《空间向量证明立体几何问题.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量证明立体几何问题.ppt（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、空间向量证明立体几何问题1、空间直角坐标系、空间直角坐标系以单位正方体以单位正方体 的顶点的顶点O为原点，分别以射线为原点，分别以射线OA，OC， 的方向的方向 为正方为正方向，以线段向，以线段OA，OC， 的的长为单位长，建立三条数轴：长为单位长，建立三条数轴：x轴轴,y轴轴,z轴轴,这时我们建立了一这时我们建立了一个个空间直角坐标系空间直角坐标系CBADOABC xyzO DO DO CDBACOAByzxO为坐标原点，为坐标原点， x轴轴,y轴轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面标轴的平面叫坐标平面一、基本概念一、基本概念xo右手直角坐标系右手直角坐
2、标系yz空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴1112、空间直角坐标系中点的坐标、空间直角坐标系中点的坐标有序实数组（有序实数组（x,y,z）叫做点）叫做点M在此在此空间空间直角坐标系中的坐标，直角坐标系中的坐标，记作记作M（x,y,z）其中其中x叫做点叫做点M的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标, z叫做点叫做点M的竖坐标的竖坐标点点M（X，Y，Z） 如果表示向量如果表示向量n的有向线段所在的直线垂的有向线段所在的直线垂直于平面直于平面,称这个向量垂直于平面称这个向量垂直于平面,记作记作n,这时向量这时向量n叫做平面叫做平面的法向量的法向量. 4、平面的
3、法向量、平面的法向量n /若, 则称 是直线 的方向向量alal3、直线的方向向量、直线的方向向量1、假设平面法向量的坐标为、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据、根据na = 0且且nb = 0可列出方程组可列出方程组11122200 x xy yz zx xy yz z3、取、取某一个变量某一个变量为常数为常数(当然取得越简单越好当然取得越简单越好), 便得到平面法向量便得到平面法向量n的坐标的坐标. anb5、平面法向量的求法、平面法向量的求法设设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面是平面内的两个不共线内的两个不共线的非零向量的非零向量,由直线与平面垂
4、直的判定定理知由直线与平面垂直的判定定理知,若若na且且nb,则则n.换句话说换句话说,若若na = 0且且nb = 0,则则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标可按如下步骤求出平面的法向量的坐标例、已知例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平求平面面ABCABC的法向量的法向量( 4,6, 1),(4,3, 2)ABAC 4604320 xyzxyz解：解：平面平面ABCABC的法向量为的法向量为: :(3,4,12)n 得43zxzy得12z 令(3,4,12)ABCn平面的法向量( , , )nx
5、y z 例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以解：以A为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），（如图），则则O（1，1，0），），A1（0，0，2），），D1（0，2，2），），设平面设平面OA1D1的法向量的法向量为的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由由 =（-1，-1，2），）， =（-1，1，2）得）得 1OA1OD 2020 xyzxyz 20 xzy解得解得取取z =1得平面得平面OA1D1的法向的法向量的坐标量的坐标n=(2,0,1)A A BOzyA1C1B1AxCDD15、两法向量所
6、成的角与二面角的关系、两法向量所成的角与二面角的关系l1n2nl1n2n设设n1 、n2分别是二面角两个半平面分别是二面角两个半平面、的法向量，的法向量，由几何知识可知，二面角由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角求两个平面法向量的夹角.二、基本公式：1 1、两点间的距离公式（线段的长度）、两点间的距离公式（线段的长度）222212121ABABxxyyzz 2 2、向量的长度公式（向量的模）、向量的长度公式（向量的模）2222aaxyz12121 2a bx
7、 xy yz z 2 2、向量的坐标运算公式、向量的坐标运算公式111222( ,)(,)ax y zbxyz若那么121212(,)abxxyyzz111(,)axyz121212|,() a bxx yyzzR111222|xyzabxyz3 3、两个向量平行的条件、两个向量平行的条件4 4、两个向量垂直的条件、两个向量垂直的条件12121 20abx xy yz z或123123123333xxxxyyyyzzzz6 6、重心坐标公式、重心坐标公式5 5、中点坐标公式、中点坐标公式121212222xxxyyyzzz8 8、直线与平面、直线与平面所成角公式所成角公式|sin| | |PM
8、 nPMn (PMlMn为为 的法向量的法向量)7 7、直线与直线所成角公式、直线与直线所成角公式 |cos| |AB CDABCD 9 9、平面与平面所成角公式、平面与平面所成角公式 1212cos| |n nnn ( 为二面角两个半平面的法向量）为二面角两个半平面的法向量）1n2n 1010、点到平面、点到平面的距离公式的距离公式|PMndn （PM为平面为平面 的斜线的斜线, 为平面为平面 的法向量）的法向量）n1111、异面直线的、异面直线的距离公式距离公式|AB ndn （A,B为异面直线上两点为异面直线上两点, 为公垂线的方向向量）为公垂线的方向向量）n四、基本方法1 1、平行问题
9、、平行问题、垂直问题、垂直问题、角度问题、角度问题baba.cos),20(vuvu.cos).0(、距离问题、距离问题（）点到点的距离、点到平面的距离、直线（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。到直线的距离直接用公式求解。（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。解。例：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1111111，取、的中点、 ，BCCACCABACDF11BDAF求与所成的角的余弦值.C
10、A1AB1B1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角五、典型例题五、典型例题A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：题型一：线线角题型一：线线角A1AB1B1C1D1F(1,0,0),(0,1,0),AB解：以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，不妨设 则 11CC CxyzC1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11DBFA1111|3010|AFBDAFBD11cos,AF BD |所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF3010题型二：线面角题型二：线面角ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1
11、B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得222|0 1 80|3 34,344811()3 (0,8,0),AD 又ADANM与平面所成角的正弦值是34343例：例：在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,求与平面所成的角.A NADANM, 61AA|sincos,|AD nAD nAD n题型三：面面角题型三：面面角ABCDS090 ,11,2例、已知，是一直角梯形，平面求面与面所成的二面角的余弦值。ABCDABCSAABCDSAABBCADSCDSBA解： 建立直角坐系A-xyz如所示,
12、),0 ,21, 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)S) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (DSDC),0 ,21, 0(1DAnSBA的法向量易知，面2( , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：设平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn63即所求二面角的余弦值是。xyzxzyABCD1A1D1C1BEF练习练习11111124已知长方体中， 、 分别是，的中点，求异面直线、所成角的大小。ACABBCAAEFADABBECFBAC1AD1C1B1DEFzxy练习练习
13、11111111111111:1: 2(1)(2)(3)如图，已知正方体中， 是中点，点在上，且，求：平面的法向量；直线与平面所成角；平面与平面所成 角的大小。ABCDA B C DEBCFAAA FFAB EFBBB EFB EFA B C DABDC1A1D1C1Bxzy练习练习1111111111112(1)(2)(3)O1为直四棱柱，底面ABCD是直角梯形，DAB= ADC=90 ，求异面直线和所成角；求和底面B所成角；求二面角的大小。ABCDABC DADCDaAAABaACBCACBCCCABA 已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为1，PD 平面平面ABCD，且，且PD=1，E、F分别为分别为AB、BC的中点。的中点。 求证：求证：PE AF； 求点求点D到平面到平面PEF的距离；的距离； 求直线求直线AC到平面到平面PEF的距离；的距离； 求直线求直线PA与与EF的距离；的距离； 求直线求直线PA与与EF所成的角；所成的角； 求求PA与平面与平面PEF所成的角；所成的角； 求二面角求二面角A-PE-F的大小。的大小。ABCDEFPxyz练习练习