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1、一元二次方程的几何应用一元二次方程的几何应用一、选择题一、选择题1.1.（20182018 某某某某，某某某某，T6T6，F3F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x -7x+10 = 0 的两根，则该等腰三角形的周长是（）A. 12【答案】【答案】A A【解析】解【解析】解 x x -7x+10-7x+10 = = 0 0，得，得 x=2x=2 或或 5.5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，腰长为已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，腰长为5 5，底边长为，底边长为 2.2.该等腰三角形的周长为该等腰三角形的周长为 5+5+2=12.5+5+2=12.
2、【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边. .二、填空题二、填空题1.1. （20182018 某某黄冈，某某黄冈，1212 题，题，3 3 分）分）一个三角形的两边长分别为3 和 6，第三边长是方程 x -10 x+21=0 的根，则三角形的周长为_【答案】【答案】1616【解析】解该方程得【解析】解该方程得x x1 1=3=3，x x2 2=7=7，因为两边长为，因为两边长为3 3 和和 6 6，所以第三边，所以第三边x x 的的 X X 围为：围为：6-3x6+36-3x6+3，即，即3x93x9，所以舍，所以舍去去 x x1
3、1=3=3，即三角形的第三边长为，即三角形的第三边长为 7 7，则三角形的周长为，则三角形的周长为 3+6+7=163+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2.2. （20182018 某某，某某，1212，3 3 分）分）在正方形ABCD中，AB6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD2AP，则AP的长为_【答案】【答案】2，2 3， 14 2【解析】【解析】PD2AP，设APx，则PD2x，当P在AD边上时，如解图，22 22B. 9C. 13D. 12 或 91 / 8wordAD6，APPD6，x2x6 即x2，A
4、P2当P在DC上时，如解图在 RtADP中，APPD，PD2AP，第 12 题解图第 12 题解图当P在BC边上时，如解图，DP最大为 6 2，AP最小为 6，PD2AP，当P在AB上时，如解图，在 RtADP中，APADPD，x6 (2x) ，解得x12 3，x22 3(舍)，AP2 3；第 12 题解图第 12 题解图第 12 题解图第 12 题解图122当P在AC对角线上时，如解图，在RtADC中，ACABBC6 2，AOAC3 2，在 RtPDO中，2222222PO3 2x，PD2x，DOAO3 2，PD2PO2DO2，(2x) (3 2) (3 2x) ，解得x1 14 2，x2
5、14 2(舍)，AP 14 2；当P在DB对角线上时，如解图，在RtAPO中，APAOPO，x(2x3 2) (3 2) ，整理得：x4 2x120，(4 2) 4112160，方程无解，综上所述：AP2 或 2 3或 14 2【知识点】【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理2 / 8222222222223.3. （20182018 某某省某某市，某某省某某市，1616，5 5 分）分）如图，在正方形ABCD中，AB 3，点E，F分别在CD，AD上，CE DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则BCG的周长为【答案】【答案】3+ 15【思路
6、分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:32:3”可”可以求出空白部分的面积；以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明利用正方形的性质可以证明BCEBCECDFCDF，一是可以得到一是可以得到BCGBCG 是直角三角形，是直角三角形，二是可以二是可以得得到到BCGBCG 的的面面积积，进进而而求求出出BG CG=3；利用勾股定理可以求出BG2+CG2=9，这样就可以求出BG+CG= 15，因而BCGBCG 的周长就可以表示出来了的周长就可以表示出来了.
