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1、人教版数学八年级上册人教版数学八年级上册 全册全套试卷测试卷附答案全册全套试卷测试卷附答案一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1如图 1，等腰ABC 中，AC=BC4 2, ACB=45，AO 是 BC 边上的高，D 为线段 AO 上一动点，以 CD 为一边在 CD 下方作等腰CDE,使 CD=CE 且DCE=45，连结 BE.(1) 求证：ACDBCE；(2) 如图 2，在图 1 的基础上，延长 BE 至 Q, P 为 BQ 上一点，连结 CP、CQ,若 CPCQ5,求PQ 的长.(3) 连接 OE，直接写出线段 OE 的最小值【答案】（1）证
2、明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=42 2【解析】试题分析：1根据SAS即可证得ACD BCE；则根2首先过点C作CH BQ于H，由等腰三角形的性质，即可求得DAC 45，据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长3OE BQ时，OE取得最小值.试题解析：1证明：ABC 与DCE 是等腰三角形，AC=BC,DC=EC,ACB DCE 45 ，ACD DCB ECB DCB 45 ，ACD=BCE；在ACD 和BCE 中，AC BCACD BCEDC EC, ACD BCE(SAS)；2首先过点C作CH BQ于H，(2)过点 C 作 CHBQ 于 H， ABC 是等腰三角形，ACB
3、=45，AO 是 BC 边上的高，DAC 45 ，ACD BCE，PBC DAC 45 ，在Rt BHC中,CH BC22 4 2 4，22PC CQ 5，CH 4，PH QH 3，PQ 6.3OE BQ时，OE取得最小值.最小值为：OE 42 2.2（1）已知ABC 是等腰三角形，其底边是BC,点 D 在线段 AB 上，E 是直线 BC 上一点，且DEC= DCE,若A 等于 60（如图）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”，其他条件不变（如图），（1）的结论是否成立，并说明理由【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【
4、解析】试题分析：（1）作 DFBC 交 AC 于 F，由平行线的性质得出ADF=ABC，AFD=ACB，FDC=DCE，证明ABC是等边三角形，得出ABC=ACB=60，证出ADF是等边三角形，DFC=120，得出AD=DF，由已知条件得出FDC=DEC，ED=CD，由 AAS 证明DBECFD，得出 EB=DF，即可得出结论；（2）作 DFBC 交 AC 的延长线于 F，同（1）证出DBECFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作 DF BC 交 AC 于 F，则ADF 为等边三角形 AD=DF，又 DEC= DCB， DEC+ EDB=60， DCB+ DCF=6
5、0 ， EDB= DCA ，DE=CD，在 DEB 和 CDF 中，EBD DFC 120，EDB DCF，DE CD DEB CDF， BD=DF， BE=AD . (2). EB=AD 成立；理由如下：作 DFBC 交 AC 的延长线于 F，如图所示：同（1）得：AD=DF，FDC=ECD，FDC=DEC，ED=CD，又DBE=DFC=60，DBECFD（AAS），EB=DF，EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问
6、题的关键.3如图，AB=12cm，ACAB，BDAB ，AC=BD=9cm，点 P 在线段 AB上以 3 cm/s的速度，由 A向 B运动，同时点 Q在线段 BD 上由 B向 D 运动（1）若点 Q的运动速度与点P 的运动速度相等，当运动时间t=1（s）， ACP与BPQ是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段 PQ的位置关系；（2）将 “ACAB，BDAB”改为“CAB=DBA”，其他条件不变若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能使ACP 与BPQ全等.（3）在图 2的基础上延长 AC，BD交于点 E，使 C，D分别是 AE，BE中点，若点 Q
7、以（2）中的运动速度从点B出发，点 P 以原来速度从点A 同时出发，都逆时针沿ABE三边运动，求出经过多长时间点P 与点 Q第一次相遇【答案】（1）ACPBPQ，理由见解析；线段PC与线段 PQ垂直（2）1 或【解析】【分析】（1）利用 SAS 证得ACP BPQ，得出 ACP= BPQ，进一步得出 APC+ BPQ= APC+ ACP=90得出结论即可；3（3）9s2（2）由ACP BPQ，分两种情况：AC=BP，AP=BQ，AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可（3）因为 VQVP，只能是点 P 追上点 Q，即点 P 比点 Q 多走 PB+BQ 的路程，据此列出方程，解这个方程即可
