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1、3.33.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式3.3.13.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 问题提出问题提出t57301p2 1. 1.在平面几何中，我们只能对直线作定在平面几何中，我们只能对直线作定性的研究，如平行、相交、垂直等性的研究，如平行、相交、垂直等. .在平面在平面直角坐标系中，我们用二元一次方程表示直直角坐标系中，我们用二元一次方程表示直线，从而可以对直线进行定量分析，如确定线，从而可以对直线进行定量分析，如确定直线的斜率、截距等直线的斜率、截距等. . 2. 2.在同一平面内，两条直线之间存在同一平面内，两条直线之间存在平行、相交、重合等位置关系，
2、这些在平行、相交、重合等位置关系，这些位置关系的基本特征与公共点的个数有位置关系的基本特征与公共点的个数有关关. . 因此，如何将两直线的交点进行量因此，如何将两直线的交点进行量化，便成为一个新的课题化，便成为一个新的课题. .知识探究（一）：知识探究（一）：两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 思考思考1:1:若点若点P P在直线在直线l上，则点上，则点P P的坐标的坐标(x(x0 0，y y0 0) )与直线与直线l的方程的方程Ax+By+CAx+By+C=0=0有什么有什么关系？关系？ 思考思考2:2:直线直线2x+y-1=02x+y-1=0与直线与直线2x+y+1=02x+y+1=0，
3、直线直线3x+4y-2=03x+4y-2=0与直线与直线2x+y+2=02x+y+2=0的位置的位置关系分别如何？关系分别如何？ 思考思考3:3:能根据图形确定直线能根据图形确定直线3x+4y-2=03x+4y-2=0与与直线直线2x+y+2=02x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标法求得这两条直线的交点坐标？x xy yo oP P思考思考4:4:一般地，若直线一般地，若直线l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，如何求其交点相交，如何求其交点
4、坐标？坐标？几何元素及关系几何元素及关系 代数表示代数表示点点A A A (a, b) A (a, b) 直线直线l点点A A在直线在直线l上上 直线直线l1 1与与l2 2的交点是的交点是A A 0:CyBxAl0CBbAa00222111CyBxACyBxA点点A A的坐标是方程组的解的坐标是方程组的解思考思考5 5：对于两条直线对于两条直线 和和 , ,若方程组若方程组 有惟一解，有无数组解，无解，则两直有惟一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？线的位置关系如何？0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl00222111CyBxACyBxA知识探究（二）：知识探究（二）：
5、过交点的直线系过交点的直线系 思考思考1:1:经过直线经过直线l1 1：3x+4y-2=03x+4y-2=0与直线与直线l2 2：2x+y+2=02x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？将这些直线的方程统一表示吗？思考思考2:2:方程方程 （m m，n n不同时为不同时为0 0）表示什么图形？）表示什么图形？ m(342)(22)0 xynxy y-2=k(x+2)y-2=k(x+2)和和x=-2x=-2思考思考3:3:上述直线上述直线l1 1与直线与直线l2 2的交点的交点M M （-2-2，2 2）在这条直线上吗？当）在这条直线上吗？
6、当m m，n n为何为何值时，方程值时，方程 分别表示直线分别表示直线l1 1和和l2 2？m(342)(22)0 xynxy思考思考4:4:方程方程 表示的直线包括过交点表示的直线包括过交点M M（-2-2，2 2）的所）的所有直线吗？有直线吗？ 342(22)0 xyxy思考思考5:5:方程方程 表示经过直线表示经过直线l1 1和和l2 2的交点的直线系，一的交点的直线系，一般地，经过两相交直线般地，经过两相交直线l1 1: :A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和l2 2: :A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线系方程的交点的直线系方
7、程可怎样表示？可怎样表示？m(342)(22)0 xynxy m m(A(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+)+n n(A(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0理论迁移理论迁移 例例1 1 判断下列各对直线的位置关判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标系，如果相交，求出其交点的坐标. 10,lx y ：233 10 0;lxy ：1340,lxy：26210;lxy ：13450,lxy ：268100.lxy：（1 1）（2 2）（3 3） 例例3 3 设直线设直线y=k(x+3)-2y=k(x+3)-2和和x+4y-4=0 x+4y-4=0
