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2、用LINGO 11.0软件求解线性规划模型并分析在某些资源变动时对该模型所产生的影响并寻求最优生产方案。关键词：企业生产计划；线性规划；数学模型；LINGO 11.0Abstract：In the enterprise production process, the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises. Therefore,enterprises in the development ofproductionplan,formulated to op
3、timize theresourcesof manpower andtimeis the keyproblem offace.Andto establish the linear programming modelis one of the effective waysto solvetheproblem.This paper aimed atthelimited resourceconstraints,by establishinglinear programming modelcorrespondingtomake production planin order to realize th
4、e maximization ofenterprise resource optimization,interest,andusing LINGO11.0 software tosolve the linear programming modelandanalysisthe influence onthe modelin some resourcechangesand seek theoptimal productionplan.Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model；LINGO 11.0目录1线性规划问题
5、概述（1）1.1线性规划问题的基本概念（1）1.2 线性规划方法的应用范围与求解的基本步骤（1）1.3 线性规划模型的基本概念（2）1.4 建立线性规划模型的一般步骤（2）1.5 线性规划模型的求解方法（3）2.线性规划在企业生产计划中的应用（3）2.1 线性规划在企业生产计划中应用的背景（3）2.2 把线性规划运用到企业生产中的作用和意义（4）2.3 针对企业生产计划模型的分析（4）2.4建立生产计划决策分析的线性规划模型（5）2.5 案例及相关分析（5）3总结 （11）参考文献（12）致谢（13）专心-专注-专业线性规划模型在企业生产计划中的应用1. 线性规划问题概述1.1线性规划问题的基
6、本概念线性规划是运筹学中，研究较早、发展较快、应用较多、方法较成熟的一个重要分支，也是最基本部分，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法-单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。它所研究的问题主要有两类:一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到以最少的人力、物力资源去完成任务；另一类是对已有的人力、物力资源，如何安排使用，并完成任务的。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
7、满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。由此，我们给出线性规划的一般定义如下：钱辰，李姝.线性规划方法在企业生产中的应用J.中国高新技术企业，2011,(3)42.求一组变量Xj(j=1,2,3,n)的值，使之满足关于这组变量的若干个线性等式或不等式的约束条件，并使这组变量的一个线性函数取得极值(极小或极大)，其中，这些变量称为决策变量，所要优化的函数称为目标函数，此类问题称为“线性规划”(Linear Programming，简记LP)问题。其中，决策变量、约束条件和目标函数是线性规划的三要素。1.2 线性规划方法的应用范围与求解的基本步骤高红卫，线性规划方法应用详
8、解 M，北京，科学出版社，2004.12-15.（1）线性规划方法的应用范围，可以用一种归纳性的叙述加以概括为：凡是能用线性约束方程（等式或者不等式）组描述其内部运行规则，且有明确的线性优化目标的问题，都可以用线性规划的方法求解。无论这些问题属于哪个领域，只要能满足上述条件，都属于线性规划方法的应用范围。比如一些常见的领域有：企业营销策划、产品生产计划、采购与库存管理、物流管理、理财与投资、人事管理、系统综合评价、工程设计优化、宏观经济运行调控、城市管理、作战规划等。（2）求解线性规划问题的基本步骤可以总结如下： 提出并抽象问题 建立数学模型 求解 检验解 解的灵敏度分析 解的回归1.3 线性