8、求得【详解】（1）当 t=1 时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又A= B=90，AP BQ在ACP与BPQ中，A B，AC BPACP BPQ（SAS），ACP=BPQ，APC+BPQ=APC+ACP=90，CPQ=90，则线段 PC与线段 PQ垂直.（2）设点 Q的运动速度 x,若ACP BPQ，则 AC=BP，AP=BQ，9 12t，t xtt 3，解得x 1若 ACP BPQ，则 AC=BQ，AP=BP，9 xtt 12tt 6解得3，x 2t 6t 3综上所述，存在或3使得ACP 与BPQ全等.x 1x 2（3）因为 VQVP，只能是点 P 追上点 Q，即点 P 比点 Q 多走 P
9、B+BQ 的路程，设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇，AC=BD=9cm，C，D 分别是 AE，BD 的中点；EB=EA=18cm.当 VQ=1 时，依题意得 3x=x+29，解得 x=9；当 VQ=3时，23x+29，2依题意得 3x=解得 x=12.故经过 9 秒或 12 秒时 P 与 Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.4在ABC中，AB AC，点D在BC边上，且ADB 60,E是射线DA上一动点(不与点D重合，且DA DB)，在射线DB上截取DF DE，连接EF1当点E在线段AD上时，若点E与点A重合时，请说明线段
10、BF DC；如图 2，若点E不与点A重合，请说明BF DC AE；2当点E在线段DA的延长线上DE DB时，用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）BFAE-CD【解析】【分析】（1）根据等边对等角，求到B C，再由含有 60角的等腰三角形是等边三角形得到ADF是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到AFBADC 120，推出ABFACD，根据全等三角形的性质即可得出结论；过点 A 做 AGEF 交 BC 于点 G，由DEF 为等边三角形得到 DADG，再推出 AEGF，根据线段的和差即可整理出结论；
11、（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论【详解】（1）证明：AB ACB CDF DE,ADB 60，且 E 与 A 重合，ADF是等边三角形ADF AFD60AFBADC 120在ABF和ACD中AFB ADCB CAB ACABFACDBF DC如图 2，过点 A 做 AGEF 交 BC 于点 G，ADB60DEDFDEF 为等边三角形AGEFDAGDEF60，AGDEFD60DAGAGDDADGDADEDGDF，即 AEGF由易证AGBADCBGCDBFBGGFCDAE（2）如图 3，和（1）中相同，过点A 做 AGEF
12、 交 BC 于点 G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，BF CD BF BG GF AE故BF AECD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键5如图（1），AB=4cm，ACAB，BDAB，AC=BD=3cm，点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，ACP 与BPQ 是否全等，请说明理由（2）判断此时线段 PC 和线段 PQ 的关
13、系，并说明理由。（3）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”改为“CAB=DBA=60”，其他条件不变，设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得ACP 与BPQ 全等？若存在，求出相应的 x、t 的值；若不存在，请说明理由。【答案】（1）ACPBPQ，理由见解析；（2）PC=PQ 且 PCPQ，理由见解析；t 2t 1（3）存在；或3x 1x 2【解析】【分析】（1）利用 SAS 证得ACPBPQ；（2）由（1）得出 PC=PQ，ACP=BPQ，进一步得出APC+BPQ=APC+ACP=90得出结论即可；（3）分两种情况：AC=BP，AP=BQ，AC=BQ，AP=
14、BP，建立方程组求得答案即可【详解】解：（1）如图（1），ACPBPQ，理由如下：当 t=1 时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又A=B=90，在ACP 和BPQ 中，AP BQA B，AC BPACPBPQ（SAS）（2）PC=PQ 且 PCPQ，理由如下：由（1）可知ACPBPQPC=PQ，ACP=BPQ，APC+BPQ=APC+ACP=90CPQ=90，PCPQ（3）如图（2），分两种情况讨论：当 AC=BP，AP=BQ 时，ACPBPQ，则3 4t，t xtt 1解得，x 1当 AC=BQ，AP=BP 时，ACPBQP，则，3 xtt 4tt 2解得3x 2t 2t 1综上所述，存在
15、或3使得ACP 与BPQ 全等x 1x 2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键二、八年级数学二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）轴对称解答题压轴题（难）6（问题情境）学习探索全等三角形条件后，老师提出了如下问题：如图， ABC中，若 AB=12，AC=8，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BE.根据 SAS 可证得到ADCEDB，从而根据“三角形的三边关系”可求得 AD 的取值范围是解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑
