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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数数 学学一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分）分）1 （4 分）已知集合1A ，2，3，4，5，3B ，5，6，则AB 2 （4 分）计算22231lim41nnn nn3 （4 分）不等式|1| 5x 的解集为 4 （4 分）函数2( )(0)f xxx的反函数为 5 （4 分）设i为虚数单位，365zii ，则| z的值为 6 （4 分）已知2221 4xy xa ya ，当方程有无穷多解时
2、，a的值为 7 （5 分）在61()xx的展开式中，常数项等于 8 （5 分）在ABC中，3AC ，3sin2sinAB，且1cos4C ，则AB 9 （5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10 （5 分）如图，已知正方形OABC，其中(1)OAa a，函数23yx交BC于点P，函数1 2yx交AB于点Q，当|AQCP最小时，则a的值为 11 （5 分）在椭圆22 142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121FP F P A，则1FP与2F Q
3、的夹角范围为 12 （5 分）已知集合At，14tt，9t ，0A，存在正数，使得对任意aA，都有Aa，则t的值是 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13 （5 分）下列函数中，值域为0，)的是( )A2xy B1 2yxCtanyxDcosyx14 （5 分）已知a、bR，则“22ab”是“| |ab”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15 （5 分）已知平面、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( )A两两垂直B两两平行C两两相交D两两
4、异面16 （5 分）以1(a，0)，2(a，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y轴正半轴分别交于1(y，0)，2(y，0)，且满足120lnylny，则点1211(,)aa的轨迹是( )A直线B圆C椭圆D双曲线三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+1814+14+14+16+187676 分）分）17 （14 分）如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求PABC的体积18 （14 分）已知数列na，13a ，前n项和为nS（1）若na为等差数列，且415a ，
5、求nS；（2）若na为等比数列，且lim12nnS ，求公比q的取值范围19 （14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出年份卫生总费用（亿元）绝对数（亿元） 占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元） 占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)201228119.009656.3234.3410030.7035.67 8431.98 29.99
6、201331668.9510729.3433.8811393.7935.98 9545.81 30.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.05 10579.23 29.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.29 12475.28 30.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t 表示 1978 年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数6.4420 0.1136357876.6053( )1tf te研究函数( )f t
7、的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份20 （16 分）已知抛物线方程24yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：|( )|PFd PFQ（1）当8( 1,)3P 时，求( )d P；（2）证明：存在常数a，使得2 ( ) |d PPFa；（3）1P，2P，3P为抛物线准线上三点，且1223| |PPP P，判断13()()d Pd P与22 ()d P的关系21 （18 分）已知等差数列na的公差(0d ，数列 nb满足sin()nnba，集合*|,nSx xb nN（1）若120,3ad，求集合S；（2）若12a，求d使得集合S恰好有两个元
8、素；（3）若集合S恰好有三个元素：n Tnbb，T是不超过 7 的正整数，求T的所有可能的值2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数数 学学 答答 案案一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分）分）1 （4 分）已知集合1A ，2，3，4，5，3B ，5，6，则AB 3，5 解：集合1A ，2，3，4，5，3B ，5，6，3AB，5故答案为：3，52 （4 分）计算22231lim41nnn nn2 解：2222312231limlim2
9、41411nnnnnn nn nn故答案为：23 （4 分）不等式|1| 5x 的解集为 ( 6,4) 解：由|1| 5x 得515x ，即64x 故答案为： 6，4)4 （4 分）函数2( )(0)f xxx的反函数为 1( )(0)fxx x 解：由2(0)yxx解得xy，1( )(0)fxx x故答案为1f( )(0)xx x5 （4 分）设i为虚数单位，365zii ，则| z的值为 解：由365zii ，得366zi，即22zi，22| |222 2zz故答案为：2 26 （4 分）已知2221 4xy xa ya ，当方程有无穷多解时，a的值为 2 解：由题意，可知：方程有无穷多解