9、规划模型的基本概念线性规划问题的模型是由一组含有等式、不等式的代数方程以及一个具有求极值关系的目标函数（优化函数）表达式构成的复合式抽象数学模型。（1）线性规划模型的构成需要具备以下条件： 需要求解的问题所包含的每一种资源数量都是确定的，而且每个决策变量也都是确定的，其取值范围也是已知的，并且问题所包含的每一种决策变量与相关资源之间的约束关系、不同决策变量对于某一种资源的需求之和与该资源的现有总量的对应关系（用,之一来表示）都是确定的。 存在一个确定的、期望达到的目标（极大或极小值），并且这个目标可用对全部或部分决策变量与相关价值（费用）系数乘积之和（称为目标函数）来表达。（2）线性规划模型的
10、一般形式如下：孙庭锋.浅析线性规划在企业生产计划中的应用J.商业经济, 2006. (276):18.目标函数 (1)约束条件 (2) (一般为非负性)其中，(j=1,2,n) 称为价值(费用)系数或目标函数系数。(j=1,2,n）称为决策变量的非负约束条件，若其取值范围为 （，）时，则称为任意变量（无约束变量）。(j=1,2,n）称为资源常数或简称约束右端系。( i=1,2,m ;j=1,2,n）称为技术系数或约束系数。1.4 建立线性规划模型的一般步骤建立数学模型是解线性规划问题的第一步，也是关键的一步。一个好的数学模型必须对问题的系统及其同内外部环境的关系进行概括，根据实际需要提的出问题
11、，进行求解。由上述可知，如何确定决策变量、约束条件和目标函数是解决线性规划问题模型的关键。具体的建立步骤如下： 根据已知条件设置决策变量。即寻找所要求解或间接求解的未知数并用(j=1,2,n）表示出来。 确定目标函数。用上面所确定的变量建立一个线性函数（此处为一次函数），再根据具体问题明确是求目标函数的极大值或是极小值。 确定资源常量并找出决策变量之间的关系及其与资源约束常量之间的关系，建立等式或不等式线性方程。 确定决策变量的取值范围。 整理所得到的代数表达式，形成规范的线性规划数学模型。1.5 线性规划模型的求解方法线性规划模型建立之后就需要求出个决策变量的最优解以及目标函数的最优值。经过
12、几十年的发展，其解法多样并且逐渐成熟。当决策变量个数比较少时比较常用图解法，即直接根据约束条件在坐标轴上画出可行域并找出最优解。而目前求解线性规划问题的基本方法是单纯行法。它需要将模型的一般形式变换成标准形式后再运用矩阵的计算方式得到最优解。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。现有的计算机软件基本上是利用上述方法的原理。例如：Excel、MATLAB、LINDO和LINGO等软件。本文后面的案例主要运用软件LINGO 11.0进行求解、分析。2. 线性规划在企业生产计划中的应用2.1 线性规划在企业生产计划中应用的背景随着经济全球化的不
13、断发展，企业之间的竞争与合作也日渐成熟与激烈，企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力。即如何应用最小的资源成本获得最大的利益永远是企业发展的核心目的。只有在生产、销售、新产品研发等一系列过程中发挥自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。因此根据市场的需求有计划的生产变成为其必不可少的手段之一，特别是在资源有限的情况下。而实践证明，线性规划模型是制定企业生产计划行之有效地重要方法。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划方法进行合理的配置，从而增加了企业的生产负担，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去
14、的方式，无疑是会被淘汰的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。此外线性规划问题在农业、工业、服务业、军事、运输和计划管理等多方而都越来越受重视、越来越得到广泛的运用。所以运用线性规划知识统筹企业的生产计划是大势所趋、是合理的。本文中笔者试图通过线性规划具体模型的建立并用计算机软件求解结果，以及对相关参数的分析，阐述线性规划是解决企业生产计划问题的一个有效方法。2.2 把线性规划运用到企业生产中的作用和意义 把线性规划的知识运用到企业生产中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，能够及时、准确、科学、有效地制定生产计划、投资计划以及对资