16、延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE，AF 是 ACD 的边 CD 上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图，在ABC 中，C=90，D 为 AB 的中点，DEDF，DE 交 AC 于点 E，DF 交 AB 于点 F，连接 EF，试判断以线段 AE、BF、EF 为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2AD10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据 ADC EDB，得到 BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE 的取值，再根据 D 为 AE
17、中点得到 AD 的取值；（2）延长 AF 到 H，使 AF=HF，故 ADF HCF，AH=2AF，由 ABAC，ADAE，得到BAE+CAD=180，又ACH+CAH+AHC=180，根据D=FCH，DAF=CHF，得到ACH+CAD=180，故BAE= ACH，再根据 AB=AC，AD=AE 即可利用 SAS 证明BAE ACH，故 BE=AH,故可证明 BE=2AF.（3）延长 FD 到点 G，使 DG=FD，连结 GA，GE，证明DBFDAG，故得到 FD=GD，BF=AG,由 DEDF，得到 EF=EG,再求出EAG=90，利用勾股定理即可求解.【详解】（1） ADC EDB，BE=
18、AC=8，AB=12，12-8AE12+8，即 4AE20，D 为 AE 中点2AD10；（2）延长 AF 到 H，使 AF=HF，由题意得 ADF HCF，故 AH=2AF，ABAC，ADAE，BAE+CAD=180，又ACH+CAH+AHC=180，D=FCH，DAF=CHF，ACH+CAD=180，故BAE= ACH，又 AB=AC，AD=AEBAE ACH（SAS），故 BE=AH,又 AH=2AFBE= 2AF.（3）以线段 AE、BF、EF 为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长 FD 到点 G，使 DG=FD，连结 GA，GE，由题意得DBFADG，FD=GD，BF=AG,DE
19、DF，DE 垂直平分 GF,EF=EG,C=90，B+CAB=90，又B=DAG，DAG +CAB=90EAG=90，故 EG2=AE2+AG2，EF=EG, BF=AGEF2=AE2+BF2，则以线段 AE、BF、EF 为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.7如图，在等腰直角ABC中，AB AC，BAC 90，点D是ABC内一点，连接AD，AE AD且AE AD，连接BD、CE交于点F.（1）如图 1，求BFC的度数；（2）如图 2，连接ED交BC于点G，连接AG，若AG平分BAD，求证：EAC
20、 2EDF；（3）如图 3，在（2）的条件下，BF交AG、AC分别于点M、N，DH AM，连接HN，若ADN的面积与DHN的面积差为 6，DF 6，求四边形AMFE的面积.【答案】（1）BFC=90；（2）见解析；（3）S四边形AMFE 20.【解析】【分析】（1）根据 SAS 证明ABD ACE，所以ABDACF，所以BFC BAC 90.（2）根据题意先求出ABGADG180，在AB上截取AK AD，连接KG，由AKG ADG，BKGAKG180，可证得BKG KBG，GBGK DG，所以DBGBDGEDF ， 因为CAE BAD 2，所以CAE 2EDF（3）根据题意和（2）中结论先证明
21、AD AN AE，过A作BF、CE垂线，垂足分别为R、T， 连接AF，证明ANR AET，所以AR AT，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN，过点H作HP FM，垂足为P，所以HP PM DP，设DP x，DR y，所以SADNSDHN11DN ARDN HP yx y6，DF 2x2y 6，求22出 x，y，不难得到SAEF SANF SADM=4，然后可得S四边形AMFE 20.【详解】（1）因为ABC是等腰直角三角形，所以AB AC，BAC 90DAE， 所以BADCAE，因为AD AE，所以ABD ACE，所以ABDACF，所以BFC BAC 90.（2）因为AD AE，DAE
22、90，所以AED 45ACG，所以CAE CGE，由（1）知：BADCAE，所以BADCGD，设BAD 2CGD， 所以BGD180 2，所以BADBGD180，所以ABGADG180， 因为AG平分BAD，所以BAGDAG，在AB上截取AK AD，连接KG，因为AG AG，所以AKG ADG，所以AKG ADG，DG KG，因为BKGAKG180，所以BKGKBG，所以GBGK DG，所以DBGBDGEDF ， 因为CAE BAD 2，所以CAE 2EDF（3）由（2）知：BAGDBG，因为BAC90，ABC 45，所以ABN 45，因为BAD 2，所以ADN 45，因为DAN 90 2，所