10、，可对2，得：442xy 再与式比较，可得：2a 故答案为：27 （5 分）在61()xx的展开式中，常数项等于 15 解：61()xx展开式的通项为36 2 16r r rTC x令3902r 得2r ，故展开式的常数项为第 3 项：2 615C 故答案为：158 （5 分）在ABC中，3AC ，3sin2sinAB，且1cos4C ，则AB 10 解：3sin2sinAB，由正弦定理可得：32BCAC，由3AC ，可得：2BC ，1cos4C ，由余弦定理可得：222132 4232AB ，解得：10AB 故答案为：109 （5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加
11、连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有3 3424A 种，故答案为：2410 （5 分）如图，已知正方形OABC，其中(1)OAa a，函数23yx交BC于点P，函数1 2yx交AB于点Q，当|AQCP最小时，则a的值为 3 解：由题意得：P点坐标为(3a，)a，Q点坐标为1( ,)aa，11|233aAQCPa，当且仅当3a 时，取最小值，故答案为：311 （5 分）在椭圆22 142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121FP F P
12、 A，则1FP与2F Q 的夹角范围为 1arccos3， 解：设( , )P x y，则Q点( ,)xy，椭圆22 142xy的焦点坐标为(2，0)，( 2，0)，121FP F P A，2221xy，结合22 142xy可得：21y ，2故1FP与2F Q 的夹角满足：222 12 222222 122238cos3 122(2)8FP F Qxyy yyFP F Qxyx A A，1 3故1arccos3，故答案为：1arccos3，12 （5 分）已知集合At，14tt，9t ，0A，存在正数，使得对任意aA，都有Aa，则t的值是 1 或3 解：当0t 时，当at，1t 时，则4ta，
13、9t ，当4at，9t 时，则ta，1t ，即当at时，9ta；当9at 时，ta，即(9)t t；当1at 时，4ta，当4at 时，1ta，即(1)(4)tt，(9)(1)(4)t ttt，解得1t 当104tt 时，当at，1t 时，则ta，1t 当4at，9t ，则4ta，9t ，即当at时，1ta，当1at 时，ta，即(1)t t，即当4at 时，9ta，当9at 时，4ta，即(4)(9)tt，(1)(4)(9)t ttt，解得3t 当90t 时，同理可得无解综上，t的值为 1 或3故答案为：1 或3二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，
14、共分，共 2020 分）分）13 （5 分）下列函数中，值域为0，)的是( )A2xy B1 2yxCtanyxDcosyx解：A，2xy 的值域为(0,)，故A错B，yx的定义域为0，)，值域也是0，)，故B正确C，tanyx的值域为(,) ，故C错D，cosyx的值域为 1，1，故D错故选：B14 （5 分）已知a、bR，则“22ab”是“| |ab”的( )A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件解：22ab等价，22|ab，得“| |ab” ， “22ab”是“| |ab”的充要条件，故选：C15 （5 分）已知平面、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b，c，则
15、直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( )A两两垂直B两两平行C两两相交D两两异面解：如图 1，可得a、b、c可能两两垂直；如图 2，可得a、b、c可能两两相交；如图 3，可得a、b、c可能两两异面；故选：B16 （5 分）以1(a，0)，2(a，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y轴正半轴分别交于1(y，0)，2(y，0)，且满足120lnylny，则点1211(,)aa的轨迹是( )A直线B圆C椭圆D双曲线解：因为22 1111|1|raay，则2 1112ya ，同理可得2 2212ya ，又因为120lnylny，所以121y y ，则12(12)(12)1aa，即12122a aaa
16、，则12112aa，设1211xaya ，则2xy为直线，故选：A三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+1814+14+14+16+187676 分）分）17 （14 分）如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2）求PABC的体积解：（1）M，N分别为PB，BC的中点，/ /MNPC，则PCA为AC与MN所成角，在PAC中，由2PAPC，3AC ，可得22233cos24223PCACPAPCAPC AC A，AC与MN的夹角为3arccos4；（2）过P作底面垂
17、线，垂直为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则3 2AN ，213AOAN22213PO1133333224P ABCV18 （14 分）已知数列na，13a ，前n项和为nS（1）若na为等差数列，且415a ，求nS；（2）若na为等比数列，且lim12nnS ，求公比q的取值范围解：（1）4133315aadd，4d，2(1)3422nn nSnnn；（2）3(1) 1nnqSq，limnnS 存在，11q ，limnnS 存在，11q 且0q ，3(1)3limlim11nnnnqSqq，3121q，3 4q，10q 或304q，公比q的取值范围为( 1，0)(0