15、源进行合理配置。其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中统筹兼顾、优化配置，提高了企业的效率。过去企业在制定计划时，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活。而运用线性规划并配合计算机软件进行测算非常简便易行，在很短时间内选择出最优方案的同时，也提高了企业决策的科学性和可靠性。这对企业是大有益处的。2.3 针对企业生产计划模型的分析 由上述对线性规划问题和企业之间关系的介绍，可知生产计划问题分析完全符合线性规划建模的条件，可以运用线性规划来分析生产计划方案优化问题。但
16、是，应用线性规划来进行生产计划问题分析，首先要先弄清以下几点：王树祥,武新霞,卜少利,线性规划在企业生产计划中的应用及模型的建立和求解J.2007年管理论丛与教育研究专刊,2007,(S2):196.（1）必须明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，它是以企业利润作为评价目标值，所寻求的目标是使企业利润最大化的生产计划方案，因此，企业利润最大化应是生产计划决策分析的目标函数。（2）必须明确约束条件。企业的资金，生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多制约因素与生产计划分析密切相关，称为生产计划分析中目标函数的约束条件。约束条件对生产计划分析的影响较大，在不同条件下，决策分析的
17、结论则会不同。比如，就市场需求和企业生产能力之间的关系而言，企业所处状态可有三种类型：供不应求状态，即市场对产品的需求超过了企业的生产能力；供过于求状态，即企业生产能力超过了市场需要；供求平衡波动状态，即供求平衡的状态，或者有时处于不足状态，有时又处于过剩状态。（3）必须明确单件利润。单件利润不仅牵扯到产品的单件收入，还要牵扯到生产所耗费的各项成本及费用。建立产品生产计划优化模型的目的，就在于辅助生产管理，从系统全局角度，统筹兼顾。因此，为了挖掘出企业生产管理中的各种潜力，在生产计划上应该是越细致越好。而越细致的计划，起变量的个数必然会越多。因此变量的确定对模型的正确建立起着至关重要的作用。但
18、这样一来就会产生一些问题：当变量细化到一定的程度时，变量太多，不但求解的难度加大，而且有关的市场、企业内部的各种技术经济参数得不到充分的支持，从而给建模带来很大的困难，甚至在应用上与实际信息不协调，变得无从掌握。使建立的模型与实际误差较大；相反的，如果把模型建的很粗放，更是会失去其实用性。因此，正确的做法应该是对上述内容进行合理折衷。2.4建立生产计划决策分析的线性规划模型生产计划决策分析的基木方法是以利润最大化作为优化目标，明确未知变量，确定约束条件，建立线性规划模型，最终实现企业效益最大化的生产计划。其一般模式： 目标函数为利润P = 销售收入R（成本+费用）C在各约束条件下，使目标函数达
19、到最大值。分析企业实际生产过程中的日产量情况，设模型的未知变量为企业生产的产品种类日产量(j=1,2,n),建立生产计划决策分析线性规划模型的过程如下：孙庭锋.浅析线性规划在企业生产计划中的应用J.商业经济, 2006. (276):19.(1) 目标函数。企业进行生产计划决策的目标值是企业利润最大化。现假设生产各种产品所获得的销售收入与所耗费的产品成本和费用的总和均已知，则可以得出生产计划问题的目标函数为：(2) 原材料约束。无论是生产何种产品都需要消耗一定的原材料，在企业实际中若需耗用多种原材料则可根据原材料的种类，增添相应约束条件即可。建立约束不等式：其中：分别为生产第1,2,n种产品的
20、单件材料消耗, 为企业每种可用原材料总量。(3) 生产能力约束。此约束具体表现为企业的可用工作时间或可用设备工时，而企业在一定时期内可用工时是有限的，所以可建立如下约束不等式：其中：分别为生产第1,2,n种产品的单件消耗工时,为企业的日可用的工时、设备总量。(4) 市场需求约束。为了说明问题的方便，假设企业生产的产品市场都有需求，即，无上限约束。若第j种产品市场需求有限，最大需求为，则可增加约束。(5) 非负约束。因为生产实际中最多即为不生产产品，所以所有变量。2.5 案例及相关分析为了探讨生产计划决策分析线性规划模型在企业实际中的应用，接下来通过案例建立线性规划模型以及应用软件进行求解并分析
21、模型结果。实例描述：牛奶生产销售计划何坚勇,最优化方法 M，北京:清华大学出版社， 2007.175.一奶制品加工厂用牛奶生产两种普通奶制品，以及两种高级奶制品，分别是由深加工开发得到的。已知每一桶牛奶可以在甲类设备上用12h加工成3kg，或者在乙类设备上用8h加工成4kg；深加工时，用2h并花1.5元加工费，可将1kg加工成0.8kg，也可将1kg加工成0.75kg。根据市场要求，生产的4种奶制品全部能售出，且每公斤,获利分别为12元、8元、22元、16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间最多为480h，并且乙类设备和深加工设备的加工能力没有限制，但甲类设备的数
