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1、 曲线和方程曲线和方程0 yx两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是的方程是.0 yx这就是说：这就是说：如果点如果点M(x0 ，y0)是这条直线上的任意是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即即 x0 = y0，那么它的坐标那么它的坐标(x0 ，y0)就就是方程是方程 x-y=0 的解；的解；反过来，如果反过来，如果(x0 ，y0)是方程是方程 x-y=0 的解，即的解，即x0 = y0，那么以这个解为坐标那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分
2、线上。平分线上。这样，我们就说这样，我们就说 x-y=0是这条直线的方程，是这条直线的方程，这条直线叫做方程这条直线叫做方程 x-y=0的直线。的直线。试一试试一试说明圆心为说明圆心为P(a，b)，半径等于，半径等于r的圆的方程是的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2(1)设设M(x0,y0)是圆上任意一点，因为点是圆上任意一点，因为点M到圆心的距离等于到圆心的距离等于r 所以所以 也就是也就是(x0-a)2+(y0-b)2=r2 即即(x0,y0)是方程是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解的解2200()()xaybr (2)设设(x0,y0)是方程是方程(x-a)2+(y-b)
3、2=r2的解，则有的解，则有 (x0-a)2+(y0-b)2=r2两边开方取算术根，得两边开方取算术根，得 即点即点M(x0，y0)到点到点P的距离等于的距离等于r，所以点，所以点M是这个圆上的点是这个圆上的点 由由(1)(2)可知，可知， (x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为是圆心为P(a，b)，半径等于半径等于r的圆的方程的圆的方程2200()()xaybr 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点上的点与一个二元方程与一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的的实数解建立了如下的关系：关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标
4、都是这个方程 的解；的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做那么这个方程叫做曲线的方程曲线的方程；这条曲线叫做；这条曲线叫做方程方程的曲线（图形）的曲线（图形）。说明：说明： （1）“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解” ，阐，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外所有的点都符合这个条件而毫无例外（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫
5、无遗漏明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏由曲线的方程的定义可知，由曲线的方程的定义可知， 如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x，y)=0，那么点，那么点P0(x0 ，y0)在曲线在曲线C 上的上的 充要条件是充要条件是f(x0，y0)=0 .问题研讨问题研讨例例1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点）过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线为轴的直线为x=3 （2）到）到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2 （3）到两坐标轴距离乘积等于）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为xy=1对错错变式训练：写出下列半
6、圆的方程变式训练：写出下列半圆的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx条件甲：条件甲：“曲线曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f(xf(x，y)=0 y)=0 的解的解”，条件乙：条件乙：“曲线曲线C C是方程是方程f (xf (x，y)=0 y)=0 的曲线的曲线”，则甲是乙的，则甲是乙的( )( )(A)(A)充分非必要条件充分非必要条件 (B)(B)必要条件必要条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)非充分也非非充分也非必要条件必要条件B若命题若命题“曲线曲线C C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(xf(x，y)=0 y)=0 ”是正
