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1、昌明论文（抛物线的一个性质与抛物线图形求积定理）昌明论文（抛物线的一个性质与抛物线图形求积定理）文2介绍了一个关于抛物线图形求积定理的证明，本文利用抛物线的一个性质来证明抛物线图形求积定理并对该定理的证明方法进行探究。一、抛物线的一个性质定理：如图 1，AM 是抛物线的一条弦， D、B 在抛物线上，E、C 在弦 AM 上，若 DE、与 BC 都平行于抛物线的对称轴，则DEAEEMBCACCM证明：如图2，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，建立直角坐标系设抛物线方程为y2 2px（p0） ，弦 AM 所在的直线方程为 x = my +n，A(x1，y1)，M(x2，y2)，B(xB，yB
2、)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)y2 2px,由得 y22pmy 2pn =0，x my n, y1+ y2=2pm，y1y2= 2pn ，x1+ x2=（my1+n）+（my2+n）= m(y1+ y2) +2n =2pm2 +2n，2y12y2(2pn)22x1x2= n ，2p 2p4p2设AC 1CM，AE 2EM，则xC =x11x2y 1y2，yC =1，1111y11y2，11 BCx 轴， yB = yC =22yBy1221y1y2 y22px121(2pn)122px2x121n12x2 xB =，2222p2p(11)2p(11)(11)x11x2
3、x121n12x221(pm22n)BC= xC - xB =-=，2211(11)(11)22(pm22n)同理，DE=，2(12)ACAEDEAEEM21CMEM=AE2AC2ACCMBC(12)2(11)2(1)(1)EMCM命题得证特别地，当 C 为 AM 的中点，E 为 AC 的中点时，DE3BC4二、抛物线图形求积定理早期的一些几何学家试图将一圆锥曲线和一直线所围成的图形化为方形，但问题一直未获解决， 后来， 古希腊数学家阿基米德成功地把一直线和一条抛物线所围成的弓形化为方形，得出了一个著名的阿基米德定理： 由抛物线与弦所围成的弓形面积等于同底等高三角形面积的4下面用前面介绍的抛物
4、线的性质给出一个证明3如图 3，AM 是抛物线的一条弦，C 是弦 AM 的中点，BC 平行于抛物线的对称轴与抛物线相交于点B，由文2可知AMB 和抛物线与弦 AM 所围成的弓形同底等高用下面的方法在由弦AB、 BM 截得的弓形内： 分别过弦 AB、 BM的中点 P、 Q 作抛物线对称轴的平行线交抛物线于点D、 G， 连结 DA、DB、GB、GM 得两个内接三角形ADB 和BGM设 DP、GQ 与弦 AM 分别相交于点 E、F，则 E、F 分别为线段 AC、CM 的中点，DE31，又 PE=BC，所以BC421111DP=PE=BC，从而 SADP=SADB=SAPE=SABC，则 SADB=2
5、42811SABC同理，SBGM=SBMC，所以两个内接三角形ADB、441BGM 的面积和是AMB 面积的4由前面介绍的抛物线的性质知，按同样的方式，在由弦AD、DB、BG、GM 截得的弓形内分别作出它们的内接三角形，同理可得，这四个内接三角形的面积和是前面两个内接三角形的面积和的14如此无限地继续下去，可得抛物线与弦AM 所围成的弓形面积=SAMB+（SADB+SBGM）+=SAMB4=S13AMB14命题得证三、抛物线图形求积定理证明方法探究回顾抛物线图形求积定理证明的过程， 我们会发现其证明方法实质上是取极限的方法。第一步：分割。将弦AM 2n（nN+）等分，然后过2n-1 个分点分别
6、作抛物线对称轴的平行线交抛物线于 A1、A2、A2n-1，得到一个抛物线的内接 2n+1 边形，其面积记为 Sn。第二步：求近似和。记B1=S1，Bn= Sn- Sn-1（n2，且nN+） ，由前面所介绍的抛物线的性质定理可知， 数列 Bn 构成一个首项为S1， 公比为+ Bn。第二步：取极限。抛物线与弦AM 所围成的弓形面积=limTn=n1的等比数列， 求和Tn= B1+ B2+4B14B1。1314参考文献：参考文献：11 李文林主编数学珍宝李文林主编数学珍宝历史文献精选历史文献精选 ，科学出版社，科学出版社，20032003，4 4 （阿基米德的数学（阿基米德的数学著作）著作）22 曾峰抛物线的阿基米德定理数学通讯，曾峰抛物线的阿基米德定理数学通讯，19971997，5 5