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1、13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题FEDCBA 1. 1.如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路可供地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？是什么？ 两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA2.2.如图：如图：连接直线外一点连接直线外一点P P与直线上与直线上各点的所有线段中，各点的所有线段中，那条线段最短那条线段最短？ 垂线段最短垂线段最短 学习目标：学习目标： 1.1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，能利用轴对称解决简单的最短路径问题， 2. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，体会图形的变
2、化在解决最值问题中的作用， 3. 3.感悟转化思想感悟转化思想 重点、难点：重点、难点： 用轴对称用轴对称将最短路径利问题将最短路径利问题转化转化为为“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”问题问题 已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P ，就是所求，就是所求的点。的点。思考？思考？为什么这样做就能得到最短距离呢？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里
3、亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？BAl将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl 如何将点如何将点B“移移”到到l 的另一的另一侧侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意上的任意一点一点C，都保
4、持，都保持CB 与与CB的长的长度相等？度相等？ 探索新知探索新知如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一是直线上的一个动点，当点个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlA作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位
5、置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlABC探索新知探索新知问题问题你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知：由轴对称的性质知：BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BABCC 在在ABC中，中，ABAC+ +BC， AC +
6、 +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短探索新知探索新知追问追问回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC通过对称转化，借助通过对称转化，借助两点之间线段最短两点之间线段最短 如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到何用球杆去击白球使其撞到ABAB边反弹后再撞边反弹后再撞到黑球到黑球? ?DBAC针对练习针对练习问题 2 （造桥选址问题）如图，造桥选址问题）如图，A A和和B B两两地在一条河的两岸，现要在河上造一座地在一条河
7、的两岸，现要在河上造一座桥桥MNMN，桥造在何处可使从，桥造在何处可使从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的两岸是平行的直最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）线，桥要与河垂直。）ABMNab 作图ABMNabA作法：作法：1.将点将点A沿垂直与河岸的方沿垂直与河岸的方向平移一个河到向平移一个河到 ，A2.连接连接 B交河岸于点交河岸于点N.则点则点N为建桥的位置为建桥的位置3.过点过点N作作MN a于点于点M,则则MN为所建的桥为所建的桥。A 证明证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 ANAM AN=AM , MN= MN , A M AN , A
8、M=AN,A.B两地的距离两地的距离: AM+MN+BN=AN+MN+BN=AB+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在MN处，连接处，连接AM.MN.BN.AN,则则AB两地的距离为：两地的距离为：AM+MN+NB=AN+MN+NB=AN+NB+MN,在在ABN中，中，AN+NBAB, AN+NB+MNAB+MN,即即 AM+MN+BNAM+MN+NB桥的位置建在桥的位置建在MN处，处，AB两地的两地的路程最短。路程最短。ABMNabMNA本节课我知道了：本节课我知道了： 通过轴对称通过轴对称 、平移转化，借助两点之间线、平移转化，借助两点之间线段最短，解决最短路径问题段最短，解决最短路径问题
9、轴对称在所研究问题中起着转化的作用轴对称在所研究问题中起着转化的作用 1.如图：要在公路如图：要在公路m旁修建一个货物中转站旁修建一个货物中转站P，分，分别向别向A,B两个开发区运货。若要求货物中转站到两个开发区运货。若要求货物中转站到A,B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应建在哪里？应建在哪里？堂堂 清清BmA2.如图，如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水边建一水厂向两村供水（1 1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？选在哪个位置？
10、（2 2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹作图痕迹 .B A . 教科书教科书 复习题复习题13 第第15题题 布置作业布置作业已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在一条三条边的长度恰好能够
11、体现在一条直线上时，三角形的周长最小直线上时，三角形的周长最小 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组，组成三角形，使三角形周长最小成三角形，使三角形周长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求堂清： 如图如图2 2，四边形，四边形ABCDABCD中，中，BAD=120BAD=120，B=B=D=90D=90, ,在在BCBC，CDCD上分别找一点上分别找一点M M、N N，当，当AMNAMN周长最小时，周长最小时，AMN+AMN+ANMANM的度数为多少？的度数为多少？图 1图 2ABDCAANM