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1、复习（一）复习（一）定理定理1 1：两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。定理定理3 3：三组边的比相等，两三角形相似。三组边的比相等，两三角形相似。A= AA= A B= BB= BABCABCA AB BC CA A C C C CA AC C B B B BC CB B A A A AB BABCABCA AB BC C定理定理2 2：两组边的比相等且夹角相等，两组边的比相等且夹角相等， 两三角形相似。两三角形相似。ABCABCA AB BC CA BA BB CB CB= BB= BA AC CB BA AB BC C一、一、相似三角形的判定定理：相似三角形的判定定理
2、：直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定: :BCABCA直角边和斜边的比相等，两直角直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。三角形相似。 ABA BACAC=C=C =90oRtABCRtABC解：解：(1)AA 当当ACPB时时, ACPABC. (2)AA 当当AC:AP=AB:AC 时，时， ACPABC.例例1已知：如图，已知：如图，ABC中，中，P是是AB边上的一点，边上的一点，连结连结C P ，(1)ACP满足什么条件时满足什么条件时,ACPABC? (2)AC AP满足什么条件时满足什么条件时,ACPABC?APBC二、例题欣赏二、例题欣赏答：当答：当1= ACB 或或2=
3、B 或或AC:APAB:AC, ACPABC. 解解:A=A，当当1= ACB (或或2= B)时时,ACPABC .如果将题目变为：如果将题目变为：已知已知:如图如图,ABC中中,P是是AB边上的一点边上的一点,连结连结CP满足什么条件时满足什么条件时, ACPABCAPBC12 A=A，当当AC:APAB:AC时，时， ACPABC.一一. .填空选择题填空选择题: :1.(1)1.(1) ABC ABC中中,D,D、E E分别是分别是ABAB、ACAC上的点，且上的点，且AED= BAED= B，那么，那么 AED AED ABC ABC，从而，从而 (2) (2) ABC ABC中，中
4、，ABAB的中点为的中点为E E，ACAC的中点为的中点为D D，连结连结EDED， 则则 AED AED与与 ABC ABC的相似比为的相似比为_._.ACAD( ) =DEBC 1:2A AB BC CD DE EA AB BC CD DE E2.2.如图，如图，DEBC, AD:DB=2:3, DEBC, AD:DB=2:3, 则则 AED AED和和 ABCABC的相似比为的相似比为. .3. 3. 已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6,3:4:6,和它相似和它相似的三角形乙的最大边为的三角形乙的最大边为10cm10cm， 则三角形乙的则三角形乙的最短边为最短边为_c
5、m._cm.4.4.等腰三角形等腰三角形ABCABC的腰长为的腰长为18cm18cm，底边长为，底边长为6cm,6cm,在腰在腰ACAC上取点上取点D, D, 使使ABC ABC BDC, BDC, 则则DC=_.DC=_.2:552cmA AB BC CD DE EA AB BC CD D5.5.如图，如图，ADE ADE ACB,DE:BC=_ACB,DE:BC=_6.6.如图，如图，D D是是ABCABC一边一边BCBC上一点，上一点，连接连接AD,AD,使使ABC ABC DBADBA的条件是（的条件是（ ）. .A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:ADA.AC:BC=A
6、D:BD B.AC:BC=AB:ADC.ABC.AB2 2=CD=CDBC D.ABBC D.AB2 2=BD=BDBCBC1:3DD DA AC CB BABCDE3 33 32 27 77. D7. D、E E分别为分别为ABC ABC 的的ABAB、ACAC上上的点，且的点，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形么图中共有相似三角形_组。组。4A AB BE ED DC C解解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD
7、ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC二、证明题：二、证明题：1.D1.D为为ABCABC中中ABAB边上一点，边上一点，ACD= ABC.ACD= ABC.求证：求证：ACAC2 2=AD=ADAB.AB.2.2.ABCABC中中, BAC, BAC是直角，过斜是直角，过斜边中点边中点M M而垂直于斜边而垂直于斜边BCBC的直线的直线交交CACA的延长线于的延长线于E E，交，交ABAB于于D,D,连连AM.AM.求证：求证： MAD MAD MEA MEA AM AM2 2=MD =MD ME ME3. 3. 如图，如图，ABCDA
8、BCD，AO=OBAO=OB，DF=FBDF=FB，DFDF交交ACAC于于E E，求证：求证：EDED2 2=EO =EO EC. EC.A AB BC CD DA AC CD DE EM MA AB BC CD DE EF FO OB B4.4.过过 ABCDABCD的一个顶点的一个顶点A A作一直作一直线分别交对角线线分别交对角线BDBD、边、边BCBC、边、边DCDC的延长线于的延长线于E E、F F、G . G . 求证：求证：EAEA2 2 = EF= EF EG . EG .5.5.ABCABC为锐角三角形，为锐角三角形，BDBD、CECE为高为高 . .求证：求证： ADE A
9、DE ABC ABC（用两种方法证明）（用两种方法证明）. .6. 6. 已知在已知在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90 ADBC,E ADBC,E是是ACAC的中点，的中点，EDED交交 ABAB的延长线于的延长线于F.F.求证求证: AB:AC=DF:AF.: AB:AC=DF:AF.A AB BC CD DE EF FG GA AB BC CD DE EA AD DE EF FB BC C 解解:AED=B, A=A AED ABC（两角对（两角对 应相等，两三角形相似）应相等，两三角形相似） 1.(1) ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上的点，上的点， 且且AED=
