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1、新人教版-八年级（上）-数学-第十一章11.2.1 三角形的内角三角形的内角 学学 习习 目目 标标11.掌握三角形内角和定理及其推论掌握三角形内角和定理及其推论2.会用添加辅助线的方法进行证明会用添加辅助线的方法进行证明3.灵活运用三角形内角和定理灵活运用三角形内角和定理重点 ： 1、能用多种方法证明三角形内角和定理 2、会在证明中添加合适的辅助线。三角形两边的夹角叫做三角形的内角三角形的内角在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个
2、家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?30+60+90=180 45+45+90=180思考与探索把三个角拼在一起试试看把三个角拼在一起试试看三角形的内角和是180度。方法一：方法一：ABC演示下一页123方法二方法二: 将各角沿着一边所在的直线折叠将各角沿着一边所在的直线折叠 如果如果ABCABC是画在一块不能分割的平面上，如是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把在黑板上，这时就不可能做到把A A、B B撕下来撕下来再分
3、别放在再分别放在1 1、2 2的位置上，的位置上，那么又如何论证那么又如何论证A+B+C= 180A+B+C= 180呢？呢？ A B C 1 2 D E 21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，于是CEBA (内错角相等，两直线平行).B=2 (两直线平行，同位角相等).1+2+ACB=180A+B+ACB=180在ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作1=A，证法一(等量代换等量代换)21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D， 过C作CEBA， A=1 (两直线平行，内错角相等)B=2(两直线平行，同位角相等)1+2+ACB=180A+B+ACB=180证
4、法二(等量代换等量代换)F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EFBC，B=2(两直线平行,内错角相等) C=1(两直线平行,内错角相等) 2+1+BAC=180B+C+BAC=180证法三(等量代换等量代换)CBEA三角形的内角和等于1800.过A作AEBC，B=BAE(两直线平行,内错角相等)EAB+BAC+C=180(两直线平行,同旁内角互补)B+C+BAC=180证法四(等量代换等量代换) 在这里，为了证明的需要，在原来在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做的图形上添画的线叫做辅助线辅助线。在平面。在平面几何里，辅助线通常画成几何里，辅助线通常画成虚线虚线。 为了
5、证明三个角的和为为了证明三个角的和为1800,转转化为一个平角或同旁内角互补化为一个平角或同旁内角互补,这这种种转化思想转化思想是数学中的常用方法是数学中的常用方法.思路总结思路总结三角形内角和定理三角形内角和定理: :三角形的内角和等于三角形的内角和等于1801800 0. .即即在在ABC中，中， A +B +C=180 wA+B+C=A+B+C=1800的几种变形的几种变形:wA=A=1800 (B+C).(B+C).wB=B=1800 (A+C).(A+C).wC=C=1800 (A+B).(A+B).wA+B=A+B=1800-C.C.wB+C=B+C=1800-A.A.wA+C=A
6、+C=1800-B.B.w这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . 三种语言三种语言ABCCBA2.推论：推论： 直角三角形中，两锐角互余。直角三角形中，两锐角互余。 即在直角即在直角 A B C 中，若中，若C =90， 则则A +B =90 。定理应用定理应用 三角形的三内角和是三角形的三内角和是180 ，所以三内角可，所以三内角可能出现的情况：能出现的情况：一个钝角一个钝角 两个锐角两个锐角钝角三角形钝角三角形锐角三角形锐角三角形一个直角一个直角 两个锐角两个锐角直角三角形直角三角形三个都为锐角三个都为锐角钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角
7、形(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（2）60， 40， 90（3）30， 60， 50（1）3， 150， 27 （是是 ）（ 不是不是）（ 不是不是）巩固练习已知三角形三个内角的度数之比为已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,由三角形内角和为由三角形内角和为180 得得x+3x+5x=180解得解得x=20所以三个内角度数分别为所以三个内角度数分别为20 ,60 ,100 。（1）在）在ABC中，中，A=35， B=43 C= . （2）在）在ABC中，中， A
