模糊控制的数学基础.ppt

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1、随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型和满足实时控制的要求。,人们希望探索一种除数学模型以外的描述手段和处理方法。,例如：骑自行车,水箱水温控制,模糊控制理论的产生和发展,模糊控制就是模仿人的控制过程，其中包含了人的控制经验和知识。模糊控制方法既可用于简单的控制对象，也可用于复杂的过程。,模糊控制以模糊集合论作为数学基础。,1965年L.A.Zadeh(美国教授)首先提出了模糊集合的概念。,1974年E.H.Mamdani(英国教授)首先将模糊集合理论应用于加热器的控制。,2.1 清晰向模糊的转换,2.1.1 经典集合的基本概念,三类数学模型第一类是确定性数学模型确定性数学模型往

2、往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。第二类是随机性数学模型随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确定的，但是它的发生与否却不是确定的。第三类是模糊性数学模型模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不分明，在概念的归属上不明确。,1 经典集合论简介,经典集合-描述清晰概念,康托（Cantor,G.F.P.1845年1918年），德国数学家,把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，

3、看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。 集合中的每个对象叫做这个集合的元素。,属于不属于,1) 基本概念论域 当讨论某个概念的外延或考虑某个问题的议题时，总会圈定一个讨论的范围，这个范围称为论域，常用大写字母 表示 .元素 论域中的每个对象称为元素，常用小写字母 等符号表示集合 在某一论域中，具有某种特定属性的对象的全体成为该论域中的一个集合，常用大写 .或 等表示。,三者相互关系,三者相互关系的常用符号有： 表示元素属于集合， 表示元素不属于集合， 表示集合中的所有元素 表示集合中存在元素,2)普通集合的表示方法列举法 例如：“小于10的正奇数的集合”记为1，3，5，7，

4、9。定义法 例如：是5的整数倍特征函数法例如:,2经典集合的运算全集是包含论域中的全部元素的集合，记为 空集是不包含任何元素的集合，记为 是 的一个子集，记作 ,或集合的幂集，是由集合的所有子集构成的集合,并运算交运算补运算,差运算,集合的直积,元素之间可以互换位置。,序偶中的元素不可以互换位置。,12,BA=(1, a) (1, b) (1, c) (2, a) (2, b) (2, c),(a, 2) (a, 1),(a , 1) (b, 1),3 普通集合运算的基本性质,1交换律2结合律 3.分配律,4.幂等律5同一律 6.零一律 7补余律（互补律）,8.吸收律9德摩根律,10双补律（复

5、原律或称双重否定律）,2.1.2 模糊集合基础,1.模糊集合的模糊概念,天气冷热,雨的大小,风的强弱,人的胖瘦,年龄大小,个子高低,在模糊数学中，我们称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合。 元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。 用于计算隶属度的函数称为隶属函数。,给定论域E中的一个模糊集 ，是指任意元素xE，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数 0，1来表示。,隶属度即论域元素属于模糊集合的程度。用 来表示。隶属度的值为0，1闭区间上的一个数，其值越大，表示该元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低。计算隶属度的函数称为隶属函数。用 表示。,隶属度和

6、隶属函数的表示形式看起来很相似，但是它们的意义是完全不一样的。 指论域中特定元素xi属于A的隶属度，而 中的x是一个变量，可表示论域中的任一元素。,例：设论域U=张三，李四，王五，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都学习好，但又有差异。 若采用普通集合的观点，选取特征函数,此时特征函数分别为(张三)=1，(李四)=1，(王五)=1。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取0，1区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集A的程度，就能够反映出三人的差异。 采用隶属函数 ，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为(张三)=0.