8、相交，且交点相交，且交点P P在第一象限，求在第一象限，求k k的取值的取值范围范围. . 例例2 2 求经过两直线求经过两直线3x+2y+1=03x+2y+1=0和和 2x-3y+5=02x-3y+5=0的交点，且斜率为的交点，且斜率为3 3的直线的直线方程方程. .x xy yo oB BA AP P作业：作业：P109 P109 习题习题3.3A3.3A组：组：1 1，3 3，5.5.P110 P110 习题习题3.3B3.3B组：组：1.1.3.2.2 3.2.2 两点间的距离两点间的距离问题提出问题提出 1.1.在平面直角坐标系中，根据直线在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两
9、直线平行、垂直等位的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系之间的相对位置关系. . 2.2.平面上点与点之间的相对位置关平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？系一般通过什么数量关系来反映？知识探究（一）：两点间的距离公式知识探究（一）：两点间的距离公式思考思考1:1:在在x x轴上，已知点轴上，已知点P P1 1(x(x1 1，0)0)和和P P2 2(x(x2 2，0)0)，那么点，那么点P P1 1和和P P2 2的距离
10、为多少？的距离为多少？ 思考思考2:2:在在y y轴上，已知点轴上，已知点P P1 1(0(0，y y1 1) )和和P P2 2(0(0，y y2 2) )，那么点，那么点P P1 1和和P P2 2的距离为多少？的距离为多少？ |P|P1 1P P2 2|=|x|=|x1 1-x-x2 2| |P|P1 1P P2 2|=|y|=|y1 1-y-y2 2| |思考思考3:3:已知已知x x轴上一点轴上一点P P1 1(x(x0 0，0)0)和和y y轴上轴上一点一点P P2 2(0(0，y y0 0) )，那么点，那么点P P1 1和和P P2 2的距离为的距离为多少？多少？ 221200
11、|PPxyx xy yo oP P1 1P P2 2思考思考4:4:在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P P1 1(2(2，-1)-1)和和P P2 2(-3(-3，2)2)，如何计算点，如何计算点P P1 1和和P P2 2的距离？的距离？22221212|5334PPPMPMx xy yo oP P1 1P P2 2M M思考思考5:5:一般地，已知平面上两点一般地，已知平面上两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，利用上述方法求点，利用上述方法求点P P1 1和和P P2 2的距离可得什么结论？的距离可得什么
12、结论？22122121|()()PPxxyyx xy yo oP P1 1P P2 2M M思考思考6:6:当直线当直线P P1 1P P2 2与坐标轴垂直时，上与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？述结论是否成立？ 思考思考7:7:特别地，点特别地，点P(xP(x，y)y)与坐标原点的与坐标原点的距离是什么？距离是什么？ 22|OPxyx xy yo oP P1 1P P2 2P P1 1P P2 2知识探究（二）：距离公式的变式探究知识探究（二）：距离公式的变式探究思考思考1:1:已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2，y y2
13、 2) )，直线，直线P P1 1P P2 2的斜率为的斜率为k k，则，则 y y2 2-y-y1 1可怎样表示？从而点可怎样表示？从而点P P1 1和和P P2 2的距离的距离公式可作怎样的变形？公式可作怎样的变形？21221| |1PPxxk思考思考2:2:已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )和和P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，直线，直线P P1 1P P2 2的斜率为的斜率为k k，则，则x x2 2-x-x1 1可怎样表示？从而点可怎样表示？从而点P P1 1和和P P2 2的距的距离公式又可作怎样的变形？离公式又可作怎样的变形？
14、122121| |1P Pyyk思考思考3:3:上述两个结论是两点间距离公式上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？的两种变形，其使用条件分别是什么？ 思考思考4:4:若已知若已知 和和 ，如何，如何求求 ？12xx12xx21|xx21221212| |11|1PPxxkyyk2211212|()4xxxxx x理论迁移理论迁移 例例1 1 已知点已知点 和和 , , 在在x x轴上求一点轴上求一点P P，使，使|PA|=|PB|PA|=|PB|，并求，并求|PA|PA|的值的值. .( 1,2)A )72,(B 例例2 2 设直线设直线2x-y+1=02x-y+1=0