7、确的，是正确的，则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )( )(A)(A)方程方程f(xf(x，y)=0 y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C C (B)(B)坐标满足坐标满足 f(xf(x，y)=0 y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C C上上( C )( C ) 方 程方 程 f ( xf ( x ， y ) = 0y ) = 0 的 曲 线 是 曲 线的 曲 线 是 曲 线 C C 的 一 部 分 或 是 曲 线的 一 部 分 或 是 曲 线C C (D)(D)曲线曲线C C是方程是方程f(xf(x，y)=0y)=0的曲线的一部分或是全部的曲线的一部分或是全部D例例2 设设A,
8、B两点的坐标分别是两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段求线段AB的垂直平分线的方程。的垂直平分线的方程。MBMAMPMAByxM属于集合点上的任意一点，也就是的垂直平分线是线段解：如图，设),(2222)7()3() 1() 1(yxyxM表示为适合的条件可点由两点间的距离公式，072 yx得上式两边平方，并整理坐标都是方程的解。垂直平分线上每一点的由求方程的过程可知，) 1 (ABlM(x,y)111111127, 072),()2(yxyxyxM是方程的解，即的坐标设点)136(5) 1()28() 1() 1(,1212121212111yyyyyxAMBAM的距离分别是到
9、点)136(5)7()24()7()3(121212121211yyyyyxBM的垂直平分线上。在线段即点所以ABMBMAM,11直平分线的方程。可知，方程是线段的垂由)2(),1 (求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲表示曲线上任意一点线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=Mp(M);（3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;（4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的
10、点都在曲线）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。上。复习回顾复习回顾曲线的方程和方程的曲线的概念：曲线的方程和方程的曲线的概念： 在直角坐标系中，如果某曲线在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一上的点与一个二元方程个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系：的实数解满足下列关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做 方程的曲线方程的曲线.求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：1. 建
11、系：建系：建立适当的坐标系，用建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上表示曲线上任意一点任意一点;. 几何列式：几何列式：写出满足条件的点的集合写出满足条件的点的集合/(M) ;. 代数方程：代数方程：将点坐标（将点坐标（x,y）代入几何条件，）代入几何条件，列出方程列出方程 f (x,y) =0;4. 化简：化简：化方程为最简形式；化方程为最简形式；. 证明：证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹。已知点的轨迹。22yx yx 1. 1.直接法直接法:动点运动的规律简单、明确，易于表达，可动点运动的规律简单、明确，易于表达，可将条件直接写
12、成关于将条件直接写成关于“x,y”的关系式的关系式例例1长为长为2a（a是正常数）的线段是正常数）的线段AB的两端点的两端点A，B分别分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点中点 M的轨迹的轨迹例求平面内到两个定点、例求平面内到两个定点、B的距离之比等于的的距离之比等于的动点的轨迹方程动点的轨迹方程变题：求平面内到两个定点、变题：求平面内到两个定点、B的距离之比等于的距离之比等于 的动点的轨迹的动点的轨迹.01 且课本课本P57 1、2这个方法又叫相关点法或坐标转移法即利用动点这个方法又叫相关点法或坐标转移法即利用动点P(x,y)是定曲线是定曲线F(x,
13、y)=0上的动点，另一动点上的动点，另一动点P(x，y)依赖于依赖于P(x,y)，那么可寻求关系式，那么可寻求关系式x=f(x,y),y=g(x,y)后代入方程后代入方程F(x,y)=0中，得到动点中，得到动点P的轨迹方程的轨迹方程2. 2. 代入法代入法例例3:已知点已知点A(2，0)，点，点P在圆在圆x2+y2=1上，上，AP的中点为的中点为Q，求点求点Q的轨迹方程的轨迹方程提示：利用提示：利用“定比分点坐标公式定比分点坐标公式”变题变题:已知点已知点A(2，0)，点，点P在圆在圆x2+y2=1上半圆周上上半圆周上(即即y0)，AOP的平分线交的平分线交PA于于Q，求点，求点Q的轨迹方程的