7、95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。用“学习好”这一模糊子集A可表示为：,其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。例3.3 以年龄为论域，取 。Zadeh给出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为,通过Matlab仿真对上述隶属函数作图，隶属函数曲线如图所示。,图 “年轻”的隶属函数曲线,人的“工作认真”程度在0,1中打分，便得到一个从U到0,1的映射，记模糊集 “工作认真”,例如，设,表示4个人，对每个,这样,就确定了一个模糊集，它表示出每个人,对“工作认真”的符合程度。,2. 模糊集合的表示法：,1） Zadeh表示法当论域上的元素为有限个时，

8、定义在该论域上的模糊集可表示为：,注意：式中的“”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。,例 假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为,高个子,当U为无限连续域时，Zadeh给出如下记法,2）序偶表示法 当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为：,或简化为：,对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为,高个子,3) 向量法：,例 高个子,4）隶属函数描述法 论域U上的模糊子集可以

9、完全由其隶属函数表示。,该隶属函数的形状如图,假设年龄的论域为U=15，35，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：,例 设F是远大于0的实数集合，（显然F是模糊集合，而论域U表示全部实数集合）U中任一元素u隶属模糊集合F的隶属度F (u)可有下式来定义：,例: 以人的岁数作为论域U0,120，单位是“岁”，那么“年轻”，“年老”，都是U上的模糊子集。隶属函数如下： “年轻”（u） “年老”（u）,例：设论域U=钢笔，衣服，台灯，纸，他们属于学习用品的隶属度分别为:1， 0， 0.6， 0.8，则模糊集合学习用品可分别用向量表示法和扎德表示法表示如下：,总的复习一下,对论域U上一个确定元素u0是

10、否属于论域上的一个边界可变的集合A*的问题，针对不同的对象进行调查统计，再根据模糊统计规律计算出u0的隶属度。,1. 用模糊统计法确定隶属度的基本思想,2.2 隶属函数2.2.1隶属度及隶属函数的确定,模糊统计法举例,例：用模糊统计法确定27岁的人属于“青年人”模糊集合的 隶属度。,武汉工业大学张南伦教授调查统计结果如下：,表2-1 关于“青年人”年龄的调查,由张教授调查统计结果可知，共调查统计129次，其中27岁的人属于“青年人”这个边界可变的普通集合的次数为101次。根据模糊统计规律计算隶属度为：,求取论域中足够多元素的隶属度，根据这些隶属度求出隶属函数。具体步骤为：,求取论域中足够多元素

11、的隶属度；, 求隶属函数曲线。以论域元素为横坐标，隶属度为纵坐标，画出足够多元素的隶属度（点），将这些点连起来，得到所求模糊结合的隶属函数曲线；, 求隶属函数。将求得的隶属函数曲线与常用隶属函数曲线相比较，取形状相似的隶属函数曲线所对应的函数，修改其参数，使修改参数后的隶属函数的曲线与所求隶属函数曲线一致或非常接近。此时，修改参数后的函数即为所求模糊结合的隶属函数。,隶属函数的确定,表2-2 1535岁的人属于青年人的隶属度,由表2-1可分别计算出1535岁的人属于模糊集合“青年人”的隶属度，计算结果如下表：,例：根据张南伦教授的统计结果，求 青年人模糊集合的隶属函数。,根据表2-2的计算结果

12、，以年龄为横坐标，隶属度为纵坐标，绘出隶属函数曲线如下图所示。,年龄（岁）,15,20,25,30,35,隶属度,1,0,41,所求隶属函数曲线与降半哥西型函数曲线较相似，降半哥西型隶属函数为：,修改降半哥西型隶属函数参数，使其函数曲线与所求隶属函数曲线非常接近。此时取=1/25，a=24.5，=2。参数修改后的降半哥西型函数即为模糊集合“青年人”的隶属函数。即：,2. 主观经验法 当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。,3 神经网络法 利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络的学习自动调整

13、隶属函数的值。,1.左大右小的偏小型下降函数（Z函数）（偏小形）：,0,x,1.0,(x),0,x,1.0,(x),0,x,1.0,(x),2.左小右大的偏大型上升函数（S函数）（偏大形）：,0,1.0,(x),x,0,x,1.0,(x),0,x,1.0,矩形分布,梯形分布,曲线分布,矩形分布,梯形分布,曲线分布,3.对称型凸函数（函数）,0,1.0,(x),x,矩形分布,0,x,1.0,(x),三角形分布,隶属度函数基本图形分为三大类,2.2.2 常用隶属函数,（1）三角形（2）钟形（3）高斯型（4）梯形（5）Sigmoid型,2.3 模糊集合的运算2.3.1 模糊集合的基本运算 由于模糊集