15、与抛物线与抛物线 相交于相交于A A、B B两点，求两点，求|AB|AB|的的值值. .234y xx 例例3 3 证明平行四边形四条边的平方证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和和等于两条对角线的平方和. .xyA(0,0)A(0,0)B(a,0)B(a,0)C (a+bC (a+b, c), c)D (b, c)D (b, c) 用用“坐标法坐标法”解决有关几何问题的解决有关几何问题的基本步骤：基本步骤：第一步；建立坐标系，第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量用坐标系表示有关的量第二步：进行第二步：进行有关代数运算有关代数运算第三步：把代数运算结果第三步：把代数运算结果“翻
16、译翻译”成几何关系成几何关系作业：作业：P106P106练习：练习：1 1，2.2.P110P110习题习题3.3A3.3A组：组：6 6，7 7，8.8.3.3.3 3.3.3 点到点到直线的距离直线的距离3.3.4 3.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 问题提出问题提出 1. 1.直角坐标平面上两点间的距离公直角坐标平面上两点间的距离公式是什么？它有哪些变形式是什么？它有哪些变形？ 2. 2.构成平面图形的基本元素为点和构成平面图形的基本元素为点和直线，就距离而言有哪几种基本类型？直线，就距离而言有哪几种基本类型？ 3. 3.已知平面上三点已知平面上三点A(-2A(-2，1
17、)1)，B(2B(2， -2)-2)，C(8C(8，6)6)，若求，若求ABCABC的面积需要解的面积需要解决什么问题？决什么问题？ 4. 4.我们已经掌握了点与点之间的距我们已经掌握了点与点之间的距离公式，如何求点到直线的距离、两条离公式，如何求点到直线的距离、两条平行直线间的距离便成为新的课题平行直线间的距离便成为新的课题. .知识探究（一）：点到直线的距离知识探究（一）：点到直线的距离思考思考1:1:点到直线的距离的含义是什么？点到直线的距离的含义是什么？在直角坐标系中，若已知点在直角坐标系中，若已知点P P的坐标和直的坐标和直线线l的方程，那么点的方程，那么点P P到直线到直线l的距离
18、是否的距离是否确定？确定？ 思考思考2:2:若点若点P P在直线在直线l上，则点上，则点P P到直线到直线l的距离为多少？若直线的距离为多少？若直线l平行于坐标轴，平行于坐标轴，则点则点P P到直线到直线l的距离如何计算？的距离如何计算？思考思考3:3:一般地，设点一般地，设点P(xP(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离为的距离为d d，试设想，试设想d d的值与的值与哪些元素有关？哪些元素有关？思考思考4:4:你能设计一个方案求点你能设计一个方案求点P(xP(x0 0，y y0 0) )到直线到直线l：Ax+By+C=0Ax+By+C=0的
19、距离吗？的距离吗？ x xo oP PQ Qly yB BA A这是这是点到直线的距离公式点到直线的距离公式.当直线当直线l平行平行于坐标轴时，公式是否成立？于坐标轴时，公式是否成立？思考思考5:5:根据上述分析，点根据上述分析，点P(xP(x0 0，y y0 0) )到直到直线线l：Ax +By +C=0Ax +By +C=0的距离为：的距离为： 0022|AxByCdAB知识探究（二）：两平行直线的距离知识探究（二）：两平行直线的距离思考思考1:1:两条平行直线的相对位置关系常两条平行直线的相对位置关系常通过距离来反映，两平行直线间的距离通过距离来反映，两平行直线间的距离的含义是什么？的含
20、义是什么？ 思考思考2:2:你有什么办法求两条平行直线之你有什么办法求两条平行直线之间的距离？间的距离？A AB B思考思考4:4:根据上述思路，你能推导出两平根据上述思路，你能推导出两平行直线行直线l1 1：Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与l2 2：Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0（C C1 1CC2 2）之间的距离）之间的距离d d的计算公式吗？的计算公式吗？1222|CCdAB思考思考3:3:直线直线l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0平行的条件是什么？平行的条件是
21、什么？ xyol2l1P理论迁移理论迁移 例例1 1 求点求点P(-1, 2)P(-1, 2)到直线到直线 的距离的距离. .23:xl 例例2 2 已知点已知点A(1, 3), B(3, 1), A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),C(-1, 0),求求ABCABC的面积的面积. .xyoA AC CB Bh h 例例3 3 已知直线已知直线 和和 与与 , ,l1与与l2是否平行？若平是否平行？若平行行, ,求求l1 1与与l2 2的距离的距离. .0872:1 yxl01216:2yxl 例例4 4 已知直线已知直线l过点过点 ，且原点，且原点O O到直线到直线l的距离为的距离为 ，求直线，求直线l的方程的方程. . (0, 10)A5 作业：作业： P110P110习题习题3.3A3.3A组：组： 9 9，10.10. 习题习题3.3B3.3B组：组：2 2，4 4，5.5.