22、量相对较少，每天至多能加工100kg。试为该厂制定一个生产计划，是每天的净利润最大，并讨论以下问题：（1） 若投资15元，可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资？（2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，支付给临时工人的工资最多是每小时几元？模型的分析与建立： 这是一个有约束的优化问题，其模型应该包含决策变量、目标函数和约束条件。根据上一节所总结的步骤可分析如下：决策变量 用决策变量表述生产计划，它并不是唯一的，设,每天的销售量分别为(kg)。也是的产量。设工厂用(kg)加工成，(kg)加工成（增设决策变量，可以使模型表达更清晰）目标函数 目标函数是每天的净利润z，即,的获利之和扣除深加工费，容
23、易写出 （元）。约束条件原料供应：每天的产量为(kg)，用牛奶()/3(桶)，每天的产量为(kg)，用牛奶()/4(桶)，两者之和不得超过每天的供应量50(桶)。劳动时间：每天生产的时间分别为4()和2()，加工的时间分别为2和2，两者之和不得超过总的劳动时间480h。设备能力：每天的产量不得超过甲类设备的加工能力100(kg)。加工约束：1(kg)加工成0.8(kg)，故=0.8；类似地=0.75。非负约束：均为非负。由此得到如下基本模型：；显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划问题，求出的最优解将给出使净利润最大的生产销售计划，要讨论的问题需考虑参数的变化对最优解和最优值的影
24、响，即灵敏度分析。整理后为：模型求解： 利用线性规划软件LINGO11.0在该编程区域中编写语言建立模型并求解如下所示：model:max =12*x1+8*x2+22*x3+16*x4-1.5*x5-1.5*x6;4*x1+3*x2+4*x5+3*x6=600;2*x1+x2+3*x5+2*x6=240;x1+x5=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;x6=0;end程序编程完之后，选择LINGO菜单中Solve选项，即可得到结果如表1所示:表1 计量单位：元Global optimal solution found.Objective value: 1730.400Infeasib
25、ilities: 0.Total solver iterations: 2VariableValueReduced CostX10.0.X2168.00000.X319.200000.X40.0.X524.000000.X60.0.RowSlack or SurplusDual Price11730.4001.20.1.30.3.476.000000.50.22.0000060.16.0000070.0.8168.00000.919.200000.100.0.1124.000000.120.0.由表1可知：软件经过2次迭代后即找到全局最优解，目标函数最大值为1730.4，变量值分别为：.即每天
26、生产销售168(kg)和19.2(kg)(不出售,)，可获净利润1730.4元。为此，需用8桶牛奶加工成24(kg)，42桶加工成168(kg)，并将得到的24(kg)全部深加工成19.2(kg)。其中，“ReducedCost”表示最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时,目标函数的变化率(最优解中变量的此值自动为零)。其中基变量的ReducedCost值应为0，对于非基变量,相应的ReducedCost值表示当某个变量增加一个单位时目标函数减少的量(max型问题)。(注：min型问题时表示当某个变量增加一个单位时目标函数增加的量)。如上例中：变量(即每天的生产销售量)
27、对应的ReducedCost值为0.84，表示当非基变量的值从0变为1时(此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化)，即每天的生产销售量增加一个单位时，最优的目标函数值z1730.40.841729.56（元）。“Row”是结果模型的行号，“Slack or Surplus”的含义为松弛或剩余，也就是限制条件左右两边的差值，对于报告中“=”小等式，左端减去右端的差值称为Surplus(剩余)。如上例中除非负约束外都属于松弛，且：第1行松弛变量=1730.4（模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束）第2行松弛变量=0第3行松弛变量=0第4行松弛变量=76第
