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1、第卷第期年月西昌学院学报自然科学版 ，用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理水张学茂，刘来山，陈玲，梁妮，刘晶， 徐芳（泰州学院数理学院，江苏 泰州）【摘要】遵循学生学习数学分析的知识顺序，从证明柯西收敛原理出发，对实数完备性其它定理进行一一证明，验证与推广了有关学者的论证。【关键词】完备性；收敛；极限；确界【中图分类号【文献标志码】 【文章编号】（）引言实数完备性基本定理是实数理论中的重要内容之一。实数完备性的基本定理有：数列的柯西收敛原理、实数集的确界定理、区间套定理、有限覆盖定理、数列的单调有界定理、聚点定理、致密性。这七个定理是彼此等价的，它们以不同的方式刻画了实数集的一种特征一完备性
2、。大多数教材 ， 都是把确界定理作为公理，但确界定理的证明冗长，不易被学生所理解和接受。诸多学者以某一定理当为公理，对实数完备性的几大定理进行循环论证， 一， ： 。羞与已知条件矛盾。故数列 收敛。定义设为数轴上的点集，为定点（它可也有学者利用戴得金提出的完全覆盖法对实数属于， 也可不属于）， 若的任何邻域内都含有的无穷多个点， 则称为的点集一个聚点。定义“ 设 勾实数集月上的非空点集，。皓；）总成立， 则称为的数集一个聚点。定义 对于点集中若存在各项互异的收敛数列，则其极限黔称为的一个聚点。定义设闭区间列口 ，】 具有如下性质：（）， ， ， （） （ 一） ，贝称） 为闭区间套，简称区间套
3、。定义设是中的一个数集。若数， 满足：（）对一切一都有一，即是的上界；（）对任何叩，使样可定义下确界。定义设为数轴上的点集，（，） 。若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则完备性基本定理进行了统一处理。这些论述堪称为经典之作。本课题组研究发现，用实数完备性彼此等价的七个定理中的一个定理去证明其它定理，在诸多文献资料中鲜有发现。而柯西收敛原理是数学分析中的重要定理之一，它为研究数列和函数极限提供了有效的思路与方法，并在判别广义积分、级数是否收敛、函数的一致连续等方面都有较广泛的应用。本文试遵循学生学习数学分析的知识顺序，从证明柯西收敛原理出发，去一证明实数完备性的其它定理。即 又是的最小上界，
4、则称数， 为数集的上确界，记作叩 。同称为的一个开覆盖，或称覆盖。若中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）。预备知识（柯西收敛原理） 数列妇收敛的充要条件是：，当”，时总有一成立。证明：（必要性）设一 ，由数列极限的定义， ，时有，一 。因而有小：一 “。主要结论利用柯西收敛原理证明确界定理确界定理设为非空数集。若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界。证明：设为非空有下界数集，由实数的阿基米（ 充分性）由条件，当”，时有德性， ，使为的下界，但使（ ） ，分别取口 一日 。贝，当时， 口 一口 。 总是成立的。取两者的中点设为，假若满足条件的数列 发散，则
5、 岛）， ，当时，对于兄有 一。由实数的任意性可知，当时，不是的下界。那么亡，”， ， 则对于每个佗存在相应的， 为使卜的下界，而不是的下界。故收稿日期：￥基金项目：江苏省大学生实践创新训练项目研究成果之一（项目编号： ）。作者简介：张学茂（一），男，江苏姜堰人，副教授，硕士， 研究方向：基础数学。西昌学院学报自然科学版第卷对于， 为的下界，则。则一，同必有极限。理一一 ，从而一 ， ， 所以， ，证明：假设数列是单调递减数列，假设数列不当，时有一。由柯西收敛准则知数列收敛，不妨令 ，总有则口， ， 充分时。同时有（，”仃，号。又因为五不是的下界，故口使， 寺号 ， 由定义可知， 、为的下确界