10、 B，那么，那么 AED ABC， 从而从而AD( ) =DEBC ABCDE 解解 :D、E分别为分别为AB、AC的中点的中点 DEBC，且，且 ADEABC 即即ADE与与ABC的相似比为的相似比为1:2 (2) ABC中，中，AB的中点为的中点为D，AC的中点为的中点为E，连结，连结DE，则，则 ADE与与 ABC的相似比为的相似比为_ABCDE2. 解解: DEBC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即即ADE与与ABC的相似比为的相似比为2:5 如图，如图，DEBC, AD:DB=
11、2:3, 则则 AED和和 ABC 的相似比为的相似比为.ABCDE3.3.已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:63:4:6， 和它相似的三角形乙和它相似的三角形乙的最大边为的最大边为10cm10cm， 则三角形乙的最短边为则三角形乙的最短边为_cm._cm.解解: 设三角形甲为设三角形甲为ABC ，三角，三角形乙为形乙为 DEF，且，且DEF的最大的最大边为边为DE，最短边为，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3即即 10:EF=6:3 EF=5cmDEFABC4.等腰三角形等腰三角形ABCABC的腰长为的腰长为18cm18cm，底边长为，底边长为6cm,6cm,在
12、在 腰腰ACAC上取点上取点D, D, 使使ABC ABC BDC, BDC, 则则DC=_.DC=_.解解: ABC BDC 即即 DC=2cmA AB BC CD D5.ABCDE3327解解: ADEACB且且 如图，如图，ADE ACB, 则则DE:BC=_ 。7. D7. D、E E分别为分别为ABC ABC 的的ABAB、ACAC上上的点，且的点，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形么图中共有相似三角形_组。组。4A AB BE ED DC C解: DEBC ADE= B, EDC=DCB
13、=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC1. D为为ABC中中AB边上一点，边上一点，ACD= ABC. 求证：求证：AC2=ADAB分析分析:要证明要证明AC2=ADAB，需，需要先将乘积式改写为比例要先将乘积式改写为比例式式 ，再证明，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。似，本题可证。证明证明: ACD= ABC A =
14、 A ABC ACD AC2=ADABA AB BC CD D2. ABC中，中， BAC是直角，过斜边中点是直角，过斜边中点M而垂直于而垂直于 斜边斜边BC的直线交的直线交CA的延长线于的延长线于E， 交交AB于于D，连，连AM. 求证：求证： MAD MEA AM2=MD ME分析：分析：已知中与线段有关的条件仅有已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是是 MAD 与与 MEA 的公共边，故的公共边，故是对应边是对应边MD、ME的比例中项。的比例中项。证明：证明：BAC=
15、90 M为斜边为斜边BC中点中点 AM=BM=BC/2 B= MAD又又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADEB=EMAD= E又又 DMA= AMEMAD MEA MAD MEA 即即AM2=MDMEACDEMB3. 如图，如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交交AC于于E， 求证：求证：ED2=EO EC.分析分析：欲证：欲证 ED2=EOEC，即证：，即证： ，只需证，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。所在的三角形相似。证明证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又又 DEO= DEC EDCEOD ，
16、即，即 ED2=EO ECEDEO =ECED ABCDEFO4. 过过ABCD的一个顶点的一个顶点A作一直线分别交对角线作一直线分别交对角线BD、边边 BC、边、边DC的延长线于的延长线于E、F、G . 求证：求证：EA2 = EF EG . 分析：分析：要证明要证明 EA2 = EF EG ，即即 证明证明 成成立，而立，而EA、EG、EF三三条线段在同一直线上，条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.EAEG =EFEA 证明：证明： ADBF ABBC A
17、ED FEB AEB GEDA AB BC CD DE EF FG G5. ABC为锐角三角形，为锐角三角形，BD、CE为高为高 . 求证：求证： ADE ABC（用两种方法证明）（用两种方法证明）.证明一：证明一： BDAC，CEAB ABD+A=90， ACE+A= 90 ABD= ACE 又又 A= A ABD ACE A= A ADE ABC 证明二：证明二： BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即即 又又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90， 2+ 3= 90 BCD= 3 又又 A= A ADE ABCODODOEOEOCOCOBOBO O
18、D DO OC CO OE EO OB B1O O2 23 3A AB BC CD DE E17. D7. D、E E分别为分别为ABC ABC 的的ABAB、ACAC上上的点，且的点，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，那把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形么图中共有相似三角形_组。组。4A AB BE ED DC C解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC6
19、. 已知在已知在ABC中，中，BAC=90，ADBC，E是是AC的的 中点，中点，ED交交AB的延长线于的延长线于F. 求证求证: AB:AC=DF:AF.分析：分析：因因ABCABD，所以，所以 ， 要证要证 即证即证 ， 需证需证BDFDAF.A AF FD DF FA AC CA AB BA AD DB BD DA AC CA AB BA AF FD DF FA AD DB BD D证明：证明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是是AC的中点，的中点，ED=EC EDC= C EDC = BDF A AF FD DF FA AD DB BD D BDF= C= BAD又又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD A AD DB BD DA AC CA AB BA AF FD DF FA AC CA AB BA AD DE EF FB BC C