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1、分式方程分式方程本课内容本节内容2.52.5.1 可化为一元一次可化为一元一次 方程的分式方程方程的分式方程 李老师的家离学校李老师的家离学校3000m.某一天早晨某一天早晨7:30，她离开家骑自行车去学校她离开家骑自行车去学校.开始以开始以2.5 m/ /s的速度的速度匀速行驶了匀速行驶了360s，遇到交通堵塞，耽搁了，遇到交通堵塞，耽搁了240s；然后她以速度然后她以速度v( (单位：单位：m/ /s) )匀速行驶到学校匀速行驶到学校.设设她从家到学校总共花的时间为她从家到学校总共花的时间为t( (单位：单位：s) ). .动脑筋动脑筋（1）写出）写出t的表达式；的表达式；（2）如果李老师
2、想在）如果李老师想在7:50到达学校，到达学校，v应等于应等于 多少？多少？分析分析 李老师在遇到交通堵塞时，已经走了李老师在遇到交通堵塞时，已经走了 多少米？还剩下多少米？多少米？还剩下多少米？已经走了已经走了2.5360=900( (m) )，还剩下还剩下3000- -900=2100( (m) ).剩下的这一段路需要多少时间？剩下的这一段路需要多少时间？2100 s .( )( )v需需要要 现在你能写出现在你能写出 t 的表达式吗？的表达式吗？2100=360+240+ .tv 如果李老师想在如果李老师想在7:50到达学校，那么她从到达学校，那么她从家到学校总共花的时间家到学校总共花的
3、时间 t 等于多少？等于多少？总共花总共花50 3060=1200 s .()( )()( )- -21001200=360+240+ .v 现在你能写出现在你能写出 v 满足的方程吗？满足的方程吗？ 如何解这个方程？如何解这个方程？原方程可以整理成原方程可以整理成两边乘两边乘 v，得，得 600v = 2100.两边除以两边除以600，得，得 v=3.5( (m/s) ).2100600= .v 因此，如果李老师想在因此，如果李老师想在7:50到达学校，她到达学校，她在后面一段在后面一段路程路程骑车速度应为骑车速度应为3.5 m/s. 像像1200=360+240+ 这样，分母里含有这样，分
4、母里含有未知数的方程叫做未知数的方程叫做分式方程分式方程.2100v 分式方程的解也叫做分式方程的分式方程的解也叫做分式方程的根根. 从上面的例子看到，解分式方程的关键是从上面的例子看到，解分式方程的关键是把含未知数的分母去掉，这可以通过在方程的把含未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边两边同同乘各个分式的最简公分母达到乘各个分式的最简公分母达到. 例例1 解方程解方程 ：举举例例53=2xx- -解解 方程两边方程两边同同乘最简公分母乘最简公分母x( (x- -2) )，得得 5x=3( (x- -2) ). 解这个一元一次方程，得解这个一元一次方程，得x=- -3.检验：把检验：把x=-
5、 -3代入原方程的左边和右边，得代入原方程的左边和右边，得因此因此x=- -3是原方程的一个解是原方程的一个解.左边左边 = ，右边，右边 =5= 13 2- - - -3= 1.3- - -例例2 解方程解方程 ：举举例例 214=.24xx- - -解解 方程两边方程两边同同乘最简公分母乘最简公分母( (x+2)()(x- -2) )，得得 x+2=4. 解这个一元一次方程，得解这个一元一次方程，得x=2.检验：把检验：把x=2代入原方程的左边，得代入原方程的左边，得左边左边 = 11= .2 20- - 由于除数乘商等于被除数，而由于除数乘商等于被除数，而0乘任何数乘任何数都等于都等于0
6、，不会等于，不会等于1，因此，因此 不存在不存在.这说明这说明x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程没不是原分式方程的根，从而原分式方程没有根有根.10 从从例例2看到，方程左边的分式的分母看到，方程左边的分式的分母x- -2是最是最简公分母的一个因式简公分母的一个因式. 这启发我们，在检验时只要把所求出的这启发我们，在检验时只要把所求出的x的的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于不等于0，那么它是原分式方程的一个根；，那么它是原分式方程的一个根； 如果它使最简公分母的值为如果它使最简公分母的值为0，那么它不是，那么它不是原分式方程的根，
7、称它是原方程的原分式方程的根，称它是原方程的增根增根. 例例2 解方程：解方程： 214=.24xx- - - 从从例例2看到看到，解分式方程有可能产生增解分式方程有可能产生增根根，因此解分式方程必须检验因此解分式方程必须检验.例例3 解方程解方程 ：举举例例 7+3=.11xxx-解解 方程两边方程两边同同乘最简公分母乘最简公分母x- -1，得得 7+3( (x- -1) )=x. 解这个一元一次方程，得解这个一元一次方程，得x=- -2.检验：把检验：把x=- -2时，最简公分母时，最简公分母x- -1的值为的值为- -2- -1=- -30因此因此x=- -2是原方程的一个根是原方程的一
8、个根. 上面几个例子都是可以化成一元一次上面几个例子都是可以化成一元一次方程的分式方程方程的分式方程. 解这种类型的分式方程的算法如下：解这种类型的分式方程的算法如下：分式方程分式方程一元一次方程一元一次方程x = cx=c使最简公分母的值等于使最简公分母的值等于0？x=c是原方程的增是原方程的增根，原方程无解根，原方程无解.x=c 是原方程根是原方程根.方程两边同乘各个分式的最简公分母方程两边同乘各个分式的最简公分母解一元一次方程解一元一次方程检验检验是是否否练习练习解下列方程：解下列方程： 511=23( ) ( ) ；xx- -1= 5x 答答案案： 22+=3211 2( ) ( )
9、；xxx- 13+=111( ) ( ) ；xxx-答案：答案：x = 532x = 答答案案：- - 22314=1( ) .( ) .xxx-答案：无解答案：无解中考中考 试题试题例例1分式方程分式方程 的解是的解是 （ ） A.- -3 B.2 C.3 D.- -2 53=2- -xxA解析解析 将各选项的值代入检验或者直将各选项的值代入检验或者直接解出方程接解出方程. .只有只有A项正确，故选项正确，故选A. .中考中考 试题试题例例2 解分式方程解分式方程 ，可知，可知方程（方程（ ） A. 解为解为x=2 B. 解为解为x=4 C. 解为解为x=3 D. 无解无解 11+2=22x
10、xx- -解析解析在方程两边同乘以在方程两边同乘以( (x- -2) )，约去分母，约去分母，得得 1- -x+2( (x- -2) )=- -1，1- -x+2x- -4=- -1，x=2. .检验，当检验，当x=2时，时，x- -2=2- -2=0，所以所以x=2是增根是增根. .原方程无解原方程无解. .D中考中考 试题试题例例3 分式方程分式方程 的解为的解为 . 12=+11- -xx解析解析x- -1=2( (x+1) )，- -x=3，x=- -3,检验：当检验：当x=- -3时，时， ( (x+1)()(x- -1) )0，所以所以x=- -3是原分式方程的解是原分式方程的解. .x = - -3结结 束束