6、。同理可证数集有上界必有上确界。利用柯西收敛原理证明闭区间套定理区间套定理忙 若，是一闭区间套，则存在唯一的一点， 使得 ， ” ，即， 。证明：由定义可知：闭区间， ，显然满足，口 ，艮口 ） ， ， 一 一则数列满足柯西收敛准则，即一）（ 一） 一，又因单调增加，也单调增加，则， ” 。下证满足条件 ： ， 的是唯一的公共点。假设数 也满足， ，则由 ，有 一 一”， ， ， 。（一） 一， 故有 。利用柯西收敛原理证明有限覆盖定理有限覆盖定理设为闭区间，】的一个（无限）开覆盖，则从日中可选出有限个开区间来覆盖 ，】。证明假设定理的结论不成立，即闭区间【 ，】不能被中有限个开区间覆盖。现采
7、用常见的二分法，将，】等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能被中有限个开区间覆盖。记这个区间为，】，且一 ，再将】等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能被中有限个开区间覆盖，记为，一（一）。按此等分区间的方法无限地进行下去，得到一个数列， 它满足一 击（ 一），由柯西收敛原理可知数列收敛，不妨令 一 。即， ，当时， 一 】 “， 即【 ， （， ），当佗充分大时，存在开区间（ ，）使得 】 （口，）。这表明， 】 只须用中的一个开区间（，）就能覆盖，与假设相矛盾。因此假设不成立。利用柯西收敛原理证明单调有界定理单调有界定理在实数系中，有界的单调数列收敛。由柯西收敛原理
8、可知：总存在，任意正整数，当，时一一不妨取：，取数列的两子列，且 ，那么（ 一， ）一十 一 十 一【一【（日一口）（一）（， 一）一，则有由的任意性可知，无下界。这与已知数列有界矛盾。故数列必收敛。利用柯西收敛原理证明聚点定理聚点定理实数轴上的任意有界无限点集必有聚点。证明：假设有界无限点集中没有聚点。不妨令， 分别是的下界和上界，则在，中每一点都不是的聚点。取佗，的中点。，在，】 【。，中至少有一个区间有无穷多个点。不妨令，中有无穷多个点，再取，的中点：， 去（）同样， 】 。， 】 中至少有一个区间有无穷多个点。以此方法一直取下去， 时 一 一刊， ， 中仍有无穷多个点。任取其中属于中的
9、两点：， ： 。 则一肘一一叫由柯西收敛原理可知数列）收敛。由定义”知无限有界点集中至少有一个聚点。利用柯西收敛原理证明致密性致密性定有界数列必有收敛子列。证明：设为有界数列。若是常数数列，常数列显然收敛。若中有无限项不相等，假设任一子列都发散，则总存在，不妨取任意正整数，不妨取，当，时， 一。任取一个单增子歹 总有 一口， ， ，二（，一），即，而有界，由的任意性可知” 无上界， 这与题设中的有界数列相矛盾，故假设不成立。实数的基本完备性定理中，柯西收敛原理、聚点定理、 确界定理、单调有界定理、闭区间套定理都是刻画实数系统的局部性质；致密性定理、有限覆盖定理是刻画实数系的整体性质。这些定理通
10、过整体性质归结到某点邻域的“局部性质”， 或由某局部性质推广到整体性质，形成了对实数系的全方位刻画。柯西收敛原理尤其重要，它既可证明极限点的存在性，又可找到相应的点。只有理清了这些定理的内涵，才能加深学生对定理的理解，拓宽证明思路， 提高学生的逻辑思维能力与数学分析能力。第期张学茂，等：用柯西收敛原理证明实数完备性的其它定理注释及参考文献：刘玉链、傅沛仁等数学分析讲义（第五版）【】 北京：高等教育出版社， （ ）：【 】华东师范大学数学系数学分析第三版【】北京：高等教育出版社， （）：、 田菊蓉 实数系完备性定理的等价性 西安联合大学学报， （）： 庄陵等 实数系完备性基本定理的循环证明 重庆工商大学学报（自科版）， （）：【 】李湘云有关实数完备性基本定理的循环证明】 湖北财经高等专科学校学报，（）： 徐新荣彳用实数空间基本定理证明问题的几点注释 西昌学院学报（自科版），（）： 】盖盈 关于实数完备性基本定理的统一处理方法】天津师范大学学报（自科版），（）： ，（ ， ，）： ， ：； ； （上接第页）， ， ， ， ， ：； ；