18、，3) 419 （14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出年份卫生总费用（亿元）绝对数（亿元） 占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)201228119.009656.3234.3410030.7035.67 8431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.79
19、35.98 9545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.05 10579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.29 12475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t 表示 1978 年，第n年卫生总费用与年份t之间拟合函数6.4420 0.1136357876.6053( )1tf te研究函数( )f t的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份解：（1）由表格
20、数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多（2）6.4420 0.1136tye是减函数，且6.4420 0.11360tye，6.4420 0.1136357876.6053( )1tf te在N上单调递增，令6.4420 0.1136357876.60531200001te，解得50.68t ，当51t时，我国卫生总费用超过 12 万亿，预测我国到 2028 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿20 （16 分）已知抛物线方程24yx，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：|( )|PFd PFQ（1）当8( 1,)3P 时，求( )d P；（2）证
21、明：存在常数a，使得2 ( ) |d PPFa；（3）1P，2P，3P为抛物线准线上三点，且1223| |PPP P，判断13()()d Pd P与22 ()d P的关系解：（1）抛物线方程24yx的焦点(1,0)F，8( 1,)3P ，8 43 23PFk，PF的方程为4(1)3yx，代入抛物线的方程，解得1 4Qx ，抛物线的准线方程为1x ，可得26410|293PF ，15|144QF ，|8( )|3PFd PQF；（2）证明：当( 1,0)P 时，2 ( ) | 2222ad PPF，设( 1,)PPy，0Py ，:1PF xmy，则2Pmy ，联立1xmy和24yx，可得2440
22、ymy，2 24161622 12Qmmymm，2 2222 12 ( ) | 212 (22 1)P P Qymd PPFm yymmmm A2212 122mmm mm A，则存在常数a，使得2 ( ) |d PPFa；（3）设11( 1,)Py，22( 1,)Py，33( 1,)Py，则222 1321321322 ()()4 () | 2|442 4d Pd pd PPFPFP Fyyy22222213 131313442 ()444()162yyyyyyyy，由222222 13131313( 44)()162 4428yyyyyyy y，222222 1313131313(4)(4
23、(4)4()84()0yyy yyyy yyy，则132()()2 ()d Pd Pd P21 （18 分）已知等差数列na的公差(0d ，数列 nb满足sin()nnba，集合*|,nSx xb nN（1）若120,3ad，求集合S；（2）若12a，求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：n Tnbb，T是不超过 7 的正整数，求T的所有可能的值解：（1）等差数列na的公差(0d ，数列 nb满足sin()nnba，集合*|,nSx xb nN当120,3ad，集合32S ，0，3 2（2）12a，数列 nb满足sin()nnba，集合*|,nSx xb nN恰好有两个元
24、素，如图：根据三角函数线，等差数列na的终边落在y轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素，此时d，1a终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素，可以使2a，3a的终边关于y轴对称，如图OB，OC，此时2 3d，综上，2 3d或者d（3）当3T 时，3nnbb，集合1Sb，2b，3b，符合题意当4T 时，4nnbb，sin(4 )sinnnada，42nnadak，或者42nnadka，等差数列na的公差(0d ，故42nnadak，2kd，又1k，2当1k 时满足条件，此时S ，1，1当5T 时，5nnbb，sin(5 )sinnnada，52nnadak，或者52nnadka，因为(0d
25、，故1k ，2当1k 时，sin10S，1，sin10满足题意当6T 时，6nnbb，sin(6 )sinnnada，所以62nnadak或者62nnadka，(0d ，故1k ，2，3当1k 时，33,0,22S ，满足题意当7T 时，7nnbb，sin(7 )sinsinnnnadaa，所以72nnadak，或者72nnadka，(0d ，故1k ，2，3当1k 时，因为17bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mnaa，22 7dmn，7mn，7m ，不符合条件当2k 时，因为17bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mnaa，24 7dmn，mn不是整数，不符合条件当3k 时，因为17bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mnaa或者4，26 7dmn，或者46 7dmn，此时，mn均不是整数，不符合题意综上，3T ，4，5，6