14、是用隶属函数来表征的，因此两个子集之间的运算实际上就是逐点对隶属度作相应的运算。,（1）空集 模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即,（2）全集 模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即,（3）等集 两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数相等，则A和B也相等。即,（4）补集 若 为A的补集，则,例如，设A为“成绩好”的模糊集，某学生 属于“成绩好”的隶属度为： 则 属于“成绩差”的隶属度为：,（5）子集若B为A的子集，则,（6）并集若C为A和B的并集，则C=AB一般地，,（7）交集若C为A和B的交集，则C=AB一般地，,（8）模糊运算的基本性质模糊集合除具有上述基本运算性质外，

15、还具有下表所示的运算性质。,2.3.2 模糊集合的基本运算规律1幂等律AA=A，AA=A2交换律AB=BA，AB=BA3结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC),4吸收律A(AB)=AA(AB)=A5分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB) (AC)6复原律,7对偶律8两极律AE=E，AE=AA=A，A=,例3.4 设 求AB，AB则,例 试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立，即 ，证：设 ，则,例 设x=1,2,3上有两个模糊子集为,则有,2.3.3 模糊集合运算的其他定义,取大取小算法往往会遗漏一些信息例：“德”用A表示，“才”用B代表a,b两人,隶属度分别为：

16、 ，“德才兼备”应为结论一样，但是，实际上a比b好的多，因此，需要其他的定义方法，处理不同的模糊事物,2.3.4 确定隶属函数应遵循的一些基本原则:,例:适中速度的集合是模糊集合.可表示为:,“适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70,从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值是必须是单调递减的,而不允许有波浪形.,1)表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合,2) 变量所取隶属度函数通常是对称的、平衡的,3) 隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠,附近隶属函数的范围,重叠范围,L,U,A1,A2,x,1.0,0,0,0.5,1.0,32,很高,适中

17、,高,交叉越界的隶属函数示意图,重叠指数的定义,速度/km.h-1,4) 论域中每个点至少属于一个隶属函数的区域，并应属于不超过两个隶属函数的区域。5) 当两个隶属函数重叠时，重叠部分对两个隶属函数的最大隶属度不应有交叉。6) 当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于或等于1。,x,2.4 模糊关系及其运算,2.4.1 普通关系,1集合的直积 由两个集合 和 各自的元素， 构成的序偶 的集合，称为集合和的直积，记作,2.二元关系 如果对集合和中的元素之间搭配加以某种限制，则满足此限制的所有序偶构成的集合是直积中的一个子集。定义2-1 设 和 是两个非空集合，集合 和 的直积

18、 的一个子集 称为 到 的一个二元关系，简称关系。,“关系”是集合论中的一个重要概念，它反映了不同集合的元素之间的关联。普通关系是用数学方法描述不同普通集合中的元素之间有无关联。,例 举行一次东西亚足球对抗赛，分两个小组A=中国，日本，韩国，B=伊朗，沙特，阿联酋。抽签决定的对阵形势为：中国-伊朗，日本-阿联酋，韩国-沙特。用R表示两组的对阵关系，则R可用序偶的形式表示为：,R=（中国，伊朗），（日本，阿联酋），（韩国，沙特）,可见关系R是A，B的直积AB的子集。也可将R表示为矩阵形式，假设R中的元素r(i,j)表示A组第i个球队与B组第j个球队的对应关系，如有对阵关系，则r(i,j)为1，否

19、则为0，则R可表示为：,该矩阵称为A和B的关系矩阵。,由普通关系的定义可以看出：在定义了某种关系之后，两个集合的元素对于这种关系要么有关联，r(i,j)1；要么没有关联，r(i,j)0。这种关系是很明确的。,3关系矩阵 关系 可用关系矩阵来表示。关系矩阵的第 行第 列上的元素按如下定义,映射概念,定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作,y=f(x)其中y称为元素x（在映射f下）的像，而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像.,4 映射,人和人之间关系的“亲密”与否？儿子和父亲之间长相的“相像”与否

