标为设点设点求二次函数的解析式求二次函数的解析式图形内图形内轴所围成的轴所围成的在抛物线与在抛物线与线上，矩形线上，矩形在抛物在抛物轴上
15、，轴上，在在的顶点的顶点矩形矩形，的顶点坐标为的顶点坐标为二次函数二次函数932120472ABCD)(xxPABCD)y,x(A)()(xABCDD,AxC,BABCD),(mmxy. _y,y,yxxy)y,(C)y,(B)y,(A.的大小关系是的大小关系是的图象上的三点，则的图象上的三点，则为二次函数为二次函数若若3212321543514138 的周长的周长求求，坐标原点为，坐标原点为轴的交点为轴的交点为若抛物线与若抛物线与的值的值求求且交点为且交点为轴只有一个交点，轴只有一个交点，与与已知抛物线已知抛物线OAB,OBy)(c ,b)(),(Axcbxxy. 210292矩形场地的周长
16、是矩形场地的周长是60m，一边长为，一边长为l，则另一边长为则另一边长为 ，场地的面积，场地的面积用总长为用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长随矩形一边长 l 的变化的变化而变化，当而变化，当 l 是多少时，场地的面积是多少时，场地的面积S最大？最大？即即 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大取顶点的横坐标时，这个函数有最大值由公式可求出顶点的横坐标值由公式可
17、求出顶点的横坐标ml260分析：先写出分析：先写出S与与 l 的函数关系式，再求出使的函数关系式，再求出使S最大的最大的l值值Sl ( 30l )Sl 2 +30l( 0 l 30 )lsO5 1010020015 20 25 30也就是说，也就是说， 当当l是是15m时，场地的面积时，场地的面积S最大（最大（S225m2）1512302abl 因此，当因此，当 时，时，22514304422abac S有最大有最大 值值 ，Sl 2 +30l( 0 l 30 ) （1）设矩形的一边）设矩形的一边AB= x cm，那么，那么AD边的长边的长度如何表示？度如何表示？ （2）设矩形的面积为）设矩形的面积为y m2，当，当x取何值时，取何值时，y的最大值是多少的最大值是多少? 在一个直角三角形内部作一个矩形在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD，其，其中中AB和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上.MN40cm30cmABCD实际问题最大面积问题最大面积问题ABCDMN 3: 1,30.4ADbcmbx 解设则40cm30cm 2332303044yxbxxxx .30020432xx cmb cm20,300.xy最大值当时