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1、书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！2022年年6月月14日星期二日星期二2.3直线、平面垂直线、平面垂直的判定和性质直的判定和性质已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PCPA=PB=PC试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条的三条
2、侧棱侧棱PA,PB,PCPA,PB,PC两两垂直两两垂直, ,试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的射影的位置？的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的垂心垂心DOPADBCPPOPABCPOBCPA平面已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC的的顶点顶点P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三条边的距离相等的三条边的距离相等, ,试判断点试判断点P P在在底面底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的内心内心OEF典型：典型：四面体四面体P-ABC的顶点的顶点P在平面上的射影为在平面上的射影为O(1)P到三顶
3、点距离相等到三顶点距离相等(3)P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等(2)侧棱两两垂直侧棱两两垂直PABCO外外垂垂内内 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心对棱两两垂直对棱两两垂直OPABC例：四面体例：四面体P-ABC中，中，ACPBBC,PAABPC求证：若三棱锥有两组对边互相垂直，则若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直另一组对边必然垂直O O是垂心是垂心垂垂 O是是 ABC的的心心2.3.1-2直线和平面所成的角直线和平面所成的角AaOP如图如图,点点Q是是是点是点P到平面的垂线段到平面的垂线段 pQ过一点向平面引垂线，垂足叫做过
4、一点向平面引垂线，垂足叫做 这点与垂足间的线段叫做这点与垂足间的线段叫做。 一一.斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影. .垂线、斜线、射影垂线、斜线、射影( () )垂线垂线点点P在平面在平面 内的射影内的射影 线段线段PQ（2 2）斜线）斜线 一条直线和一个平面相交，但不和一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的的斜线和平面的交点斜线和平面的交点叫做叫做。从平面外一点向平从平面外一点向平面引斜线，这点与斜面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点足间的线段叫做这点到这个平面的到这个平面的斜线段斜线段PR 说明：说明：平面外一平面外一点到
5、这个平面的垂点到这个平面的垂线段有且只有一条，线段有且只有一条，而这点到这个平面而这点到这个平面的斜线段有无数条的斜线段有无数条思考：平面外一点到一个平面的垂线段有思考：平面外一点到一个平面的垂线段有几条？斜线段有几条？几条？斜线段有几条？PRQST 如图：是斜线如图：是斜线AC在内的射影，线段在内的射影，线段BC是是 ACB过斜线上斜足以外的一点向平面引过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做垂线，过垂足和斜足的直线叫做 垂足与斜足间的线段叫做这点到平垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的面的 ( () )射影射影直线直线BC斜线段斜线段AC在内的射影在内的射影 ACB FE说
6、明：说明：斜线上斜线上任意一点在平面任意一点在平面上的射影，一定上的射影，一定在斜线的射影上。在斜线的射影上。思考：思考：斜线上的一个点在平面上的射斜线上的一个点在平面上的射影会在哪呢影会在哪呢？思考思考：从平面外一点从平面外一点向这个平面引的垂线段向这个平面引的垂线段和斜线段，它们的射影和线段本身之间和斜线段，它们的射影和线段本身之间有什么关系？有什么关系？从平面外一点从平面外一点向这个平面所引的垂线向这个平面所引的垂线段和斜线段段和斜线段AB、AC、AD、AE中，那中，那一条最短？一条最短？ ACBDE 垂线段比任何垂线段比任何一条斜线段都短一条斜线段都短如图，如图，AO是平面是平面的垂线
7、段，的垂线段，AB、AC是平面是平面 的斜线段，的斜线段， OB、OC分别分别是是_，则有则有ACB OOB=OC OBOC AB=AC AB AC AB、AC在平面在平面 内的射影内的射影AB=ACAB ACOB=OCOBOCACB O一点一点向向这个平面所引的垂线这个平面所引的垂线段和斜线段中，段和斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长影较长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长的斜线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短垂线段比任何一条斜线段都短2 2射影长定理射影长定
8、理PAO三、直线和平面所成的角：三、直线和平面所成的角： 1 1、如图所示，一条直线、如图所示，一条直线PAPA和平面和平面 相交，但不垂直，相交，但不垂直，这这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A A叫做斜足。叫做斜足。 过斜线上斜足以外的一点过斜线上斜足以外的一点P P向平面引垂线向平面引垂线PO PO ，过垂，过垂足足o o和斜足和斜足A A的直线的直线AOAO叫做斜线在这个平面上的射影。叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。斜线斜线斜足斜足射影射影规定：规定
