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1、第十五章第十五章 整式的整式的乘除与因式分解乘除与因式分解15.4.315.4.3十字相乘法十字相乘法观察下列各式的计算结果与相乘的两个观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系：多项式之间的关系：(x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+4)(x+2)=x2+6x+8(x+6)(x+5)=x2+11x+30(1)你发现有什么规律？按你发现的规律填空：你发现有什么规律？按你发现的规律填空：(x+3)(x+5)=x2+( + )x + (2)你能很快说出与你能很快说出与(x+a)(x+b)相等的多项式吗？相等的多项式吗？先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证。先猜一猜，再用多项式相乘的运
2、算法则验证。3535(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab(3)根据(2)中结论计算：(1) (x+1)(x+2)=(2) (x+1)(x-2)=(3) (x-1)(x+2)=(4) (x-1)(x-2)=x2+3x+2x2-x-2x2+x-2x2-3x+2下列各式是因式分解吗？(1) x2+3x+2(x+1)(x+2)(2) x2+3x+2(x+1)(x-2)(3) x2+x-2(x-1)(x+2)(4) x2-3x+2(x-1)(x-2)对于形如x2(ab)xab的二次三项式，可以直接分解，注意二次项系数为1.即，有结论：x2(ab)xab(xa) (xb)一个二次三项式x2+p
3、x+q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，且使a+b等于一次项的系数p，那么它们就可以分解因式，即22()()()xpxqxab xabxa xb例1 分解因式2(1)56xx262 32355623解：，且，xxxx22815（ ）xx 2153535881535解：， 且，xxxx 23421（ ）xx2217373442173解：， 且，xxxx 22224221622153215428543（）（ ）（ ）（ ）（ ）xxxxxxyyxxabab例例2 2 分解因式分解因式15.4.3 15.4.3 分组分解法分组分解法把多项式分解因式axaybxby分析：多项式分析：多项式
4、ax+ay+bx+by不能直接不能直接用前面学过的方法分解因式，可以通用前面学过的方法分解因式，可以通过恰当分组来分解因式：过恰当分组来分解因式： ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)。 这种利用分组来分解因式的方法这种利用分组来分解因式的方法叫做叫做分组分解法分组分解法21-例 因式分解：aab ac bc2解：aabacbc2-aabacbca abc ababac还可以怎样分组呢？还可以怎样分组呢？（一）分组后能用提公因式法因式分解（一）分组后能用提公因式法因式分解2aacabbca acb acacab2解：aabac
5、bc 从上面两种分法中看出分从上面两种分法中看出分组的关键是什么？组的关键是什么？思考思考1：分组后要保证组与组之间分组后要保证组与组之间有公因式可以提取。有公因式可以提取。 在加括号时，括号前取在加括号时，括号前取“-”号时，应注意什么？号时，应注意什么？思考思考2：写到括号里的各项应变号。写到括号里的各项应变号。例例2 因式分解因式分解（1）5bx+7by+7ay+5ax（2）m2+5n-mn-5m57abxy5mnm（1）3a-ax-3b+bx（2）2ax-10ay+5by-bx（3）ax-ay+bx-by+cx-cy练习：练习：小结： 以上各多项式具有的共以上各多项式具有的共同特点是：
6、适当分组后有公同特点是：适当分组后有公因式，可通过提公因式达到因式，可通过提公因式达到分解因式的目的。分解因式的目的。223 因式分解：例abaxbx解：解： a2-b2+ax+bx =(a2-b2)+(ax+bx) =(a+b)(a-b)+x(a+b) =(a+b)(a-b+x)（二）分组后能运用公式法因式分解（二）分组后能运用公式法因式分解22421例 因式分解：xyy分析：前两项分一组虽然可用公式分析：前两项分一组虽然可用公式而后两项既不是公式又没有公因式而后两项既不是公式又没有公因式可提，达不到分解目的。仔细观察可提，达不到分解目的。仔细观察后发现：后发现：其后三项变号后正好是完其后三
7、项变号后正好是完全平方公式，再然后可利用平方差全平方公式，再然后可利用平方差公式完成因式分解。公式完成因式分解。2221解：xyy22222111111xyyxyxyxyxyxy454 因式分解例：a 4239xx练习因式分解：223223222212223 336642练习：（）（ ）（ ）（ ）abbaxxyx yyababmmnnmcnc222222222225 446 36337 218 494912练习：（ ）（ ）（ ）（ ）xxyyaxxyyaxyxyabcab221556 因式分解：例xxaxa解：解： x2+2x-15-ax-5a =(x2+2x-15)-(ax+5a) =(x+5)(x-3)+ a(x+5) =(x+5)(x-3+a)（三）分组后能运用十字相乘法因式分解（三）分组后能运用十字相乘法因式分解2221232622556练习：（）（ ）aaaccxxyyxy 拓展探索拓展探索234231998199910.1xxxxxxxxx已知求的值。23410 xxxx分析： _98765xxxxx1011121314_xxxxx你有什么启发？请大胆尝试一下！你有什么启发？请大胆尝试一下！52341xxxxx102341xxxxx