7、 .【解题过程】在正方形【解题过程】在正方形 ABCDABCD 中，中，AB=3AB=3，S正方形ABCD=32=9，阴影部分的面积与正方形阴影部分的面积与正方形 ABCDABCD 的面积之比为的面积之比为 2:32:3，空白部分的面积与正方形空白部分的面积与正方形 ABCDABCD 的面积之比为的面积之比为 1:31:3，S空白=3，四边形四边形 ABCDABCD 是正方形，是正方形，BC=CDBC=CD，BCE=BCE=CDF=90CDF=90CE=DF,CE=DF,BCEBCECDF(SAS)CDF(SAS)CBE=CBE=DCF,DCF,DCF+DCF+BCG=90BCG=90, ,3
8、 / 8wordCBE+CBE+BCG=90BCG=90, ,即即BGC=90BGC=90，BCGBCG 是直角三角形是直角三角形易知易知SBCG=S四边形FGED=313，SBCG=BG CG=，222BG CG=3，根据勾股定理：根据勾股定理：BG2+CG2=BC2，即BG2+CG2=9222（BG+CG）=BG+2BG CG+CG=9+2 3=15，BG+CG= 15，BCGBCG 的周长的周长=BG+CG+BC=BG+CG+BC=3+ 15【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与
9、性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题三、解答题1.1. （20182018 某某某某，某某某某，2121，1010 分）分）如图，在ABC 中，ACB=90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点 D，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点 E，连接 CD。（1 1）若）若A=28A=28，求，求ACDACD 的度数的度数；（2 2）设）设 BC=BC=a，AC=b线段线段 ADAD 的长度是方程的长度是方程的一个根吗？说明理由；若 AD=EC，求a的值。b4 / 8【思路分析】【思路分析】 （1 1）先求）先求B,B,再根据等腰三角形知识求再根据等腰
10、三角形知识求BCDBCD，在用直角求出，在用直角求出ACDACD； （2 2）根据勾股定理表示出）根据勾股定理表示出ABAB，表再示出表再示出 ADAD，根据一元二次方程的解表示出，根据一元二次方程的解表示出的解进行对比；由 AD=AE,则可得 AD=值【解题过程】【解题过程】1b，从而可列方程求解出比2(1)AB 900,A 280,B 620,BD BC,BDC BCD,BBDC BCD 1800,1800620BDC 590,BDC ACDA,ACD 590280 3102(2)设AD=m,BD BC a,AB AD BD ma,在RTABC中，AB2 BC2 AC2,(ma)2 a2b
11、2,m22amb2 0,AD长为方程x22axb2 0的根。（3）设AD=m,AD AC AE bm,AC b,CE AC AE m,CE AD,bm m,bbbb2b3m ,即AD=，将x 代入x22axb2 0得：（ ）+2ab2 0,b(ab) 0,2222243a3b 0,a b,4b4【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换1.1. （20182018 某某某某，某某某某，2020，8 8 分）分）已知关于 x 的方程x23k 3x 2k2 4k 2 0（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2
12、）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长， 且x x 2x 2x 36，求k值及该菱形的面积1 212【思路分析】【思路分析】 （1）只需证明根的判别式0，即可证得无论k为何值，原方程都有实数根； （2）利用韦达定理求出k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积22【解解析析】解解： （1）证明：由题意可知，a1，b（3k3） ，c2k 4k 2，b4ac2(3k 3) 4 2k2 4k 2 9k218k 98k216k 8 k2 2k 1 (k 1)2，(k 1)20，5 / 8word0，无论k为何值，原方程都有实数根；bc（ 2 ） 由 根 与 系 数
13、的 关 系 可 知x1 x2 (3k 3) 3k 3，x1x2 2k2 4k 2，aa22x1x2 2x1 2x2 36 , x1x2 2 x1 x2 36 , 2k 4k 2 23k 3 36， 化 简 得k5k 14 0，(k 2)(k 7) 0，解得k2 或7，x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x23k3，3k30，k7 舍去，k2，该菱形的面积为11122x1x22k 4k 2 22 42 29222 【知识点】【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判别式；菱形的性质；菱形的面积公式2.2. （20182018 某某某某，某某某某，2121，8 8 分）分）如图，在ABC
14、中，AB AC. 以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF AE,连接FB，FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形；(2) 若AD 7，BE 2，求半圆和菱形ABFC的面积.(第 21 题图)【思路分析】【思路分析】(1)先由EF AE，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到CE BE，证明四边形ABFC是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形ABFC是菱形.(2) 设CD x，则AB AC 7 x，连接BD，在RtBDA中，BD AB AD,22222在RtBDA中，BD2 BC2CD2,AB AD BC2CD2,从而建立方程
15、， 求出x的值， 并求出BD的值，求出半圆和菱形ABFC的面积.6 / 8【解析】(1)证明：AB为半圆的直径，AEB 90,AB AC,CE BE,又EF AE,四边形ABFC是平行四边形.又AB AC,（或AEB 90， ）平行四边形ABFC是菱形.(3) 解：连接BD，AD 7,BE CE 2,设CD x，则AB AC 7 x，(第 21 题第 2 问答图)AB为半圆的直径，ADB 90,在RtBDA中，BD2 AB2 AD2,在RtBDA中，BD2 BC2CD2,7 / 8 AB2 AD2 CB2CD2(7 x)272 42 x2x11或x2 8（舍去）AB AC 7x 7181S半圆=42=82BD AB2 AD2827215,S菱形=BD AC=8 15=8 15【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式. .8 / 8