20、？家庭是否“和睦”？,这些关系就无法简单的用“是”或“否”来描述，而只能描述为“在多大程度上是”或“在多大程度上否“。这些关系就是模糊关系。我们可以将普通关系的概念进行扩展，从而得出模糊关系的定义。,2.4.2 模糊关系,1 模糊关系的定义,例： 我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设儿子与父亲的相像程度为0.8，与母亲的相像程度为0.3；女儿与与父亲的相像程度为0.3，与母亲的相像程度为0.6。则可描述为：,2. 模糊关系的表示方法,1）二元关系的扎德表示法,例： 我们用模糊关系来描述子女与父母长相的“相像”的关系，假设儿子与父亲的相像程度为0.8，与母亲的相像程度为0.3

21、；女儿与与父亲的相像程度为0.3，与母亲的相像程度为0.6。则可描述为：,2）二元模糊关系的列表表示法,模糊关系常常用矩阵的形式来描述。假设xU，yV ，则U到V的模糊关系可以用矩阵描述为,则上例中的模糊关系又可以用矩阵描述为：,3）二元模糊关系的矩阵表示法,4）二元模糊关系的函数表示法,例：若取 ,令,2.4.3 模糊关系的运算,假设R和S是论域上UV的两个模糊关系，分别描述为：,那么，模糊关系的运算规则可描述如下 ：,模糊关系的相等：,模糊关系的包含：,模糊关系的并：,模糊关系的交：,模糊关系的补：,例 已知,求：,解：根据模糊关系的运算规则得：,2.4.4 F关系的合成定义 设有模糊关系

22、矩阵及 ，。则R对S合成运算 指的是一个 行 列的模糊关系矩阵 ，其中的第 行第 列元素 等于 的第 行元素与 的第 列的对应元素两两先进行取小运算，然后再所得结果中进行取大运算所得结果，即,模糊关系的合成,设R是论域UV上的模糊关系，S是论域VW上的模糊关系，R和S分别描述为：,则R和S可以合成为论域UW上的一个新的模糊关系C，记做,1)取大-取小合成法（）,合成运算法则为：,.模糊关系和模糊矩阵的合成例子,例 某家中，子女与父母的长像相似关系R是模糊关系。,可看作A=子，女、B=父，母,模糊关系可表示为：,模糊矩阵R=,该家中父母与祖父母（C=祖父，祖母）的相似关系也是模糊关系：,模糊矩阵

23、S=,孙子、孙女与祖父母的相似程度？,RS=,=,=,此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2;孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。,2）取大-乘积合成法,已知F关系矩阵 ,求解：设 ，则：,某个大家庭中第三代有孙子a和孙子b，第二代有父亲c和母亲d，这两代间的外貌“相像”关系为R1；第二代的父母与第一代祖父e和祖母f,外祖父g和外祖母h间的“相像”的关系为R2。已知F关系R1和R2分别为：试问第三代孙子、孙女与祖父母、外祖父母的“相像”程度如何,解：若用F关系矩阵 ,那么，子女与祖父母、外祖父母的相像关系就是,2.5 模糊向清晰的转换,2.5.1 模糊集合的截集1.

24、模糊集与经典集合间的转换,水平截集的定义 在论域U中，给定一个模糊集合A，由对于A的隶属度大于某一水平值（阈值）的元素组成的集合，叫做该模糊集合的水平截集。用公式可以描述如下：,其中xU，0,1。显然，A是一个普通集合。,2.5.2 模糊关系矩阵的截矩阵设F矩阵其中 是 的函数，它的取值,例 设F矩阵，求解,2.5.3 模糊集合转为数值的常用方法,把模糊集合转化为单个数值，即选定一个清晰数值去代表某个表述模糊事物或概念的模糊集合，这是用途最多的一种模糊到清晰的转化方法清晰化或反模糊化,1 面积中心（重心）法,设论域U上F集合A的隶属函数为A（u）。假设面积中心对应的横坐标为Ucen,则按照面积中心法的定义，可由下式算出,2. 面积平分法,3. 最大隶属度法1）（最大隶属度）平均值法2）（最大隶属度）最大值法3）（最大隶属度）最小值法,现有一个模糊集合A，它的隶属函数为分别用五种清晰化方法，求出清晰化的结果,解 按照题设,（1）面积中心法,