9、：一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们直线和平面所成角直线和平面所成角的范围是的范围是3、如何作出直线与平面、如何作出直线与平面所成的角所成的角?过直线与平面交点外任意一点过直线与平面交点外任意一点,作平面的垂作平面的垂线线,则斜足与垂足之间的连线则斜足与垂足之间的连线AO与直线与直线PA之间所成的之间所成的锐角锐角(直角或零角直角或零角)就是就是直线与直线与平面所成的角平面所成的角.前面还学过一个什么角前面还学过一个什么角?它的范围是什么它的范围是什么?两条异面直线所成两条异面直线所成的角的角,(00,900
10、PA O直线与平面所成角直线与平面所成角斜线与平面所成角斜线与平面所成角2、注意、注意:(0 ,90 )0 ,90 练习练习1：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1） AB1在平面在平面ABCD上的射影上的射影（2）AB1在平面在平面BB1C1C上的射影上的射影（3）AB1在在平平面面ADD1D上的射影上的射影A1D1C1B1ADCB直线直线AB直线直线BB1直线直线AA1o（4）AB1在平面在平面BB1D1D上的射影上的射影直线直线B1O练习练习2判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确（1）两条平行直线在同一平面内的射影）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行
11、直线一定是平行直线 （ ）（2）两条相交直线在同一平面内的射影）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线一定是相交直线 （ ）（3）两条异面直线在同一平面内的射影）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）（4）若斜线段长相等，则它们在平面内）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等的射影长也相等 （ ）4、求斜线与平面所成的角一般步骤（三步曲）、求斜线与平面所成的角一般步骤（三步曲）（1）作图）作图。作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜。作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两
12、条相交直线所成线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成 的锐的锐角）。作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作角）。作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线。直线。（2）证明）证明。证明某平面角就是斜线和平面所成的角。证明某平面角就是斜线和平面所成的角。（3）计算）计算。通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形。通常在垂线段，斜线段和射影所组成的直角三角形中计算。中计算。 PP1Q一一“作作”二二“证证”三三“计算计算” 关键：关键：确定斜线在平面内的确定斜线在平面内的射影射影. 例例1.线段线段MN长长6厘米，厘米，M到平面到平面的距离是的距离是1厘厘米，
13、米，N到平面到平面的距离是的距离是4厘米，求厘米，求MN与平面与平面所成所成角的余弦值。角的余弦值。MNMNMNMNOOMOM就是就是MN与与所成的角所成的角移出图移出图移出图移出图MNNMO614MMONN614例例2:如图如图,正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求求 (1) 直线直线A1B与平面与平面ABCD所成的角所成的角; (2)直线直线A1B与平面与平面BCC1B1所成的角所成的角; (3)直线直线BD1与平面与平面AD1所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDA1B1C1D1例例2如图如图,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求求(4)直线直线A1B和平面和
14、平面A1B1CD所成的角所成的角.ABCDA1B1C1D1O练习练习1：E解：解：连结连结 A1C1 ，交，交B1D1于于E则则 A1C1B1D1，即，即 A1EB1D1连结连结 BE，则，则练习练习2:2:如图如图, ,在长方体在长方体ABCDABCDABCDABCD中，中，AA=3,AB=4,BC=5,AA=3,AB=4,BC=5,求直线求直线ACAC和平和平面面ABCDABCD所成的角的正弦值所成的角的正弦值练习、练习、如图，正四面体如图，正四面体A-BCD的棱长为的棱长为 a，E为为AD的中点，连结的中点，连结CE（1）求证：顶点）求证：顶点A在底面在底面BCD内射影是内射影是 BCD
15、外心外心BCDAO练习、练习、如图，正四面体如图，正四面体A-BCD的棱长为的棱长为 a，E为为AD的中点，连结的中点，连结CE（2）求）求AD与面与面BCD所成的角的余弦值所成的角的余弦值BCDAO练习、练习、如图，正四面体如图，正四面体A-BCD的棱长为的棱长为 a，E为为AD的中点，连结的中点，连结CE（3）求）求CE与面与面BCD所成角的正弦值所成角的正弦值BCDAOEFBCDAOEAB aaaabbbbAGFEDCBHHC与与FG在平面在平面ABCD上的射影上的射影分别是什么？分别是什么？FG与与EA在平面在平面ABCD上的射影上的射影分别是什么？分别是什么？BC与与A点点DC与与B
16、CHC与与EF在平面在平面ABCD上的射影上的射影分别是什么？分别是什么？DC与与ABABONM 从从平面内一点平面内一点发出的发出的斜线段，长度虽然相等，斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。但射影不一定相等。 从从平面外不同点平面外不同点发出发出的斜线段，长度虽然相等，的斜线段，长度虽然相等，但射影不一定相等。但射影不一定相等。、垂线、斜线、射影、垂线、斜线、射影2 2、射影长定理、射影长定理二、直线和平面所成的角二、直线和平面所成的角、定理及推论、定理及推论一、斜线在平面内的射影一、斜线在平面内的射影、定义、定义小结小结3、直线和平面所成的角的步骤：、直线和平面所成的角的步骤：一一“作作”二二“证证”三三“求求”课后研究：请说出下列各角的范围课后研究：请说出下列各角的范围 1、两条相交直线的夹角、两条相交直线的夹角 2、直线的倾斜角、直线的倾斜角 3、两条异面直线所成的角、两条异面直线所成的角 4、任意两条直线所成的角、任意两条直线所成的角 5、两个向量的夹角、两个向量的夹角 6、斜线和平面所成的角、斜线和平面所成的角