8、 :B:C=2:3:4则则A = _ B= C= . （3） A ： B ：C=3：2：1，问，问 ABC是是_三三角形角形.（4） A C =35 B C =10 ，则，则B =？（5）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角，最多有个直角，最多有_ 个钝角个钝角，最多有，最多有_个锐角，个锐角，至少有至少有 个锐角。个锐角。（6）任意一个三角形中）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少最大的一个角的度数至少为为 .应用新知应用新知7.在在ABC中，若中，若A+B=2C，则，则C= 。8.ABC中中,若若ABC,则则ABC是（是（ ）320440480ABC已知ABC中,ABCC=2A
9、 ,BD是AC边上的高，求DBC的度数。D解：设Ax0，则ABCC2x0 x2x2x180 （三角形内角和定理）解得x36C2360720DBC1800900720（三角形内角和定理）在BDC中，BDC900(三角形高的定义）DBC180?例题讲解例题讲解1 1如图,C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向。求下面各题.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _ A(2)从C岛看A 、B两岛的视角C是多少?508040DBCE北北解： ADBE DABABE180 ABE 180DAB 180 80 100 在在ABC中中,C 180 CAB AB
10、C 18030 60 90 ABCABECBE30 1004060例题讲解例题讲解2 2方法一DCE北A50B40 北MN在AMC中 AMC=90, MAC=50解：过点C画MNAD分别交AD、BE于点M、N12方法二方法二1=180 -90-50 =40 ADBE AMC+ BNC =180 BNC =90同理得2 =50 ACB =180 -1 -2=180 -40-50 =90BDCE北A 你能想出一个更简捷的方法来求C的度数吗？125040解：解： 过点过点C画画CFAD 1DAC50 , F CFAD, 又又AD BE CF BE2CBE 40 ACB12 50 40 90 方法三方
11、法三解解：在在ACD中中 CAD 30 D 90 DABC ACD =180 -30 -90 =6 0 在在BCD中中 CBD = 45 D 90 BCD = 180 - 90-45 =45 ACB = ACD - BCD = 6 0 - 45 =15巩固练习1.如图,从A处观测C处时仰角CAD30,从B处观测C处时仰角CBD45.从C处观测A、B两处时视角ACB是多少?2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )(A)带去带去(B)带去带去(C)带去带去(D)带和去带和去C巩固练习3.ABC中,若ABC,则ABC是( )
12、A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形D、等腰三角形4. 一个三角形至少有（ ） A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角BB巩固练习5. 如图ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50, 求BDC的度数.ABCDE解:A70 ACB=180 -A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB30602121ACBDCBDCBBBDC1801003050180巩固练习证明：证明： DE BC （已知）（已知） AED= C（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） C=700（已知）（已知） AED= 700 （等量代换）（等量
13、代换） A+ AED+ ADE=1800（三角形的内角和定理）（三角形的内角和定理） A=600（已知）（已知） ADE=1800600700=500（等量代换）（等量代换） 即即 ADE= 500DCBAE6、已知、已知:如图在如图在ABC中，中，DEBC,A=60, C=70. 求证：求证： ADE=507 7、如图，直线、如图，直线ABABCD,CD,在在ABAB、CDCD外有一点外有一点P P，连结，连结 PBPB、PDPD，交，交CDCD于于E E点。点。 则则 B B、 D D、 P P 之间是否存在一定的大小关系？之间是否存在一定的大小关系？A AB BC CP PD DE E他
14、们是怎样的，并加以证明他们是怎样的，并加以证明？甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米解:由题意知ABC45,90ACBABCACBABCBAC1804590180 45BC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考12、在中，如果= B= C，那么是什么三角形？2131解:设A=x,那么B=2x,C=3x根据题意得:18032xxx解得 30 xA=30,B=60,C=90所以是直角三角形拓展与思考2小结1、三角形的内角和定理：三角形内角和为1802、由三角形内角和等于180，可得出(1)推论：推论： 直角三角形中，两锐角互余；直角三角形中，两锐角互余；(2)一个三角形最多有一个直角、一个钝角、三个锐角，最少有两个锐角；(3)一个三角形中至少有一个角小于或等于603、三角形按角分类：斜三角形三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形