28、5行松弛变量=0第6行松弛变量=0第7至第12行指非负约束后的变量值，即实际上为所求的最优解。“Dual Price” 的含义是影子价格(或对偶价格)表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个影子价格。若其数值为p，表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位，目标函数将增加p个单位(max型问题)。显然，如果在最优解处约束正好取等号(也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束)，影子价格值才可能不是0。本例中：第2、3、5、6行是紧约束，对应的影子价格值为1.58、3.26、22、16，表示当紧约束2)变为 2)时，目标函数值z1730.4+1.581731
29、.98。对第3、5、6行也类似。对于非紧约束(本例中第4行是非紧约束)，Dual Price的值为0,表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。简而言之，从上述运行结果报告中可得：Row 2的松弛值为0，说明第二行的原料约束条件已达到饱和状态(即50桶牛奶全部用完),影子价格为1.58元，意思是说,若能每增加1桶牛奶，原约束的(即在整理前)(1)式的目标利润增加1.58元。但因左右两端需同时乘以12以去分母。因此每增加一桶牛奶的实际利润应为：1.581218.96(元)。所以在问题（1）“若投资15元，可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资?”中，显然18.9615,因此投资增加牛奶的
30、供应量是值得的。Row 3的松弛值也为0，同样表明劳动时间得到充分的利用的饱和状态(480h)，影子价格为3.26元。即工时能力每增加1h，在原约束的(2)式的目标函数利润增加3.26元。但在整理时式子左右两端需同时除以2，因此实际的目标函数利润为：3.2621.63元。所以在问题（2）“若可以聘用临时工人以增加劳动时间，支付给临时工人的工资最多是每小时几元?”中，每小时支付给临时工的工资每小时不超过1.63(元)。Row 4的松弛值为76,这表明按最优解(X4=0)安排甲类设备的加工能力时，每天甲类设备有76kg的加工能力剩余，实际加工为：10076=24(kg)。因此单纯的增加甲类设备的加
31、工能力对目标函数的最优值不起作用，所以影子价格为0。同理可知，在Row 5、Row 6中，分别每增加1kg的，其目标函数利润分别增加22、16元。灵敏度分析：其实，在上述Row 2、 Row 3 、Row 5、Row 6中的松弛变量并不是可以任意增加的，其变化的范围，当数值超过这个范围，所求解的模型中的松弛变量和影子价格就不再准确了。需要重新建立和求解模型。所以分析得到这个变化范围是很必要的，并且称之为灵敏度分析。即灵敏度分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。同样用上述实例，运用LINGO 11.0中的灵敏度分析功能可以得到表2如下：表2 Ranges in which the basis
32、 is unchanged： Objective Coefficient RangesVariableCurrent CoefficientAllowable IncreaseAllowable DecreaseX112.000000.INFINITYX28.4.1.X322.000009.1.X416.000001.INFINITYX5-1.7.1.X6-1.0.INFINITYRight-hand Side RangesRowCurrent RHSAllowable IncreaseAllowable Decrease2600.0000120.0000280.00003240.000012
33、6.666740.000004100.0000INFINITY76.0000050.0INFINITY19.2000060.0INFINITY0.070.00.0INFINITY80.0168.0000INFINITY90.019.20000INFINITY100.00.0INFINITY110.024.00000INFINITY120.00.0INFINITY其中，上述表格中Current Coefficient表示当前目标函数系数；Allowable Increase表示允许增加量；Allowable Decrease表示允许减少量；Current RHS表示当前右边常数项；INFINIT