23、以AND 45ADN，所以AD AN，因为AD AE，所以AE AN，过A作BF、CE垂线，垂足分别为R、T， 连接AF，因为ACE ABD 45，CAE 2，所以AET 45ANR，因为AE AN，所以ANR AET，所以AR AT，所以FA平分BFT，所以AFN AFE 45，因为AMN 45，所以AFM AMF，所以AF AM，所以FR MR，因为DR RN，所以DM FN，过点H作HP FM，垂足为P，因为AMN 45，DHM 90，所以MHPDHPHDP 45，所以HP PM DP，设DP x，所以DM FN 2x，设DR y，所以DN 2y，所以MR 2x y，因为MAR 45，所
24、以AR MR 2x y，所以SADNSDHN11DN ARDN HP22 yx y6，因为DF 2x2y 6，所以x y 3，所以y 2，x 1，因为AF AF，ANF AEF，所以AEF ANF，所以FN EF，因为AR AT，所以SAEF SANF SADM，因为SADM1DM AR 4，2所以S四边形AMFE SADM SADN SANF SAEF 20.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.8如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点 B 是 y 轴
25、正半轴上一动点，点C、D 在 x正半轴上（1）如图，若BAO60，BCO40，BD、CE 是ABC 的两条角平分线，且BD、CE 交于点 F，直接写出 CF 的长_（2）如图，ABD 是等边三角形，以线段BC 为边在第一象限内作等边BCQ，连接 QD 并延长，交 y 轴于点 P，当点 C 运动到什么位置时，满足 PD2DC？请求出点 C 的坐标；3（3）如图，以 AB 为边在 AB 的下方作等边ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值【答案】（1）6；（2）C 的坐标为（12，0）；（3）【解析】【分析】3.2（1）作DCH10，CH 交 BD 的延长线于H，分别证明OBDHCD
26、 和AOBFHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明CBAQBD，根据全等三角形的性质得到BDQBAC60，求出 CD，得到答案；（3）以 OA 为对称轴作等边ADE，连接 EP，并延长EP 交 x 轴于点 F证明点 P 在直线 EF上运动，根据垂线段最短解答【详解】解：（1）作DCH10，CH 交 BD 的延长线于 H，BAO60，ABO30，AB2OA6，BAO60，BCO40，ABC180604080，BD 是ABC 的角平分线，ABDCBD40，CBDDCB，OBD403010，DBDC，在OBD 和HCD 中，OBD=HCDDB DCODC=HDCOBDHCD（ASA），OB
27、HC，在AOB 和FHC 中，ABO=FCHOB HCAOB=FHCAOBFHC（ASA），CF=AB=6，故答案为 6；（2）ABD 和BCQ 是等边三角形，ABDCBQ60，ABCDBQ，在CBA 和QBD 中，BA BDABC DBQBC BQCBAQBD（SAS），BDQBAC60，PDO60，PD2DO6，PD2DC，3DC9，即 OCOD+CD12，点 C 的坐标为（12，0）；（3）如图 3，以 OA 为对称轴作等边ADE，连接 EP，并延长 EP 交 x 轴于点 F由（2）得，AEPADB，AEPADB120，OEF60，OFOA3，点 P 在直线 EF 上运动，当 OPEF
28、时，OP 最小，OP13OF22则 OP 的最小值为32【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键9如图 1，在ABC 中，ACB=90，AC=（1）求证：ABCDEB；（2）连结 AD、AE、CE，如图 2求证：CE 是ACB 的角平分线；请判断ABE 是什么特殊形状的三角形，并说明理由1BC，点 D 为 BC 的中点，AB =DE，BEAC2【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；ABE 是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由 AC/BE，ACB=90可得DBE=90，由 AC=1BC，D 是 BC
29、 中点可得 AC=BD，利用2HL 即可证明ABCDEB；（2）由（1）得 BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得BCE=45，进而可得ACE=45，即可得答案；根据SAS 可证明ACEDCE，可得AE=DE，由 AB=DE 可得 AE=AB 即可证明ABE 是等腰三角形.【详解】（1）ACB=90，BEACCBE=90ABC 和DEB 都是直角三角形1BC，点 D 为 BC 的中点2AC=BD又AB=DEAC=ABCDEB（H.L.）（2）由（1）得：ABCDEBBC=EB又CBE=90BCE=45ACE=90-45=45BCE=ACECE 是ACB 的角平分线ABE 是等腰三角形，理由如下
30、：AC DC在ACE 和DCE 中ACE BCECE CEACEDCE（SAS）.AE=DE又AB=DEAE=ABABE 是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.10如图所示，已知ABC中，AB AC BC 10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是 1 厘米/秒的速度，点N的速度是 2 厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AMN？（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰AMN，
31、如果存在，请求出此时M、N运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M、N运动10秒后，可得到等边三角形AMN；（3）当3点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN，此时M、N运动的时间为【解析】【分析】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合,x110 2x；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图，40秒3AM t1 t,AN AB BN 102t根据等边三角形性质得t 102t；（3）如图，假设AMN是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB是等边三角形，再证ACMABN（AAS），得CM BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN是等
32、腰三角形，故CM y 10，NB 302y，由CM NB，得y 10 302y；【详解】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合,x110 2x解得：x 10（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图AM t1 t,AN AB BN 102t 三角形AMN是等边三角形t 102t解得t 103 点M、N运动10秒后，可得到等边三角形AMN.3（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知 10 秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图，假设AMN是等腰三角形，AN AM，AMN ANM，AMC ANB，AB BC AC，ACB是等边三角形，C B
33、，在ACM和ABN中，AC ABC B，AMC ANBACMABN（AAS），CM BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，AMN是等腰三角形，CM y 10，NB 302y，CM NB，y 10 302y解得：y 40，故假设成立.340秒3 当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰AMN，此时M、N运动的时间为【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11数学活动课上，老师准备了若干个如图1 的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，
34、B中纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图 2 的大正方形（1）请问两种不同的方法求图2 大正方形的面积方法 1：s _；方法 2：s _；（2）观察图 2，请你写出下列三个代数式：ab,a2b2,ab之间的等量关系_；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知：ab 5,a b 11，求ab的值；已知2020aa20195，则2020aa2019的值是_22222【答案】（1）ab，a22abb2；（2）ab a22abb2；（3）ab7，2【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1
35、）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab 之间的等量关系；（3）依据 a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出 a2+b2+2ab=25，再根据 a2+b2=11，即可得到 ab=7；设 2020-a=x，a-2019=y，即可得到 x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，22x y即可得出 xy=【详解】2(x2 y2)=2，进而得到2020aa2019=222解：（1）图 2 大正方形的面积=ab，图 2 大正方形的面积=a22abb2故答案为：ab，a22abb2；（2）由题可得ab，a2b2，ab之间的等量关系为：ab a22abb2故答案为：
36、ab a22abb2；（3）2222ab2a2b2 2ab2ab521114ab7设 2020-a=x，a-2019=y，则 x+y=1，2020aa20195，x2+y2=5，（x+y）2=x2+2xy+y2，22x yxy=2(x2 y2)=-2，2即2020aa2019 2【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键12观察下列各式:x1x1 x21,x1x2 x1 x31,x1x3 x2 x1 x41,x1x4 x3 x2 x1 x51,1根据规律x 1xn1 xn2. x2 x1(其中n为正整数) ;2(51)5305295285251(2)3(2