14、轨迹方程 已知已知ABC，A(一一2，0)，B(0，一，一2)，第三个顶点，第三个顶点c在在曲线曲线y=3x2-1上移动，求上移动，求ABC的重心的轨迹方程的重心的轨迹方程同类变式同类变式练习练习:(课时训练课时训练13例例1)设抛物线过点设抛物线过点A(0,2),且以且以x轴为准线轴为准线,求抛物线顶点求抛物线顶点M的轨迹的方程的轨迹的方程.22(1)1(0)4xyy3、几何法、几何法就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法例例4：已知线段：已知线段lABla，端点，端点A在在X轴正半轴上轴正半轴上(包括原点包括原点) 运动，端点运动，端点B在射线
15、在射线l： (xO)上运动，过点上运动，过点A 且垂直于且垂直于x轴的直线与过点轴的直线与过点B且垂直于直线且垂直于直线l的直线相的直线相 交于交于P，求，求P点的轨迹方程点的轨迹方程3yx 求出轨迹方程后，注意考查曲求出轨迹方程后，注意考查曲线的完备性和纯粹性，以防线的完备性和纯粹性，以防“疏漏疏漏”和和“不纯不纯”本例容本例容易忽视考虑纯粹性，即漏掉易忽视考虑纯粹性，即漏掉Oxa，y0同类变式同类变式 线段线段AB长为长为a+b，其中，其中a0，b0，其两端点，其两端点A，B分别在分别在x轴，轴，y轴上，轴上，P为为AB上的一个定点，且上的一个定点，且|BP|=a，求当，求当A,B分别在两
16、轴上滑动时点分别在两轴上滑动时点P的轨迹方程的轨迹方程4、参数法、参数法根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别表示动点的坐标坐标x和和y，间接地把坐标，间接地把坐标x和和y联系起来，得到用参数表示联系起来，得到用参数表示的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程的方程，如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程例已知抛物线例已知抛物线y2=2x过点（，）作一直线过点（，）作一直线交抛物线于、两点，试求弦的中点的轨迹方程交抛物线于、两点，试求弦的中点的轨迹方程如图如图,三定点三定点A(2,1),B(0,-1),C(-2,1),三动点三动点D,E
17、,F满足满足 ,t0,1.(1)求动直线求动直线DE斜率的变化范围斜率的变化范围;(2)求动点求动点M的轨迹方程的轨迹方程. (2006陕西陕西),ADtAB BEtBC DMtDE xyOABCEMD 例：在边长为例：在边长为a的正方形的正方形ABCD中，中，AB、BC边上各有一边上各有一 个动点个动点Q、R，且，且|BQ|=|CR|，试求直线，试求直线AR与与DQ的的 交点交点P的轨迹方程的轨迹方程解析解析:建立直角坐标系后，注建立直角坐标系后，注意到意到|BQ|=|CR|，即，即|AQ|=|BR|而而P为两直线为两直线AR与与DQ的交点因而应引进参数，的交点因而应引进参数，用参数法求其轨
18、迹方程用参数法求其轨迹方程5、交轨法、交轨法在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程消去参数求出所求轨迹的方程已知两点已知两点P(-2，2)，Q(0，2)以及一条直线以及一条直线l：y=x，设长为，设长为 的线段的线段AB在直线在直线l上移动，求直线上移动，求直线PA和和QB的交点的交点M的的轨迹方程轨迹方程同类变式同类变式2椭圆椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)的左右顶点分别为的左右顶点分别为A,B,MN为垂直
19、于长轴为垂直于长轴AB的弦的弦,求求AM与与BN的交点的交点的轨迹方程的轨迹方程.思考题思考题求证：不论求证：不论m取任何实数，方程取任何实数，方程 (3m4)x(52m)y7m60所表示的曲线必经过一个定点，并求出所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标。这一点的坐标。1.(全国高考题全国高考题)已知点已知点Q(2,0)和圆和圆C:x2+y2=1,动动点点M到圆到圆C的切线长等于圆的切线长等于圆C的半径与的半径与|MQ|的和的和.求动点求动点M的轨迹方程的轨迹方程.2233850()2xyxx直译法直译法代入法代入法2.如图如图,已知点已知点P(4,0)在圆在圆x2+y2=36内内,A,B是圆是圆上两动点上两动点,且满足且满足APB=90,求矩形求矩形APBQ的的顶点顶点Q的轨迹方程的轨迹方程.xyOPABQRR点轨迹方程点轨迹方程224100 xyxQ点轨迹方程点轨迹方程2256xy定义法定义法P48习题习题11变题变题:有一张长为有一张长为8,宽为宽为4的矩形纸片的矩形纸片ABCD,按图示方法进行折叠按图示方法进行折叠,使每次折叠后点使每次折叠后点B都都在在AD边上边上,此时将此时将B记为记为B,过过B作作BTCD交交EF于于T点点,求求T点的轨迹方程点的轨迹方程.AABCDEFTB