34、Y代表该数值可以无穷大(符号为，以下都用此符号代替)。此外，表格的第一部分(Objective Coefficient Ranges)表示目标函数系数的变化范围。如对于变量目标函数系数允许上调范围为0.84，允许下调范围为，但需要注意的是本例中该目标函数系数中至代表的是产品售出后的净利润，同样具有非负性。因此只要变量目标函数的系数在0,12.84范围内变化时，最优解保持不变。同理可得至的目标函数系数变化范围分别为6.95,12.075、20.417,31.875、0,17.013。而 表示的是深加工时的费用，必须是负数。这说明当,四种产品销售利润在以上范围内变化时，工厂的生产计划不需要改变，即
35、改变生产计划不能增加工厂的利润。表格的第二部分(Right-hand Side Ranges)的意思是约束条件右边常数的变化范围。如本表格中的Row 2，这一行表示的是生产原料的约束条件，同上可得其取值范围为 600280，600120(即320，720)。但需要注意的是该行的“Current RHS”是600，这是原约束(1)式左右两边同时乘以12整理后的模型中的约束值。因此，在（1）问“若投资15元，可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资？”中，最多每天增加应不超过1201210(桶)，不然上述生产计划模型的不适合，需要重新求解。Row 3表示的是劳动时间的约束条件，由上表可知，其取值范围是
36、200,366.667。但与Row 2相反，它是原约束(2)式左右两边同时除以2得到的，因此其实际的取值范围应该是 400，733.334。即在问题（2）中，雇佣临时工最多不能超过733.334480253.334(h)。同理，Row 4的取值范围是24，)。以上说明在取值范围内影子价格和缩减成本系数均小变。3 总结在企业制定生产计划时，线性规划已成为企业生产经营过程中决策制定的理论依据，生产计划安排是否合理将直接影响到企业的经济效益。本文主要分成两部分来说明述线性规划模型与企业生产计划的决策之间的联系以及求解方法。其中，第一部分主要介绍了线性规划与线性规划模型的基本理论以及建立和分析线性规划
37、模型基本方法和步骤，为下文提供理论依据；第二部分主要讲述线性规划模型与企业生产计划的决策之间的联系，并通过对典型案例的具体解答和分析的过程说明线性规划模型运用在企业生产计划的决策是合理而且准确的。同时运用线性规划LINGO 11.0软件进行模型求解分析，阐述了此软件对线性规划中目标函数系数及约束条件右边常数的变化对分析造成的影响。说明应用线性规划并配合相关解决此规划的软件进行计算方便易行，为以后再解决分析线性规划如何在企业中安排生产计划决策问题时提供了有力的科学依据和方法，具有一定的应用价值和借鉴意义。美中不足的是由于本人的专业限制和个人能力有限，无法更加深入系统的研究。因此文中一些不足的地方
38、，敬请谅解！参考文献1张建中，许绍吉.线性规划M，科学出版社，1990.2胡运权.运筹学基础及应用M.北京:清华大学出版社,2004.3高红卫，线性规划方法应用详解 M，科学出版社，20044刘文德，孙秀梅，皮晓明,线性规划 M，哈尔滨工业大学，2004.5何坚勇,最优化方法 M，北京:清华大学出版社， 2007.6孙庭锋.浅析线性规划在企业生产计划中的应用J.商业经济, 2006. (276):18-20.7李朝霞.线性规划的数学模型及实际应用J.宿州教育学院报,2006, 9(1):118-1228张少艳,张彬.线性规划在企业口常运作中的应用J.商丘职业技术学院学报,2007,6(2):7
39、-109张崇华,应用线性规划优化生产方案的探讨J.兰化科技,企业管理. 1992,10(2):120-124.10曾玲.线性规划与生产决策J.桂林电子工业学院学报，1998(6),18(2):73-7611王树祥,武新霞,卜少利,线性规划在企业生产计划中的应用及模型的建立和求解J.2007年管理论丛与教育研究专刊,2007,(S2):195-197.12闵欣，线性规划在利润最大化和成木最小化问题中的应用J，黑龙江科技信息，2013(21):125-126.13钱辰，李姝.线性规划方法在企业生产中的应用J.中国高新技术企业，2011,(3)42-4314黄贵东,丁文英.基于线性规划的生产计划优化
40、研究J.物流技术，2006,(2):83-85. 15方利，线性规划在制定企业生产计划中的应用J.商业文化(上半月)，2012, (2):51,53.致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在老师和同学的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师陈燕芬老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦地行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的撰写和排版等过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！