37、)2(2)113计算：(2)2019(2)2018(2)2017n31220201【答案】（1）x 1；（2）5 1；（3）3【解析】【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；（2）根据一般性结果，将n=31，x=5 代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】（1）根据上述规律可得x 1xn1 xn2. x2 x1xn1，故填：xn1；28（2）由（1）可知(51) 55530295251=53113(2)2019(2)2018(2)2017(2)3(2)2(2)11=201920182017321(2)1(2)(2)(2) (
38、2) (2) (2) 13(2)20201=3220201=3【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.13若一个正整数x能表示成a2b2(a,b是正整数，且a b)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解. 例如：因为5 3222，所以 5 是“明礼崇德数”，3 与 2 是 5 的平方差分解；再如：M x22xy x22xy y2 y2 (x y)2 y2(x, y是正整数)，所以M也是“明礼崇德数”，(x y)与y是M的一个平方差分解.(1)判断：9_“明礼崇德数”(填“是”或
39、“不是”)；(2)已知N x2 y2 4x6y k(x, y是正整数，k是常数，且x y 1)，要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m的所有平方差分解.【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，279 482452，279 202112.【解析】【分析】(1)根据 9=52-42，确定 9是“明礼崇德数”；(2)根据题意分析 N应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将 k=-5代入计算即可将 N平方差分解，得到答案；(
40、3)确定“七喜数”m的值，分别将其平方差分解即可.【详解】(1)9=52-42，9是“明礼崇德数”，故答案为：是；(2)当 k=-5时，N是“明礼崇德数”，当 k=-5时，N x2 y2 4x6y 5，=x2 y24x6y 49，=(x24x4)(y26y 9)，=(x2)2(y 3)2，=(x2 y 3)(x 2 y 3)=(x y 5)(x y 1).x, y是正整数，且x y 1，N 是正整数，符合题意，当 k=-5时，N是“明礼崇德数”；(3)由题意得：“七喜数”m=178或 279，设 m=a2b2=（a+b）（a-b），当 m=178时，178=289，ab 89a 45.5，得（
41、不合题意，舍去）；ab 2b 43.5当 m=279时，279=393=931，ab 93a 48，得，279 482452，ab 3b 45ab 31a 20，得，279 202112，ab 9b 11既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的 m 是 279，279 482452，279 202112.【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.14（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式例如图 1 可以得到（a+b）2a2+2a
42、b+b2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图 2，写出一个代数恒等式：（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c10，ab+ac+bc35，则a2+b2+c2（3）小明同学用图 3 中 x 张边长为 a 的正方形，y 张边长为 b 的正方形，z 张宽、长分别为 a、b 的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则 x+y+z（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4 表示的是一个边长为 x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：【答案】（1）（a+b+c）2a2+b
43、2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3x（x+1）（x1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积（a+b+c）2；正方形的面积a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据 a2+b2+c2（a+b+c）22ab2ac2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）2a2+4ab+ab+2b22a2+5b2+2ab，即可得到 x，y，z 的值（4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论【详解】（1）由图 2 得：正方形的面积（a+b+c）2；正方形的面积a2+b2+c2+2ab+2ac+2
44、bc，（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c10，ab+ac+bc35，102a2+b2+c2+235，a2+b2+c21007030，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）xa2+yb2+zab，2a2+5ab+2b2xa2+yb2+zab，x 2y 2，z 5x+y+z9，故答案为：9；（4）原几何体的体积x311xx3x，新几何体的体积（x+1）（x1）x，x3x（x+1）（x1）x故答案为：x3x（x+1）（
45、x1）x【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键15观察：22123；4232221210；625242322212 21探究：（1）8272625242322212（直接写出答案）222222（2）(2n) (2n1) (2n2) (2n3) 2 1 （直接写出答案）应用：（3）如图，20 个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为20cm，向里依次为 19cm、18cm、1cm，那么在这个图形中，所有阴影部分的面积和是多少？（结果保留）【答案】（1）36；（2
46、）8n3；（3）210【解析】【分析】（1）根据已知条件，直接结算可得；（2）根据观察可得规律：结果就是底数和；其实是运用平方差公式得到；（3）根据题意列出式子，201918171615222222 4232 2212，再根 据上面规律简便运算【详解】（1）827262524232221215+21=36；222222（2）(2n) (2n1) (2n2) (2n3) 2 1=2n(2n1)2n(2n1)(2n2)(2n3)(2n2)(2n3)2121 2n(2n1)(2n2)(2n3)21=8n3；（3）由题意可得阴影面积是：201918171615222222 4232 2212 =201
47、91817161543211202012=210=【点睛】考核知识点：因式分解在运算中的应用观察并找出规律，利用平方差公式分析问题是关键四、八年级数学分式解答题压轴题（难）四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16阅读下面材料并解答问题x32x2 x3材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式2x 1解：由分母为x21，可设x 2x x3 x 1 (xa)b，则x32x2 x3 x3ax2 x ab对任意x上述等式均成立，a 2且ab 3，a 2，b132x21 (x2)1x 2x x31 x2x21x21x213221x32x2 x3这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
48、x222x 1x 1解答：（1）将分式3x7拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式x1x46x28（2）求出的最小值2x 1【答案】（1）3+【解析】【分析】（1）直接把分子变形为 3(x-1)+10 解答即可；（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出 a 和 b 的值，即可把10；（2）8x1x46x28分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式2x 1【详解】解：（1）=3x73x310=x1x13x110 x110；x1=3+（2）由分母为x21，可设x46x28 x 1x a b，22则x46x28 x21x2
49、a b x4ax2 x2 a b x4(a1)x2(ab)对于任意的 x，上述等式均成立，a1 6ab 8a 7b 1解得x46x282x 1x21x27 1x 121x21x27x 11x 1222x 12 x27x46x28当 x=0 时，x 7取得最小值 8，即的最小值是 8x21x21【点睛】1本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用17某商场购进甲、乙两种空调共50 台已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少 0.3 万元；用 20 万元购进甲种空调数量是用40 万元购进乙种空调数量的2 倍请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各
50、是多少万元？（2）若商场预计投入资金不少于10 万元，且购进甲种空调至少31 台，商场有哪几种购进方案？（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100 元，乙种空调每台售价4300 元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50 台空调获利中拿出2520 元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2 台请直接写出该商场购进这 50 台空调各几台【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有 3 种购进方案：购买甲种空调31 台，购买乙种空调 19 台；购买甲种空调 32 台，购买乙种空调 18 台；购买甲种空调33 台，购买乙种空调 17 台；（3）购买甲种空调